China Mathematical Competition (Second Round) 2021

Finitely many integer arrays satisfying weighted factorial sum zero

(Test Paper A, Problem 1) Given positive integer $k$ ($k\ge 2$) and $k$ non-zero real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_k$, prove that there are at most finitely many $k$-element integer arrays $(n_1,n_2,\dots ,n_k)$ satisfying that $n_1,n_2,\dots ,n_k$ are pairwise distinct and $a_1\cdot n_1!+a_2\cdot n_2!+\cdots +a_k\cdot n_k!=0.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Finamente molte matrici di numeri interi che soddisfano la somma fattoriale ponderata zero

(Test Paper A, Problema 1) Date le cifre reali positive $k$ ($k\ge 2$) e $k$ non-zero $a_1,a_2,\dots ,a_k$, dimostrare che ci sono al massimo finitamente molte matrici di numeri interi $k$-elemento $(n_1,n_2,\dots ,n_k)$ che soddisfano che $n_1,n_2,\dots ,n_k$ sono parimenti distinte e $a_1\cdot n_1!+a_2\cdot n_2!+\cdots +a_k\cdot n_k!=0.$

src_cn_cmc-second-round_2021__Q01

Circumcircle geometry: prove angle BCQ equals angle BAC

(Test Paper A, Problem 2) As shown in the figure, in $△ABC$, $M$ is the midpoint of side $AC$. $D$, $E$ are two points on the tangent of the circumcircle of $△ABC$ at point $A$, satisfying $HD\parallel AB$ and $A$ is the midpoint of segment $DE$. The circle passing through points $A$, $B$, $E$ intersects side $AC$ at point $P$. The circle passing through points $A$, $D$, $P$ intersects the extension of $DM$ at point $Q$. Prove that $\angle BCQ=\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Geometria del cerchio: prova angolo BCQ uguale angolo BAC

(Test paper A, problema 2) Come mostrato nella figura, in $△ABC$, $M$ è il punto medio del lato $AC$. $D$, $E$ sono due punti sulla tangente del circoncircolo di $△ABC$ al punto $A$, che soddisfano $HD\parallel AB$ e $A$ è il punto medio del segmento $DE$. Il cerchio che attraversa i punti $A$, $B$, $E$ incrocia il lato $AC$ al punto $P$. Il cerchio che attraversa i punti $A$, $D$, $P$ interseca l’estensione di $DM$ al punto $Q$. Provare che $\angle BCQ=\angle BAC$.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q02

If n divides 2^n-2 and n>=4, then (2^n-2)/n is composite

(Test Paper A, Problem 3) Suppose integer $n\ge 4$. Prove that if $n$ divides $2^n-2$, then $\frac{2^n-2}{n}$ is composite.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Se n divide 2^n-2 e n>=4, allora (2^n-2)/n è composto

(Test paper A, problema 3) Supponiamo un numero intero $n\ge 4$. Prova che se $n$ divide $2^n-2$, allora $\frac{2^n-2}{n}$ è composto.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q03

Maximum k so that any k arbitrarily colored points on 100-point circle can be completed to a valid pairing

(Test Paper A, Problem 4) Given 100 different points on a circle, try to determine the maximum positive integer $k$ satisfying: colour any $k$ points of the 100 points arbitrarily red or blue, and the remaining points can be appropriately coloured red or blue, so that the 100 points can be used as endpoints to make 50 segments, any two segments have no common point, and the endpoints of each segment are of the same colour.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 50 Fonte: apri libro PDF

Maxima k in modo che qualsiasi k punti di colore arbitrario sul cerchio di 100 punti possa essere completato per un abbinamento valido

(Test Paper A, Problema 4) Dati 100 punti diversi su un cerchio, cercate di determinare il numero intero massimo positivo $k$ soddisfacente: colorate i punti $k$ dei 100 punti in modo arbitrario rosso o blu, e i punti rimanenti possono essere colorati correttamente rosso o blu, in modo che i 100 punti possano essere utilizzati come punti finali per creare 50 segmenti, qualsiasi due segmenti non hanno un punto comune e i punti finali di ogni segmento sono dello stesso colore.

Risposta: 50 src_cn_cmc-second-round_2021__Q04

Triangle geometry: prove A, P, Q collinear via circumcircles

(Test Paper A1, Problem 1) As shown in the figure, in $△ABC$, $AB>AC$. Two points $X$, $Y$ in $△ABC$ are on the bisector of $\angle BAC$ and satisfy $\angle ABX=\angle ACY$. Let the extension of $BX$ and segment $CY$ intersect at point $P$. The circumcircle ${\omega }_1$ of $△BPY$ and the circumcircle ${\omega }_2$ of $△CPX$ intersect at $P$ and another point $Q$. Prove that points $A$, $P$, $Q$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Geometria triangolare: dimostrare A, P, Q collineari attraverso circoli circolari

