China Mathematical Competition 2002

Monotone increasing interval of a logarithmic composite function

The interval on which the function $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3)$ is monotone increasing is \quad (\quad).

(A) $(-\infty ,-1)$ \qquad (B) $(-\infty ,1)$ \qquad (C) $(1,+\infty )$ \qquad (D) $(3,+\infty )$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Intervallo di aumento monotono di una funzione logaritmica composta

L’intervallo in cui la funzione $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3)$ aumenta monotone è \quad (\quad).

(A) $(-\infty ,-1)$ \qquad (B) $(-\infty ,1)$ \qquad (C) $(1,+\infty )$ \qquad (D) $(3,+\infty )$

Risposta: A src_cn_cmc_2002__Q01

Minimum value of x^2+y^2 for point on a circle

If real numbers $x$ and $y$ satisfy $(x+5{)}^2+(y-12{)}^2=14^2$, then the minimum value of $x^2+y^2$ is \quad (\quad).

(A) 2 \qquad (B) 1 \qquad (C) 0 \qquad (D) $\frac{1}{2}$

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Vale minima di x^2+y^2 per il punto su un cerchio

Se i numeri reali $x$ e $y$ soddisfano $(x+5{)}^2+(y-12{)}^2=14^2$, il valore minimo di $x^2+y^2$ è \quad (\quad).

(A) 2 \qquad (B) 1 \qquad (C) 0 \qquad (D) $\frac{1}{2}$

Risposta: B src_cn_cmc_2002__Q02

Determine parity of a rational-like function

The function $f(x)=\frac{x^2-x-2}{2^x-1}$ is \quad (\quad).

(A) an even but not odd function \qquad (B) an odd but not even function

(C) both even and odd function \qquad (D) a neither even nor odd function

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Determine la parità di una funzione razionale

La funzione $f(x)=\frac{x^2-x-2}{2^x-1}$ è \quad (\quad).

(A) una funzione pari ma non pari qquad (B) una funzione pari ma non pari

(C) funzioni pari e odd \qquad (D) funzioni né pari né odd

Risposta: A src_cn_cmc_2002__Q03

Number of points P on ellipse such that triangle PAB has prescribed area

The straight line $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ intersects the ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ at two points $A$ and $B$. There is a point $P$ on the ellipse such that the area of $△PAB$ is equal to 3. There are/is \quad (\quad) such point/points.

(A) 1 \qquad (B) 2 \qquad (C) 3 \qquad (D) 4

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Numero di punti P sull’ellisse tale che il triangolo PAB abbia prescritto superficie

La linea retta $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ interseca l’ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ a due punti $A$ e $B$. C’è un punto $P$ sull’ellisse tale che l’area di $△PAB$ sia uguale a 3. Ci sono / è \quad (\quad) tali punti / punti.

(A) 1 \qquad (B) 2 \qquad (C) 3 \qquad (D) 4

Risposta: B src_cn_cmc_2002__Q04

Count order-preserving surjections between two 50-element sets

If there are two sets of real numbers $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{50}\}$ and $B=\{b_1,b_2,\cdots ,b_{50}\}$. If there is a mapping $f$ from $A$ to $B$ such that every element in $B$ has an inverse image and $f(a_1)\le f(a_2)\le \cdots \le f(a_{50})$, then the number of such mappings is \quad (\quad).

(A) $C_{50}^1$ \qquad (B) $C_{50}^2$ \qquad (C) $C_{50}^3$ \qquad (D) $C_{50}^{25}$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri libro PDF

Conta le surgezioni di conservazione dell’ordine tra due set di 50 elementi

Se esistono due set di numeri reali $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{50}\}$ e $B=\{b_1,b_2,\cdots ,b_{50}\}$. Se c’è una mappatura $f$ da $A$ a $B$ tale che ogni elemento in $B$ abbia un’immagine inversa e $f(a_1)\le f(a_2)\le \cdots \le f(a_{50})$, allora il numero di tali mappature è \quad (\quad).

