China Mathematical Competition 2004

Acute angle theta making quadratic have repeated root

Let $\theta$ be an acute angle such that the equation $x^2+4\cos \theta \cdot x+\cot \theta =0$ involving variable $x$ has multiple roots. Then the measure of $\theta$ in radians is ( ).

(A) $\frac{\pi }{6}$ \quad (B) $\frac{\pi }{12}$ \quad (C) $\frac{5\pi }{6}$ \quad (D) $\frac{5\pi }{12}$

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri libro PDF

L’angolo acuto che rende quadratici ha radice ripetuta

Che $\theta$ sia un angolo acuto tale che l’equazione $x^2+4\cos \theta \cdot x+\cot \theta =0$ che coinvolge la variabile $x$ abbia più radici. Quindi la misura di $\theta$ nei radiani è ( ).

(A) $\frac{\pi }{6}$ \quad (B) $\frac{\pi }{12}$ \quad (C) $\frac{5\pi }{6}$ \quad (D) $\frac{5\pi }{12}$

Risposta: B src_cn_cmc_2004__Q01

Range of b for ellipse line always intersecting

Assume that $M=\{(x,y)\mid x^2+2y^2=3\}$ and $N=\{(x,y)\mid y=mx+b\}$. If $M\cap N\ne \varnothing$ for all $m\in \mathbf{R}$, then $b$ takes values from ( ).

(A) $\left[-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right]$ \quad (B) $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ \quad (C) $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right]$ \quad (D) $\left[-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Rango di b per le linee di ellisse che si intersecano sempre

Supponiamo che $M=\{(x,y)\mid x^2+2y^2=3\}$ e $N=\{(x,y)\mid y=mx+b\}$. Se $M\cap N\ne \varnothing$ per tutti $m\in \mathbf{R}$, $b$ prende i valori da ( ).

(A) $\left[-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right]$ \quad (B) $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ \quad (C) $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right]$ \quad (D) $\left[-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

Risposta: A src_cn_cmc_2004__Q02

Solution set of inequality with square root and log

The solution set of the inequality $\sqrt{{\log }_{2}x-1}+\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^3+2>0$ is ( ).

(A) $[2,3)$ \quad (B) $(2,3]$ \quad (C) $[2,4)$ \quad (D) $(2,4]$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri libro PDF

insieme di soluzioni di disuguaglianza con radice quadrata e log

Il set di soluzioni della disuguaglianza $\sqrt{{\log }_{2}x-1}+\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^3+2>0$ è ( ).

(A) $[2,3)$ \quad (B) $(2,3]$ \quad (C) $[2,4)$ \quad (D) $(2,4]$

Risposta: C src_cn_cmc_2004__Q03

Ratio of area of triangle ABC to sub-triangle using midpoints

Let $O$ be an interior point of $△ABC$ such that $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. Then the ratio of the area of $△ABC$ to the area of $△AOC$ is ( ).

(A) $2$ \quad (B) $\frac{5}{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\frac{7}{2}$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Ratio di superficie del triangolo ABC al subtriangolo utilizzando i punti medi

Il punto $O$ deve essere un punto interno di $△ABC$ tale che $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. Il rapporto tra l’area di $△ABC$ e l’area di $△AOC$ è quindi ( ).

(A) $2$ \quad (B) $\frac{5}{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\frac{7}{2}$

Risposta: C src_cn_cmc_2004__Q04

Count 3-digit integers whose digits form an isosceles triangle

Let $\sigma =\overline{abc}$ be a 3-digit number. If we can construct an isosceles triangle (including equilateral triangle) with $a$, $b$ and $c$ as the lengths of the sides, the number of such 3-digit integers is ( ).

(A) $45$ \quad (B) $81$ \quad (C) $165$ \quad (D) $216$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Contare i numeri interi a 3 cifre i cui numeri formano un triangolo di pari taglia

$\sigma =\overline{abc}$ sia un numero a 3 cifre. Se si può costruire un triangolo di parice (compreso un triangolo equilaterale) con $a$, $b$ e $c$ come lunghezze dei lati, il numero di tali integri a 3 cifre è ( ).

(A) $45$ \quad (B) $81$ \quad (C) $165$ \quad (D) $216$

Risposta: C src_cn_cmc_2004__Q05

Length of segment in cone with inscribed configuration

The vertical cross-section of a circular cone with vertex $P$ is an isosceles right-angled triangle. Point $A$ is on the circumference of the base circle, point $B$ is interior to the base circle, $O$ is the center of the base circle, $AB\perp OB$ and intersecting at $B$, $OB\perp PD$ and intersecting at $H$, $PA=4$, and $C$ is the midpoint of $PA$. Then the length of $CB$ is ( ).