(Test Paper A1, Problema 1) Come mostrato nella figura, in $△ABC$, $AB>AC$. Due punti $X$ e $Y$ di $△ABC$ sono situati sul bisettore di $\angle BAC$ e soddisfano $\angle ABX=\angle ACY$. L’estensione di $BX$ e del segmento $CY$ si intersecano al punto $P$. Il circoncircolo ${\omega }_1$ di $△BPY$ e il circoncircolo ${\omega }_2$ di $△CPX$ si incrociano a $P$ e un altro punto $Q$. Provare che i punti $A$, $P$, $Q$ sono collineari.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q05

Sequence satisfying RMS and mean conditions: prove terms converge within 0.001

(Test Paper A1, Problem 3) Let positive real number sequences $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ satisfy: $a_n=\sqrt{\frac{1}{100}{\sum }_{i=1}^{100}{a}_{n+i-1}^2},b_n=\frac{1}{100}{\sum }_{i=1}^{100}{a}_{n+i-1}.$ Prove that there exists a positive integer $k$ such that $|a_m-b_m|<0.001$ for all $m\ge k$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sequenza che soddisfa RMS e condizioni medie: i termini di prova convergono entro 0,001

(Test Paper A1, Problem 3) Lasciate che le sequenze di numeri reali positivi $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ soddisfino: $a_n=\sqrt{\frac{1}{100}{\sum }_{i=1}^{100}{a}_{n+i-1}^2},b_n=\frac{1}{100}{\sum }_{i=1}^{100}{a}_{n+i-1}.$ Prove che esiste un intero positivo $k$ tale che $|a_m-b_m|<0.001$ per tutti $m\ge k$.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q06

Maximum k for valid coloring of 100 circle points paired as same-color non-crossing segments

(Test Paper A1, Problem 4) Given 100 different points on a circle, try to determine the maximum positive integer $k$ satisfying: colour any $k$ points of the 100 points arbitrarily red or blue, and the remaining points can be appropriately coloured red or blue, so that the 100 points can be used as endpoints to make 50 segments, any two segments have no common point, and the endpoints of each segment are of the same colour.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 50 Fonte: apri libro PDF

Maximo k per il colore valido di 100 punti di cerchio abbinati come segmenti non incrociati dello stesso colore

(Test Paper A1, Problema 4) Dati 100 punti diversi su un cerchio, cercate di determinare il numero intero massimo positivo $k$ soddisfacente: colorate i punti $k$ dei 100 punti in modo arbitrario rosso o blu, e i punti rimanenti possono essere colorati correttamente rosso o blu, in modo che i 100 punti possano essere utilizzati come punti terminali per creare 50 segmenti, qualsiasi due segmenti non hanno un punto comune e i punti terminali di ogni segmento sono dello stesso colore.

Risposta: 50 src_cn_cmc-second-round_2021__Q07

Incentre geometry: line PQ meets circumcircle, prove C, I, Q, Y concyclic

(Test Paper B, Problem 1) As shown in the figure, $I$ is the incentre of $△ABC$, $AB>AC$. Points $P$, $Q$ are the projections of $I$ on sides $AB$, $AC$, respectively. Line $PQ$ intersects the circumcircle of $△ABC$ at points $X$, $Y$ ($P$ is between $X$ and $Y$). Given that points $B$, $I$, $P$, $X$ are concyclic, prove that points $C$, $I$, $Q$, $Y$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Geometria del centro: la linea PQ incontra il circoncircolo, prova C, I, Q, Y conciclica

(Test Paper B, Problem 1) Come mostrato nella figura, $I$ è l’incentro di $△ABC$, $AB>AC$. I punti $P$ e $Q$ sono le proiezioni di $I$ sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente. La linea $PQ$ interseca il circoncircolo di $△ABC$ nei punti $X$, $Y$ ($P$ è tra $X$ e $Y$). Dato che i punti $B$, $I$, $P$, $X$ sono conciclici, dimostrare che i punti $C$, $I$, $Q$, $Y$ sono conciclici.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q08

Minimize sum of prefix products of a decreasing non-negative sequence

(Test Paper B, Problem 2) Given integer $n\ge 2$, let non-negative real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfy $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n.$ Find the minimum of $a_1+a_1{a}_2+a_1{a}_2{a}_3+\cdots +a_1{a}_2\cdots a_n.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Minimizzare la somma dei prodotti prefissi di una sequenza non negativa in diminuzione

(Test Paper B, Problem 2) Con un numero intero $n\ge 2$, lasciate che i numeri reali non negativi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ soddisfino $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n.$ Trovare il minimo di $a_1+a_1{a}_2+a_1{a}_2{a}_3+\cdots +a_1{a}_2\cdots a_n.$

src_cn_cmc-second-round_2021__Q09

Largest M so that any 10 numbers in [1,M] contain three forming a quadratic with no real roots

(Test Paper B, Problem 3) Try to find the largest positive number $M>1$ with the following property: for any 10 different real numbers chosen from the interval $[1,M]$, three of them can be selected, denoted from smallest to largest by $a<b<c$, such that the quadratic equation $a{x}^2+bx+c=0$ has no real roots.

