China Mathematical Competition 2005

Four points in space with given edge lengths, count values of product of diagonals

$A$, $B$, $C$, $D$ are four points in the space and satisfy $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=7$, $|\overrightarrow{CD}|=11$ and $|\overrightarrow{DA}|=9$. Then $|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BD}|$ has ( ) values.

(A) only 1 \quad (B) two \quad (C) four \quad (D) infinitely many

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Quattro punti nello spazio con lunghezze di bordo indicate, valori di conteggio del prodotto delle diagonali

$A$, $B$, $C$, $D$ sono quattro punti nello spazio e soddisfano $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=7$, $|\overrightarrow{CD}|=11$ e $|\overrightarrow{DA}|=9$. In questo caso $|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BD}|$ ha i valori ().

(A) solo 1 \quad (B) due \quad (C) quattro \quad (D) infinitamente molti

Risposta: A src_cn_cmc_2005__Q02

Triangle inscribed in unit circle, angle bisectors extended to circle, evaluate ratio

$△ABC$ is inscribed in a unit circle. The three bisectors of the angles $A$, $B$ and $C$ are extended to intersect the circle at $A_1$, $B_1$ and $C_1$ respectively. Then $\frac{A{A}_1\cos \frac{A}{2}+B{B}_1\cos \frac{B}{2}+C{C}_1\cos \frac{C}{2}}{\sin A+\sin B+\sin C}=().$

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Triangolo inserito nel cerchio unitario, bisectori angolari estesi al cerchio, rapporto di valutazione

$△ABC$ è inserito in un cerchio unitario. I tre bisettori degli angoli $A$, $B$ e $C$ sono estesi per incrociare il cerchio rispettivamente a $A_1$, $B_1$ e $C_1$. Poi $\frac{A{A}_1\cos \frac{A}{2}+B{B}_1\cos \frac{B}{2}+C{C}_1\cos \frac{C}{2}}{\sin A+\sin B+\sin C}=().$

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$

Risposta: A src_cn_cmc_2005__Q03

Cube cross-section perpendicular to space diagonal: fixed perimeter or area?

As shown in the diagram, $ABCD$-$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ is a cube. Construct an arbitrary plane $\alpha$ perpendicular to the diagonal $A{C}^{\prime }$ such that $\alpha$ has common points with each face of the cube. Let $S$ and $L$ denote the area and the perimeter of the cross-section of $\alpha$ respectively. Then ( ).

• (A) $S$ is a fixed number and $L$ is not
• (B) $L$ is fixed and $S$ is not
• (C) Both $S$ and $L$ are fixed
• (D) Neither $S$ nor $L$ is fixed

Topic: Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Sezione trasversale di cubo perpendicolare alla diagonale dello spazio: perimetro o area fissa?

Come mostrato nel diagramma, $ABCD$-$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ è un cubo. Costruire un piano arbitrario $\alpha$ perpendicolare alla diagonale $A{C}^{\prime }$ in modo tale che $\alpha$ abbia punti comuni con ogni faccia del cubo. Indicare rispettivamente la superficie e il perimetro della sezione trasversale di $\alpha$. Allora ().

• (A) $S$ è un numero fisso e $L$ non è
• (B) $L$ è fisso e $S$ non è
• (C) Sia $S$ che $L$ sono fissi
• (D) Non è fissato né $S$ né $L$

Risposta: B src_cn_cmc_2005__Q04

Identify conic section from equation with irrational trigonometric coefficients

The curve represented by the equation $\frac{x^2}{\sin \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}}+\frac{y^2}{\cos \sqrt{2}-\sin \sqrt{3}}=1$ is ( ).

• (A) An ellipse with the foci on the $x$-axis
• (B) A hyperbola with the foci on the $x$-axis
• (C) An ellipse with the foci on the $y$-axis
• (D) A hyperbola with the foci on the $y$-axis

Topic: Geometria analitica Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Identificare la sezione conica dell’equazione con coefficienti trigonometrici irrazionali

La curva rappresentata dall’equazione $\frac{x^2}{\sin \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}}+\frac{y^2}{\cos \sqrt{2}-\sin \sqrt{3}}=1$ è ( ).