(A) $C_{50}^1$ \qquad (B) $C_{50}^2$ \qquad (C) $C_{50}^3$ \qquad (D) $C_{50}^{25}$

Risposta: D src_cn_cmc_2002__Q05

Compare volumes of two solids of revolution related to parabola and line

A region is enclosed by the curves $x^2=4y$, $x-2y-4=0$, $x=4$ and $y=-4$. $V_1$ is the volume of the solid obtained by rotating the above region round the $y$-axis. Another region consists of points $(x,y)$ satisfying $x^2\ge 4y$, $|x|\le 4$, $y\ge -4$. $V_2$ is the volume of the solid obtained by rotating this region round the $y$-axis. Then \quad (\quad).

(A) $V_1=\frac{1}{2}{V}_2$ \qquad (B) $V_1=\frac{2}{3}{V}_2$ \qquad (C) $V_1=V_2$ \qquad (D) $V_1=2V_2$

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Compare i volumi di due solidi di rotazione legati alla parabola e alla linea

Una regione è circondata dalle curve $x^2=4y$, $x-2y-4=0$, $x=4$ e $y=-4$. $V_1$ è il volume del solido ottenuto ruotando la regione di cui sopra intorno all’asse $y$. Un’altra regione è costituita da punti $(x,y)$ che soddisfano $x^2\ge 4y$, $|x|\le 4$, $y\ge -4$. $V_2$ è il volume del solido ottenuto rotando questa regione intorno all’asse $y$. Poi “quad”.

(A) $V_1=\frac{1}{2}{V}_2$ \qquad (B) $V_1=\frac{2}{3}{V}_2$ \qquad (C) $V_1=V_2$ \qquad (D) $V_1=2V_2$

Risposta: C src_cn_cmc_2002__Q06

Find ratio of complex numbers given moduli and angle between their vectors

It is given that complex numbers $z_1$, $z_2$ satisfy $|z_1|=2$ and $|z_2|=3$. If the included angle of their corresponding vectors is $60^{\circ }$, then $\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=$ \underline{\quad}.

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{133}}{7}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il rapporto dei numeri complessi dati con i moduli e l’angolo tra i loro vettori

È dato che i numeri complessi $z_1$, $z_2$ soddisfano $|z_1|=2$ e $|z_2|=3$. Se l’angolo incluso dei loro corrispondenti vettori è $60^{\circ }$, allora $\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=$ \underline{\quad}.

Risposta: $\frac{\sqrt{133}}{7}$ src_cn_cmc_2002__Q07

Count positive integer power terms in binomial expansion when first three coefficients are in AP

We arrange the expansion of ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ in decreasing powers of $x$. If the coefficients of the first three terms form an arithmetic progression, then in the expansion there are \underline{\quad} terms of $x$ with positive integer power.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri libro PDF

Contare i termini di potenza dei numeri interi positivi nell’espansione binomiale quando i primi tre coefficienti sono in AP

Organizziamo l’espansione di ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ in potenze diminuenti di $x$. Se i coefficienti dei primi tre termini formano una progressione aritmetica, allora nell’espansione ci sono termini \underline{\quad} di $x$ con potenza interi positiva.

Risposta: 3 src_cn_cmc_2002__Q08

Count coplanar 4-point groups among vertices and edge-midpoints of tetrahedron

As shown in the diagram, points $P_1,P_2,\cdots ,P_{10}$ are either the vertices or the midpoints of the edges of a tetrahedron respectively. Then there are \underline{\quad} groups of four points $(P_{i_1},P_{i_2},P_{i_3},P_{i_4})$ ($1\le i_1<i_2<i_3<i_4\le 10$) on the same plane.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 33 Fonte: apri libro PDF

Contare i gruppi coplanari a 4 punti tra i vertici e i punti di bordo del tetraedro

Come mostrato nel diagramma, i punti $P_1,P_2,\cdots ,P_{10}$ sono rispettivamente i vertici o i punti medi dei bordi di un tetraedro. Poi ci sono gruppi di quattro punti $(P_{i_1},P_{i_2},P_{i_3},P_{i_4})$ ($1\le i_1<i_2<i_3<i_4\le 10$) sullo stesso piano.

