China Mathematical Competition 2003

Find the 2003rd term of the sequence of positive integers with perfect squares deleted.

A new sequence is obtained from the sequence of the positive integers $\{1,2,3,\cdots \}$ by deleting all the perfect squares. The 2003rd term of the new sequence is ( ).

(A) 2 046 \quad (B) 2 047 \quad (C) 2 048 \quad (D) 2 049

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (B) 2 047 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Trova il termine 2003 della sequenza di numeri interi positivi con quadrati perfetti eliminati.

Una nuova sequenza viene ottenuta dalla sequenza dei numeri interi positivi $\{1,2,3,\cdots \}$ eliminando tutti i quadrati perfetti. Il terzo mandato della nuova sequenza del 2003 è ().

(A) 2 046 \quad (B) 2 047 \quad (C) 2 048 \quad (D) 2 049

Risposta: (B) 2 047 src_cn_cmc_2003__Q01

Identify the type of graph of a line and a conic section given parameter conditions.

Suppose $a,b\in \mathbf{R}$, where $ab\ne 0$. Then the graph of the straight line $ax-y+b=0$ and the graph of the conic section $a{x}^2+a{y}^2=ab$ is ( ).

Topic: Geometria analitica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Risposta: (B) Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Identificare il tipo di grafico di una linea e di una sezione conica date le condizioni di parametro.

Supponiamo $a,b\in \mathbf{R}$, dove $ab\ne 0$. Poi il grafico della linea retta $ax-y+b=0$ e il grafico della sezione conica $a{x}^2+a{y}^2=ab$ è ( ).

Risposta: (B) src_cn_cmc_2003__Q02

A 60-degree line through the focus of a parabola meets it at A, B; find the segment PF from the perpendicular bisector of AB.

Let a line with the inclination angle of $60^{\circ }$ be drawn through the focus $F$ of the parabola $y^2=8(x+2)$. If the two intersection points of the line and the parabola are $A$ and $B$, and the perpendicular bisector of the chord $AB$ intersects the $x$-axis at the point $P$, then the length of the segment $PF$ is ( ).

(A) $\frac{16}{3}$ \quad (B) $\frac{8}{3}$ \quad (C) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ \quad (D) $8\sqrt{3}$

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: (A) Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Una linea di 60 gradi attraverso l’obiettivo di una parabola la incontra a A, B; trovare il segmento PF dal bisettore perpendicolare di AB.

Si deve tracciare una linea con l’angolo di inclinazione di $60^{\circ }$ attraverso il foco $F$ della parabola $y^2=8(x+2)$. Se i due punti di intersezione della linea e della parabola sono $A$ e $B$, e il bisettore perpendicolare dell’accordo $AB$ interseca l’asse $x$ al punto $P$, allora la lunghezza del segmento $PF$ è ( ).

(A) $\frac{16}{3}$ \quad (B) $\frac{8}{3}$ \quad (C) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ \quad (D) $8\sqrt{3}$

Risposta: (A) src_cn_cmc_2003__Q03

Find the maximum of a trigonometric expression over a given interval.

Let $x\in \left[-\frac{5\pi }{12},-\frac{\pi }{3}\right]$. Then the maximum value of $y=\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ is ( ).

(A) $\frac{12}{5}\sqrt{2}$ \quad (B) $\frac{11}{6}\sqrt{2}$ \quad (C) $\frac{11}{6}\sqrt{3}$ \quad (D) $\frac{12}{5}\sqrt{3}$

Topic: Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Risposta: (C) $\frac{11}{6}\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca il massimo di un’espressione trigonometrica su un dato intervallo.

Let $x\in \left[-\frac{5\pi }{12},-\frac{\pi }{3}\right]$. Il valore massimo di $y=\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ è ( ).

(A) $\frac{12}{5}\sqrt{2}$ \quad (B) $\frac{11}{6}\sqrt{2}$ \quad (C) $\frac{11}{6}\sqrt{3}$ \quad (D) $\frac{12}{5}\sqrt{3}$

Risposta: (C) $\frac{11}{6}\sqrt{3}$ src_cn_cmc_2003__Q04

Find the minimum value of a two-variable expression subject to a constraint.

Suppose $x,y\in (-2,2)$ and $xy=-1$. Then the minimum value of $u=\frac{4}{4-x^2}+\frac{9}{9-y^2}$ is ( ).