• (A) Un’ellisse con i foci sull’asse $x$
• (B) Una iperbola con i foci sull’asse $x$
• (C) Un’ellisse con i foci sull’asse $y$
• (D) Una iperbola con i foci sull’asse $y$

Risposta: C src_cn_cmc_2005__Q05

Find the 2005th element in descending order of a base-7 fraction set

Let $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ and M = \left\{\frac{a_1}{7}+\frac{a_2}{7^2}+\frac{a_3}{7^3}+\frac{a_4}{7^4} \;\.\middle|\; a_i \in T,\; i = 1, 2, 3, 4\right\}. Arrange all elements in $M$ in the descending order. Then the $2005$th number is ( ).

(A) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{3}{7^3}+\frac{0}{7^4}$ \quad (B) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{3}{7^3}+\frac{5}{7^4}$

(C) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{0}{7^3}+\frac{0}{7^4}$ \quad (D) $\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{0}{7^3}+\frac{4}{7^4}$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Ricerca l’elemento 2005 in ordine decrescente di un insieme di frazioni base-7

Lasciate che $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ e M = \left\{\frac{a_1}{7}+\frac{a_2}{7^2}+\frac{a_3}{7^3}+\frac{a_4}{7^4} \;\.\middle|\; a_i \in T,\; i = 1, 2, 3, 4\right\}. organizzino tutti gli elementi di $M$ nell’ordine decrescente. In questo caso il numero $2005$ è ( ).

(A) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{3}{7^3}+\frac{0}{7^4}$ \quad (B) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{3}{7^3}+\frac{5}{7^4}$

(C) $\frac{2}{7}+\frac{4}{7^2}+\frac{0}{7^3}+\frac{0}{7^4}$ \quad (D) $\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{0}{7^3}+\frac{4}{7^4}$

Risposta: C src_cn_cmc_2005__Q06

Rewrite polynomial in shifted variable y=x-4, find sum of coefficients

Express the polynomial $f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots -x^{19}+x^{20}$ as a polynomial in $y=x-4$: $g(y)=a_0+a_{1}y+a_2{y}^2+\cdots +a_{20}{y}^{20}.$ Then $a_0+a_1+\cdots +a_{20}=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{5^{21}+1}{6}$ Fonte: apri libro PDF

Riscrivere il polinomio nella variabile spostata y=x-4, trovare la somma dei coefficienti

Esprimere il polinomio $f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots -x^{19}+x^{20}$ come polinomio in $y=x-4$: $g(y)=a_0+a_{1}y+a_2{y}^2+\cdots +a_{20}{y}^{20}.$ Poi $a_0+a_1+\cdots +a_{20}=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: \frac{5^{21}+1}{6} src_cn_cmc_2005__Q07

Find range of a from inequality involving a decreasing function

Let $f(x)$ be a decreasing function defined on $(0,+\infty )$. If $f(2a^2+a+1)<f(3a^2-4a+1)$, then the range of $a$ is \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $0<a<\frac{1}{3}\text{ or }1<a<5$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca la gamma di a da disuguaglianza che comporta una funzione in diminuzione

La funzione $f(x)$ deve essere una funzione decrescente definita su $(0,+\infty )$. Se $f(2a^2+a+1)<f(3a^2-4a+1)$, allora l’intervallo di $a$ è \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: 0 < a < \frac{1}{3} \text{ or } 1 < a < 5 src_cn_cmc_2005__Q08

Find gamma minus alpha given triple cosine sum vanishes for all x

Assume that $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ satisfy $0<\alpha <\beta <\gamma <2\pi$. If $\cos (x+\alpha )+\cos (x+\beta )+\cos (x+\gamma )=0$ for arbitrary $x\in \mathbf{R}$, then $\gamma -\alpha =$ \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Trigonometria Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $\frac{2\pi }{3}$ Fonte: apri libro PDF

Trova gamma meno alfa data la somma del triplo cosino scompare per tutti x

Supponiamo che $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ soddisfino $0<\alpha <\beta <\gamma <2\pi$. Se $\cos (x+\alpha )+\cos (x+\beta )+\cos (x+\gamma )=0$ per arbitrario $x\in \mathbf{R}$, allora $\gamma -\alpha =$ \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: \frac{2\pi}{3} src_cn_cmc_2005__Q09