(A) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ \quad (D) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri libro PDF

Lunghezza del segmento in cono con configurazione scritta

La sezione trasversale verticale di un cono circolare con vertice $P$ è un triangolo rettangolare di uguali pollice. Il punto $A$ è sulla circonferenza del cerchio base, il punto $B$ è interno al cerchio base, $O$ è il centro del cerchio base, $AB\perp OB$ e si interseca a $B$, $OB\perp PD$ e si interseca a $H$, $PA=4$, e $C$ è il punto medio di $PA$. Quindi la lunghezza di $CB$ è ( ).

(A) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ \quad (D) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Risposta: D src_cn_cmc_2004__Q06

Area of rectangle under graph of periodic function

In a planar rectangular system $xOy$, the area enclosed by the graphs of the function $f(x)=a\sin x+\cos x$ $(a>0)$ defined on an interval with the least positive period and by the graph of the function $g(x)=\sqrt{a^2+1}$ is ___.

Topic: Trigonometria, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $4\pi$ Fonte: apri libro PDF

Area di rettangolo sotto grafico di funzione periodica

In un sistema rettangolare piano $xOy$, l’area circondata dai grafici della funzione $f(x)=a\sin x+\cos x$ $(a>0)$ definiti in un intervallo con il periodo meno positivo e dal grafico della funzione $g(x)=\sqrt{a^2+1}$ è ___.

Risposta: $4\pi$ src_cn_cmc_2004__Q07

Find f(x) from functional equation f(x)-f(y)=f(x-y)+2

Let $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ be a function such that $f(0)=1$ and for any $x$, $y\in \mathbf{R}$, $f(x)-f(y)=f(x-y)+2$ holds. Then $f(x)=$ ___.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $x+1$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca f(x) dall’equazione funzionale f(x) -f(y) = f(x-y) +2

$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ deve essere una funzione tale che $f(0)=1$ e per qualsiasi $x$, $y\in \mathbf{R}$, $f(x)-f(y)=f(x-y)+2$ sia contenuta. Poi $f(x)=$ ___.

Risposta: $x+1$ src_cn_cmc_2004__Q08

Dihedral angle in a cube along diagonal edge

In the diagram, $ABCD$-$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ is a cube. Draw line segments $\overline{D_{1}C}$ and $\overline{D_{1}B}$. Draw $CE$ such that $CE\perp D_{1}B$ and $CE$ intersects $\overline{D_{1}B}$ at $F$. $AE$ intersects $\overline{D_{1}B}$ at $G$. The dihedral angle $A$-$B{D}_1$-$A_1$ in degrees is ___.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $120^{\circ }$ Fonte: apri libro PDF

Angolo diidrale in un cubo lungo il bordo diagonale

Nel diagramma, $ABCD$-$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ è un cubo. Disegni di linea $\overline{D_{1}C}$ e $\overline{D_{1}B}$. Disegnare $CE$ in modo tale che $CE\perp D_{1}B$ e $CE$ si incrociano $\overline{D_{1}B}$ a $F$. $AE$ si interseca con $\overline{D_{1}B}$ a $G$. L’angolo diedrico $A$-$B{D}_1$-$A_1$ in gradi è ___.

Risposta: $120^{\circ }$ src_cn_cmc_2004__Q09

Find positive integer k such that sqrt(p^2-p) is integer, p odd prime

Let $p$ be an odd prime. Let $k$ be a positive integer such that $\sqrt{p^2-pk}$ is also a positive integer. Then $k=$ ___.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{(p+1{)}^2}{4}$ Fonte: apri libro PDF

Trova un intero positivo k tale che sqrt(p^2-p) sia un intero, p primo pari

Lasciate che $p$ sia un primo strano. $k$ sia un intero positivo tale che $\sqrt{p^2-pk}$ sia anche un intero positivo. Poi $k=$ ___.

Risposta: $\frac{(p+1{)}^2}{4}$ src_cn_cmc_2004__Q10

Sum of reciprocals of sequence with recurrence (3-a_{n+1})(6+a_n)=18

Let $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$ be a sequence of numbers satisfying $(3-a_{n+1})\cdot (6+a_n)=18$ and $a_0=3$. Then $\sum _{i=0}^n\frac{1}{a_i}$ equals ___.

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{3}\left[2(2^{n+1}-1)-(n+1)\right]$ Fonte: apri libro PDF

*Summa delle reciprocità della sequenza con ricorrenza (3-a_{n+1})

$a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$ è una sequenza di numeri che soddisfa $(3-a_{n+1})\cdot (6+a_n)=18$ e $a_0=3$. Quindi $\sum _{i=0}^n\frac{1}{a_i}$ equivale a ___.