(A) $\frac{8}{5}$ \quad (B) $\frac{24}{11}$ \quad (C) $\frac{12}{7}$ \quad (D) $\frac{12}{5}$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: (D) $\frac{12}{5}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca il valore minimo di un’espressione a due variabili soggetta a un vincolo.

Supponiamo $x,y\in (-2,2)$ e $xy=-1$. Il valore minimo di $u=\frac{4}{4-x^2}+\frac{9}{9-y^2}$ è ( ).

(A) $\frac{8}{5}$ \quad (B) $\frac{24}{11}$ \quad (C) $\frac{12}{7}$ \quad (D) $\frac{12}{5}$

Risposta: (D) $\frac{12}{5}$ src_cn_cmc_2003__Q05

Find the volume of a tetrahedron given two opposite edges, their distance and angle.

Suppose in the tetrahedron $ABCD$, $AB=1$, $CD=\sqrt{3}$, the distance and angle between the lines $AB$ and $CD$ are $2$ and $\frac{\pi }{3}$ respectively. Then the volume of the tetrahedron equals ( ).

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (B) $\frac{1}{2}$ \quad (C) $\frac{1}{3}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: (B) $\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca il volume di un tetraedro dato due bordi opposti, la loro distanza e angolo.

Supponiamo che nel tetraedro $ABCD$, $AB=1$, $CD=\sqrt{3}$, la distanza e l’angolo tra le linee $AB$ e $CD$ siano rispettivamente $2$ e $\frac{\pi }{3}$. Allora il volume del tetraedro è uguale a ( ).

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (B) $\frac{1}{2}$ \quad (C) $\frac{1}{3}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Risposta: (B) $\frac{1}{2}$ src_cn_cmc_2003__Q06

Solve a cubic inequality involving absolute values.

The solution set of the inequality $|x{|}^3-2x^2-4|x|+3<0$ is ___.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Solvi una disuguaglianza cubica che comporta valori assoluti.

L’insieme di soluzioni della disuguaglianza $|x{|}^3-2x^2-4|x|+3<0$ è ___.

src_cn_cmc_2003__Q07

Find the area of the focal triangle of an ellipse given the ratio of focal distances.

Suppose points $F_1,F_2$ are the foci of the ellipse $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, $P$ is a point on the ellipse, and $|P{F}_1|:|P{F}_2|=2:1$. Then the area of $△P{F}_1{F}_2$ is equal to ___.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 4 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca l’area del triangolo focale di un’ellisse dato il rapporto delle distanze focali.

Supponiamo che i punti $F_1,F_2$ siano i foci dell’ellisse $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, $P$ sia un punto dell’ellisse e $|P{F}_1|:|P{F}_2|=2:1$. Quindi l’area di $△P{F}_1{F}_2$ è uguale a ___.

Risposta: 4 src_cn_cmc_2003__Q08

Find the range of a parameter so that one solution set is contained in another.

Let $A=\{x\mid x^2-4x+3<0,x\in \mathbf{R}\}$, $B=\{x\mid 2^{1-x}+a\le 0,x^2-2(a+7)x+5\le 0,x\in \mathbf{R}\}$. If $A\subseteq B$, then the range of real number $a$ is ___.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $-4\le a\le -1$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca l’intervallo di un parametro in modo che un insieme di soluzioni sia contenuto in un altro.

Per esempio, $A=\{x\mid x^2-4x+3<0,x\in \mathbf{R}\}$, $B=\{x\mid 2^{1-x}+a\le 0,x^2-2(a+7)x+5\le 0,x\in \mathbf{R}\}$. Se $A\subseteq B$, allora l’intervallo del numero reale $a$ è ___.

Risposta: $-4\le a\le -1$ src_cn_cmc_2003__Q09

Find b - d given log relations and a difference condition on positive integers.

Let $a,b,c,d$ be positive integers and ${\log }_{a}b=\frac{3}{2}$, ${\log }_{c}d=\frac{5}{4}$. If $a-c=9$, then $b-d=$ ___.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 93 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca b - d dati rapporti di log e una condizione di differenza sui numeri interi positivi.

Se $a,b,c,d$ sono numeri interi positivi e ${\log }_{a}b=\frac{3}{2}$, ${\log }_{c}d=\frac{5}{4}$. Se $a-c=9$, allora $b-d=$ ___.

Risposta: 93 src_cn_cmc_2003__Q10

Find the height of a cylinder packed with 8 unit balls in two layers of 4.