Find CD in tetrahedron given volume, angle, and AM-GM equality condition

As shown in the diagram, the volume of tetrahedron $DABC$ is $\frac{1}{6}$. Also, $\angle ACB=45^{\circ }$, and $AD+BC+\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$. Then $CD=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il CD in tetraedro dato volume, angolo e condizione di uguaglianza AM-GM

Come mostrato nel diagramma, il volume del tetraedro $DABC$ è $\frac{1}{6}$. Inoltre $\angle ACB=45^{\circ }$ e $AD+BC+\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$. Poi $CD=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: \sqrt{3} src_cn_cmc_2005__Q10

Minimum area of square with one side on a line and opposite vertices on parabola

If one side $AB$ of square $ABCD$ lies on the line $y=2x-17$, and the other two vertices $C$ and $D$ lie on the parabola $y=x^2$, then the minimum area of the square is \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 80 Fonte: apri libro PDF

L’area minima di quadrato con un lato su una linea e vertici opposti sulla parabola

Se un lato $AB$ del quadrato $ABCD$ si trova sulla linea $y=2x-17$, e le altre due vertici $C$ e $D$ si trovano sulla parabola $y=x^2$, allora la superficie minima del quadrato è \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: 80 src_cn_cmc_2005__Q11

Lucky numbers with digit sum 7: find a_{5m} given a_m = 2005

A natural number $n$ is called a “lucky number” if the sum of its digits is $7$. Arrange all lucky numbers in ascending order to get the sequence $a_1,a_2,\dots$. If $a_m=2005$, then $a_{5m}=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 52000 Fonte: apri libro PDF

Numeri fortunati con somma di 7 numeri: trovare a_{5m} dato a_m = 2005

Un numero naturale $n$ è chiamato “numero fortunato” se la somma delle sue cifre è $7$. Organizzare tutti i numeri fortunati in ordine ascendente per ottenere la sequenza $a_1,a_2,\dots$. Se $a_m=2005$, allora $a_{5m}=$ \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: 52000 src_cn_cmc_2005__Q12

Prove sequence defined by nested radical recurrence yields integers and perfect squares

Given a sequence $\{a_n\}$ satisfying $a_0=1$ and $a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2},n\in \mathbb{N}.$ Prove that:

(1) For each $n\in \mathbb{N}$, $a_n$ is a positive integer;

(2) For each $n\in \mathbb{N}$, $a_n{a}_{n+1}-1$ is a perfect square.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza di prova definita da recidiva radicale incastonata rende numeri interi e quadrati perfetti

Una sequenza $\{a_n\}$ soddisfa $a_0=1$ e $a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2},n\in \mathbb{N}.$ dimostra che:

(1) Per ogni $n\in \mathbb{N}$, $a_n$ è un intero positivo;

(2) Per ogni $n\in \mathbb{N}$, $a_n{a}_{n+1}-1$ è un quadrato perfetto.

src_cn_cmc_2005__Q13

Nine balls on circle, find probability that sum of absolute differences of neighbors is minimized

Nine balls, numbered $1,2,\dots ,9$, are placed at random at $9$ equally spaced points on a circle, one ball per point. Let $S$ be the sum of the absolute values of the differences of the numbers on all pairs of neighboring balls. Find the probability that $S$ attains its minimum value. (Remark: If one arrangement can be obtained from another by a rotation or a reflection, the two arrangements are regarded as the same.)

Topic: Combinatoria, Probabilità Metodo: Conteggio, Estremalità, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{1}{315}$ Fonte: apri libro PDF

Nove palle su un cerchio, trovare la probabilità che la somma delle differenze assolute dei vicini è ridotta al minimo

Nove palle, numerate $1,2,\dots ,9$, sono posizionate a caso in $9$ punti spaziati ugualmente su un cerchio, una palla per punto. $S$ sia la somma dei valori assoluti delle differenze dei numeri su tutte le coppie di palle vicine. Trova la probabilità che $S$ raggiunga il suo valore minimo. (Nota: se una disposizione può essere ottenuta da un’altra mediante rotazione o riflessione, le due disposizioni sono considerate uguali.)

Risposta: \frac{1}{315} src_cn_cmc_2005__Q14