Risposta: 33 src_cn_cmc_2002__Q09

Find g(2002) for function satisfying two-sided growth inequalities

It is given that $f(x)$ is a function defined on $\mathbf{R}$, satisfying $f(1)=1$, and for any $x\in \mathbf{R}$, $f(x+5)\ge f(x)+5,$ $f(x+1)\le f(x)+1.$ If $g(x)=f(x)+1-x$, then $g(2002)=$ \underline{\quad}.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri libro PDF

Ricerca g(2002) per la funzione che soddisfa le disuguaglianze di crescita bilaterali

È dato che $f(x)$ è una funzione definita su $\mathbf{R}$, che soddisfa $f(1)=1$, e per qualsiasi $x\in \mathbf{R}$, $f(x+5)\ge f(x)+5,$ $f(x+1)\le f(x)+1.$ Se $g(x)=f(x)+1-x$, allora $g(2002)=$ \underline{\quad}.

Risposta: 1 src_cn_cmc_2002__Q10

Minimum value of |x|-|y| given logarithmic constraint

If $\log |x+2y|+\log |x-2y|=1$, then the minimum value of $|x|-|y|$ is \underline{\quad}.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

valore minimo di <x di- di- di- di- di- di di- di- di logaritmico di

Se $\log |x+2y|+\log |x-2y|=1$, il valore minimo di $|x|-|y|$ è \underline{\quad}.

Risposta: $\sqrt{3}$ src_cn_cmc_2002__Q11

Find values of a for which trigonometric inequality holds for all x

The inequality ${\sin }^{2}x+a\cos x+a^2\ge 1$ holds for all $x\in \mathbf{R}$. Find the range of values of $a$.

Topic: Trigonometria, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $a\le -2$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca i valori di a per i quali la disuguaglianza trigonometrica vale per tutti x

La disuguaglianza ${\sin }^{2}x+a\cos x+a^2\ge 1$ vale per tutti $x\in \mathbf{R}$. Trova la gamma di valori di $a$.

Risposta: $a\le -2$ src_cn_cmc_2002__Q12

Range of y-coordinate of C on parabola with perpendicularity condition

Given $A(0,2)$ and two points $B$ and $C$ on the parabola $y^2=x+4$ such that $AB\perp BC$, find the range of values for the $y$-coordinate of point $C$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Rango di coordinate y di C su parabola con condizione di perpendicularità

Considerato il $A(0,2)$ e i due punti $B$ e $C$ della parabola $y^2=x+4$ in modo tale che $AB\perp BC$, si trova l’intervallo dei valori per la coordinata $y$ del punto $C$.

src_cn_cmc_2002__Q13

Koch snowflake-type fractal: area sequence general term and limit

As shown in the diagram, there is a sequence of curves $P_0,P_1,P_2,\dots$ $P_0$ is an equilateral triangle. It is known that the region enclosed by $P_0$ has area 1. We build $P_{k+1}$ from $P_k$ by operating as follows: trisect every side of $P_k$, construct an equilateral triangle outwardly on each side of $P_k$ sitting on the middle segment of that side, and finally remove the middle segment $(k=0,1,2,\cdots )$. Write $S_k$ as the area of the region enclosed by $P_k$.

(1) Find a formula for the general term of the sequence $\{S_k\}$. (2) Find ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Frattale tipo fiocco di neve di Koch: sequenza di superficie termine e limite generale

Come mostrato nel diagramma, c’è una sequenza di curve $P_0,P_1,P_2,\dots$ $P_0$ è un triangolo equilaterale. È noto che la regione circondata da $P_0$ ha area 1. Si costruisce $P_{k+1}$ da $P_k$ operando come segue: trisect ogni lato di $P_k$, costruire un triangolo equilaterale verso l’esterno su ogni lato di $P_k$ seduto sul segmento medio di quel lato, e infine rimuovere il segmento medio $(k=0,1,2,\cdots )$. Scrivere $S_k$ come la superficie della regione circondata da $P_k$.

(1) Trovare una formula per il termine generale della sequenza $\{S_k\}$. (2) Trova ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$.

src_cn_cmc_2002__Q14