8 balls of radius 1 are placed in a cylinder in two layers, with each layer containing 4 balls. Each ball is in contact with 2 balls in the same layer, 2 balls in the other layer, one base and the lateral surface of the cylinder. Then the height of the cylinder is ___.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: $\sqrt[4]{8}+2$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca l’altezza di un cilindro con 8 palle unità in due strati di 4.

8 palle di raggio 1 sono collocate in un cilindro in due strati, con ciascun strato contenente 4 palle. Ogni palla è in contatto con 2 palle nello stesso strato, 2 palle nell’altro strato, una base e la superficie laterale del cilindro. Allora l’altezza del cilindro è ___.

Risposta: $\sqrt[4]{8}+2$ src_cn_cmc_2003__Q11

Compute the limit of the ratio of sum to count of a set of decimal fractions.

Let $M_n=\{0.\overline{a_1{a}_2\cdots a_n}\mid a_i=0\text{ or }1,1\le i\le n-1,a_n=1\}$ be a set of decimal fractions. $T_n$ and $S_n$ be the number and the sum of the elements in $M_n$ respectively. Then ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{T_n}=$ ___.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{18}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Calcolare il limite del rapporto somma-conteggio di un insieme di frazioni decimali.

$M_n=\{0.\overline{a_1{a}_2\cdots a_n}\mid a_i=0\text{ or }1,1\le i\le n-1,a_n=1\}$ sia un insieme di frazioni decimali. $T_n$ e $S_n$ sono rispettivamente il numero e la somma degli elementi di $M_n$. Poi ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{T_n}=$ ___.

Risposta: $\frac{1}{18}$ src_cn_cmc_2003__Q12

Prove a sum of three square roots is bounded above by a constant.

Suppose $\frac{1}{2}\le x\le 5$. Prove that $2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Prove che una somma di tre radici quadrate è delimitata sopra da una costante.

Supponiamo $\frac{1}{2}\le x\le 5$. Prove che $2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}$.

src_cn_cmc_2003__Q13

Prove a parametric curve in the complex plane meets a midline of a triangle in exactly one point, and find it.

Suppose $A,B,C$ are three non-collinear points corresponding to complex numbers $z_0=a_i+i$, $z_1=\frac{1}{2}+b_i$, $z_2=1+c_i$ ($a,b$ and $c$ being real numbers), respectively. Prove that the curve $z=z_0{\cos }^{4}t+2z_1{\cos }^{2}t\cdot {\sin }^{2}t+z_2{\sin }^{4}t(t\in \mathbf{R})$ shares a single common point with the line bisecting $AB$ and parallel to $AC$ in $△ABC$, and find this point.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Prove una curva parametrica nel piano complesso che incontra una linea centrale di un triangolo in un punto esatto, e trovala.

Supponiamo che $A,B,C$ siano tre punti non collineari corrispondenti ai numeri complessi $z_0=a_i+i$, $z_1=\frac{1}{2}+b_i$, $z_2=1+c_i$ ($a,b$ e $c$ sono rispettivamente numeri reali). Prova che la curva $z=z_0{\cos }^{4}t+2z_1{\cos }^{2}t\cdot {\sin }^{2}t+z_2{\sin }^{4}t(t\in \mathbf{R})$ condivide un unico punto comune con la linea che divide $AB$ e è parallela a $AC$ in $△ABC$, e trova questo punto.

src_cn_cmc_2003__Q14

Find the locus of all crease lines formed by folding a circle to fit a boundary point onto an interior point.

A circle with center $O$ and radius $R$ is drawn on a paper, and $A$ is a given point in the circle with $OA=a$. Fold the paper to make a point $A^{\prime }$ on the circumference coincident with point $A$, then a crease line is left on the paper. Find the set of all points on such crease lines, when $A^{\prime }$ goes through every point on the circumference.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Trovare il locus di tutte le linee di piega formate piegando un cerchio per adattare un punto di confine a un punto interno.

Un cerchio con centro $O$ e raggio $R$ è disegnato su carta e $A$ è un dato punto del cerchio con $OA=a$. Piegare la carta per rendere un punto $A^{\prime }$ sulla circonferenza coincidente con il punto $A$, quindi si lascia una linea di piega sulla carta. Trova l’insieme di tutti i punti su tali linee di piega, quando $A^{\prime }$ attraversa ogni punto della circonferenza.

src_cn_cmc_2003__Q15