China Mathematical Competition 2006

Triangle ABC with vector inequality implies right angle

Let $△ABC$ be a given triangle. If $|\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|\ge |\overrightarrow{AC}|$ for any $t\in \mathbf{R}$, then $△ABC$ is (\ \ ).

(A) an acute triangle\quad (B) an obtuse triangle\quad (C) a right triangle\quad (D) not known

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Triangolo ABC con disuguaglianza vettoriale implica angolo retto

Lasciate che $△ABC$ sia un triangolo dato. Se $|\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|\ge |\overrightarrow{AC}|$ per qualsiasi $t\in \mathbf{R}$, allora $△ABC$ è (\ \ ).

(A) un triangolo acuto\quad (B) un triangolo obtuso\quad (C) un triangolo rettangolo\quad (D) sconosciuto

Risposta: C src_cn_cmc_2006__Q01

Range of x satisfying logarithmic inequality

Suppose ${\log }_x(2x^2+x-1)>{\log }_{x}2-1$. Then the range of $x$ is (\ \ ).

(A) $\frac{1}{2}<x<1$\quad (B) $x>\frac{1}{2}$ and $x\ne 1$\quad (C) $x>1$\quad (D) $0<x<1$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Rango di x soddisfacente la disuguaglianza logaritmica

Supponiamo ${\log }_x(2x^2+x-1)>{\log }_{x}2-1$. Quindi l’intervallo di $x$ è (\ ).

(A) $\frac{1}{2}<x<1$\quad (B) $x>\frac{1}{2}$ e $x\ne 1$\quad (C) $x>1$\quad (D) $0<x<1$

Risposta: B src_cn_cmc_2006__Q02

Count pairs (a,b) for intersection of natural number sets

Suppose $A=\{x\mid 5x-a\le 0\}$, $B=\{x\mid 6x-b>0\}$, $a,b\in \mathbf{N}$, and $A\cap B\cap \mathbf{N}=\{2,3,4\}$. The number of such pairs $(a,b)$ is (\ \ ).

(A) 20\quad (B) 25\quad (C) 30\quad (D) 42

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Conte di coppie (a,b) per l’intersezione di gruppi di numeri naturali

Supponiamo $A=\{x\mid 5x-a\le 0\}$, $B=\{x\mid 6x-b>0\}$, $a,b\in \mathbf{N}$ e $A\cap B\cap \mathbf{N}=\{2,3,4\}$. Il numero di tali coppie $(a,b)$ è (\ ).

(A) 20\quad (B) 25\quad (C) 30\quad (D) 42

Risposta: C src_cn_cmc_2006__Q03

Range of DF length in right triangular prism with GD perp EF

Given a right triangular prism $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ with $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$ and $AB=AC=A{A}_1=1$, let $G$, $E$ be the midpoints of $A_1{B}_1$, $C{C}_1$ respectively, and $D$, $F$ be variable points lying on segments $AC$, $AB$ (not including endpoints) respectively. If $GD\perp EF$, the range of the length of $DF$ is (\ \ ).

(A) $\left[\frac{1}{2},1\right)$\quad (B) $\left[\frac{1}{2},2\right)$\quad (C) $\left(1,\sqrt{2}\right)$\quad (D) $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$

Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Rango di lunghezza DF in prisma triangolare rettangolare con GD perp EF

Dato un prisma triangolare rettangolare $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ con $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$ e $AB=AC=A{A}_1=1$, $G$, $E$ siano rispettivamente i punti medi di $A_1{B}_1$, $C{C}_1$ e $D$, $F$ siano i punti variabili che si trovano sui segmenti $AC$ e $AB$ (esclusi i punti finali) rispettivamente. Se $GD\perp EF$, l’intervallo di lunghezza di $DF$ è (\ \ ).

(A) $\left[\frac{1}{2},1\right)$\quad (B) $\left[\frac{1}{2},2\right)$\quad (C) $\left(1,\sqrt{2}\right)$\quad (D) $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$

Risposta: A src_cn_cmc_2006__Q04

Condition on a+b>=0 for f(a)+f(b)>=0 with odd function

Suppose $f(x)=x+{\log }_x\left(\sqrt{x^2+1}\right)$. For any $a,b\in \mathbf{R}$, to satisfy $f(a)+f(b)\ge 0$, the condition $a+b\ge 0$ is (\ \ ).

(A) necessary and sufficient\quad (B) not necessary but sufficient\quad (C) necessary but not sufficient\quad (D) neither necessary nor sufficient

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Condizione su a+b>=0 per f(a)+f(b)>=0 con funzione odd

Supponiamo $f(x)=x+{\log }_x\left(\sqrt{x^2+1}\right)$. Per qualsiasi $a,b\in \mathbf{R}$, per soddisfare $f(a)+f(b)\ge 0$, la condizione $a+b\ge 0$ è (\ \ ).