Risposta: $\frac{1}{3}\left[2(2^{n+1}-1)-(n+1)\right]$ src_cn_cmc_2004__Q11

x-coordinate of point P on x-axis maximizing angle MPN

Let $M(-1,2)$ and $N(1,4)$ be two points in a plane rectangular coordinate system $xOy$. $P$ is a moving point on the $x$-axis. When $\angle MPN$ takes its maximum value, the $x$-coordinate of point $P$ is ___.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $1$ Fonte: apri libro PDF

coordinata x del punto P sull’asse x angolo di massimizzazione MPN

Che $M(-1,2)$ e $N(1,4)$ siano due punti in un sistema di coordinate retangolare piano $xOy$. $P$ è un punto in movimento sull’asse $x$. Quando $\angle MPN$ prende il suo valore massimo, la coordinata $x$ del punto $P$ è ___.

Risposta: $1$ src_cn_cmc_2004__Q12

Probability of crossing first three obstacles in dice game

The rule of an “obstacle course” specifies that at the $n$th obstacle, a person has to toss a die until the number of points in those $n$ tosses is bigger than $2^n$; the person is said to have crossed the obstacle.

(1) How many obstacles can a person cross?

(2) What is the probability that a person crosses the first three obstacles?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

La probabilità di attraversare i primi tre ostacoli nel gioco dei dadi

La regola di “corso di ostacolo” specifica che all’ostacolo $n$, una persona deve lanciare un dado fino a quando il numero di punti in tali lanci $n$ è maggiore di $2^n$; si dice che la persona abbia attraversato l’ostacolo.

(1) Quanti ostacoli può superare una persona?

(2) Qual è la probabilità che una persona attraverserà i primi tre ostacoli?

src_cn_cmc_2004__Q13

Locus of point P and lines through incentre with 3 common points

In a plane rectangular coordinate system $xOy$ there are three points $A\left(0,\frac{4}{3}\right)$, $B(-1,0)$ and $C(1,0)$. The distance from point $P$ to line $BC$ is the geometric mean of the distances from this point to lines $AB$ and $AC$.

(1) Find the locus of point $P$.

(2) If line $L$ passes through the incentre (say, $D$) of $△ABC$ and has exactly 3 common points with the locus of point $P$, determine all values of the slope $k$ of line $L$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Locus del punto P e linee attraverso il centro con 3 punti comuni

In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$ ci sono tre punti $A\left(0,\frac{4}{3}\right)$, $B(-1,0)$ e $C(1,0)$. La distanza dal punto $P$ alla linea $BC$ è la media geometrica delle distanze da questo punto alle linee $AB$ e $AC$.

(1) Trovare il luogo del punto $P$.

(2) Se la linea $L$ passa attraverso l’incentro (per esempio $D$) di $△ABC$ e ha esattamente 3 punti comuni con il locus del punto $P$, determinare tutti i valori della pendenza $k$ della linea $L$.

src_cn_cmc_2004__Q14

Function on interval from quadratic roots; max-min and trig inequality

Suppose that $\alpha$ and $\beta$ are different real roots of the equation $4x^2-4tx-1=0$ ($t\in \mathbf{R}$). $[\alpha ,\beta ]$ is the domain of the function $f(x)=\frac{2x-t}{x^2+1}$.

(1) Find $g(t)=\max f(x)-\min f(x)$.

(2) Prove that for $u_i\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ($i=1,2,3$), if $\sin u_1+\sin u_2+\sin u_3=1$, then $\frac{1}{g(\tan u_1)}+\frac{1}{g(\tan u_2)}+\frac{1}{g(\tan u_3)}<\frac{3}{4}\sqrt{6}.$

Topic: Algebra, Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri libro PDF

Funzione a intervallo dalle radici quadratiche; disuguaglianza max-min e trigonale

Supponiamo che $\alpha$ e $\beta$ siano diverse radici reali dell’equazione $4x^2-4tx-1=0$ ($t\in \mathbf{R}$). $[\alpha ,\beta ]$ è il dominio della funzione $f(x)=\frac{2x-t}{x^2+1}$.

(1) Trova $g(t)=\max f(x)-\min f(x)$.

(2) Prova che per $u_i\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ($i=1,2,3$), se $\sin u_1+\sin u_2+\sin u_3=1$, allora $\frac{1}{g(\tan u_1)}+\frac{1}{g(\tan u_2)}+\frac{1}{g(\tan u_3)}<\frac{3}{4}\sqrt{6}.$

src_cn_cmc_2004__Q15