Topic: Algebra, Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $4^{405}$ Fonte: apri libro PDF

M più grande in modo che ogni 10 numeri in [1,M] contengano tre che formano un quadratico senza radici reali

(Test Paper B, Problem 3) Cerca di trovare il numero positivo più grande $M>1$ con la seguente proprietà: per qualsiasi 10 diversi numeri reali scelti dall’intervallo $[1,M]$, tre di essi possono essere selezionati, indicati dal più piccolo al più grande da $a<b<c$, in modo che l’equazione quadrata $a{x}^2+bx+c=0$ non abbia radici reali.

Risposta: $4^{405}$ src_cn_cmc-second-round_2021__Q10

Non-negative reals S=a+2b+3c, T=a+b^2+c^3: find min of T-S and max of T given S=4

(Test Paper B1, Problem 1) Let $a$, $b$, $c$ be non-negative real numbers. Denote $S=a+2b+3c$, $T=a+b^2+c^3$. (1) Find the minimum of $T-S$. (2) If $S=4$, find the maximum of $T$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: (1) $-3$; (2) $4$ Fonte: apri libro PDF

Reali non negativi S=a+2b+3c, T=a+b^2+c^3: trovare min di T-S e massimo di T dato S=4

(Test Paper B1, Problema 1) Lasciate che $a$, $b$, $c$ siano numeri reali non negativi. Denote $S=a+2b+3c$, $T=a+b^2+c^3$. (1) Trovare il minimo di $T-S$. (2) Se $S=4$, trovare il massimo di $T$.

Risposta: (1) $-3$; (2) $4$ src_cn_cmc-second-round_2021__Q11

Triangle geometry: X, Y on angle bisector with angle conditions, prove A, P, Q collinear

(Test Paper B1, Problem 2) As shown in the figure, in $△ABC$, $AB>AC$. Points $X$, $Y$ in $△ABC$ are on the bisector of $\angle BAC$, satisfying $\angle ABX=\angle ACY$. Let the extension of $BX$ and segment $CY$ intersect at point $P$. The circumcircle ${\omega }_1$ of $△BPY$ and the circumcircle ${\omega }_2$ of $△CPX$ intersect at $P$ and another point $Q$. Prove that points $A$, $P$, $Q$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Geometria triangolare: X, Y sul bisettore angolare con condizioni angolari, prova A, P, Q collineare

(Test Paper B1, Problema 2) Come mostrato nella figura, in $△ABC$, $AB>AC$. I punti $X$ e $Y$ di $△ABC$ sono sul bisettore di $\angle BAC$, soddisfacendo $\angle ABX=\angle ACY$. L’estensione di $BX$ e del segmento $CY$ si intersecano al punto $P$. Il circoncircolo ${\omega }_1$ di $△BPY$ e il circoncircolo ${\omega }_2$ di $△CPX$ si incrociano a $P$ e un altro punto $Q$. Provare che i punti $A$, $P$, $Q$ sono collineari.

src_cn_cmc-second-round_2021__Q12

If m>1, n>1 not perfect square, m divides n^2+n+1, prove |m-n| > sqrt(3n)-2

(Test Paper B1, Problem 3) Let $m$, $n$ be integers greater than $1$, and $n$ is not a perfect square. If $n^2+n+1$ is divisible by $m$, prove that $|m-n|>\sqrt{3n}-2.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Se m>1, n>1 non è il quadrato perfetto, m divide n^2+n+1, provare │m-n │ > sqrt(3n)-2

(Test Paper B1, Problem 3) Lasciate che $m$, $n$ siano numeri interi superiori a $1$, e $n$ non è un quadrato perfetto. Se $n^2+n+1$ è divisibile per $m$, dimostrare che $|m-n|>\sqrt{3n}-2.$

src_cn_cmc-second-round_2021__Q13

Round-robin of 9 teams: determine if T3 can beat T4 and vice versa

(Test Paper B1, Problem 4) 9 football teams play a single round-robin tournament (each two teams play once). In each match, the winner gets 1 point, the loser gets 0 points, and each team gets 0.5 points for a draw. After the tournament, it is found that the 9 teams have different points from each other. The 9 teams are recorded as $T_1,T_2,\dots ,T_9$, in decreasing order of points. It is known that team $T_1$ has a record of 1 win, 3 draws and 5 losses. (1) Is it possible for $T_3$ to win against $T_4$? (2) Is it possible for $T_4$ to win against $T_3$?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (1) No; (2) Yes Fonte: apri libro PDF

Rondino di 9 squadre: determinare se T3 può battere T4 e viceversa

(Test Paper B1, Problem 4) 9 squadre di calcio giocano un singolo torneo di round-robin (ogni due squadre giocano una volta). In ogni partita, il vincitore ottiene 1 punto, il perdente ottiene 0 punti e ogni squadra ottiene 0,5 punti per un pareggio. Dopo il torneo, si scopre che le 9 squadre hanno punti diversi l’una dall’altra. Le 9 squadre sono registrate come $T_1,T_2,\dots ,T_9$, in ordine decrescente di punti. È noto che la squadra $T_1$ ha un record di 1 vittoria, 3 pareggio e 5 perdite. (1) È possibile che $T_3$ vinca contro $T_4$? (2) È possibile che $T_4$ vinca contro $T_3$?

Risposta: (1) No; (2) Yes src_cn_cmc-second-round_2021__Q14