(A) necessaria e sufficiente (B) non necessaria ma sufficiente (C) necessaria ma insufficiente (D) né necessaria né sufficiente

Risposta: A src_cn_cmc_2006__Q05

Count 2007-digit decimal integers with no digit equal to 9

Let $S$ be the set of all those 2007-place decimal integers $\overline{a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{2006}}$ which contain no digit of value ‘9’ in each sequence $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{2006}$. The cardinal number of $S$ is

• (A) $\frac{1}{2}(10^{2006}+8^{2006})$
• (B) $\frac{1}{2}(10^{2006}-8^{2006})$
• (C) $10^{2006}+8^{2006}$
• (D) $10^{2006}-8^{2006}$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Contare i numeri interi decimali a 2007 cifre senza cifra uguale a 9

$S$ sia l’insieme di tutti gli enti decimali del 2007 $\overline{a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{2006}}$ che non contengono alcuna cifra del valore ‘9’ in ogni sequenza $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{2006}$. Il numero cardinale di $S$ è

• (A) $\frac{1}{2}(10^{2006}+8^{2006})$
• (B) $\frac{1}{2}(10^{2006}-8^{2006})$
• (C) $10^{2006}+8^{2006}$
• (D) $10^{2006}-8^{2006}$

Risposta: B src_cn_cmc_2006__Q06

Find the range of f(x)=sin^4 x - sin x cos x + cos^4 x

Let $f(x)={\sin }^{4}x-\sin x\cos x+{\cos }^{4}x$. The range of $f(x)$ is ________.

Topic: Trigonometria, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\left[0,\frac{9}{8}\right]$ Fonte: apri libro PDF

Trova l’intervallo di f(x) = sin^4 x - sin x cos x + cos^4 x

Let $f(x)={\sin }^{4}x-\sin x\cos x+{\cos }^{4}x$. L’intervallo di $f(x)$ è ________.

Risposta: $\left[0,\frac{9}{8}\right]$ src_cn_cmc_2006__Q07

Find range of real a so |z|<=2 for all theta, where z=(a+cos theta)+(2a-sin theta)i

Let complex number $z=(a+\cos \theta )+(2a-\sin \theta )\mathrm{i}$. If $|z|\le 2$ for any $\theta \in \mathbf{R}$, then the range of real number $a$ is ________.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $\left[-\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right]$ Fonte: apri libro PDF

Trova intervallo di reale a so=ız da <=2 per theta, dove z(a+cos theta) +(2a-sin theta) i

Il numero complesso $z=(a+\cos \theta )+(2a-\sin \theta )\mathrm{i}$. Se $|z|\le 2$ per qualsiasi $\theta \in \mathbf{R}$, allora l’intervallo del numero reale $a$ è ________.

Risposta: $\left[-\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right]$ src_cn_cmc_2006__Q08

Find ratio |PF1|/|PF2| when angle F1PF2 is maximized for point P on line

Suppose points $F_1$, $F_2$ are the left and right foci of the ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (where $a>b>0$, $b=2$) respectively, and $P$ is a point on line $l_1$. When $\angle F_{1}P{F}_2$ reaches the maximum, the value of ratio $\left|\frac{P{F}_1}{P{F}_2}\right|$ is ________.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{5}-1$ Fonte: apri libro PDF

Find ratio ↓PF1 quando l’angolo di declinazione/di declinazionePF2 è F1PF2 è massimo per il punto P sulla linea

Supponiamo che i punti $F_1$, $F_2$ siano rispettivamente i foci sinistri e destri dell’ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (dove $a>b>0$, $b=2$) e $P$ sia un punto sulla linea $l_1$. Quando $\angle F_{1}P{F}_2$ raggiunge il massimo, il valore del rapporto $\left|\frac{P{F}_1}{P{F}_2}\right|$ è ________.

Risposta: $\sqrt{5}-1$ src_cn_cmc_2006__Q09

Find common ratio q of geometric progression given integer condition

Let $\{a_n\}$ be an arithmetic progression with common difference $d$ ($d\ne 0$) and $\{b_n\}$ be a geometric progression with common ratio $q$, where $q$ is a positive rational number less than $1$. If $a_1=d$, $b_1=d^2$ and $\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ is a positive integer, then $q$ equals $\underline{}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il rapporto comune q di progressione geometrica data condizione interiore

Che $\{a_n\}$ sia una progressione aritmetica con differenza comune $d$ ($d\ne 0$) e $\{b_n\}$ sia una progressione geometrica con rapporto comune $q$, dove $q$ è un numero razionale positivo inferiore a $1$. Se $a_1=d$, $b_1=d^2$ e $\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ sono un intero positivo, allora $q$ è uguale a $\underline{}$.

Risposta: $\frac{1}{2}$ src_cn_cmc_2006__Q10

Minimum value of trig-radical function on interval

Given $f(x)=\frac{\sin (\pi x)-\cos (\pi x)+2}{\sqrt{x}}$ for $\frac{1}{4}\le x\le \frac{5}{4}$, the minimum of $f(x)$ is $\underline{}$.

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ Fonte: apri libro PDF

Valuta minima della funzione trigradikale a intervallo

Dato $f(x)=\frac{\sin (\pi x)-\cos (\pi x)+2}{\sqrt{x}}$ per $\frac{1}{4}\le x\le \frac{5}{4}$, il minimo di $f(x)$ è $\underline{}$.

Risposta: $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ src_cn_cmc_2006__Q11

Count ways to fill 4x4 matrix with two a’s and two b’s

Four letters, two $a$‘s and two $b$‘s, are filled into $16$ cells of a matrix as shown in the figure. It is required that each row contains at most one letter, and each row or column cannot contain the same letters. Then there are $\underline{}$ different ways that the matrix can be filled. (A numerical answer is needed.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3960 Fonte: apri libro PDF

Contare i modi per riempire la matrice 4x4 con due a e due b

Quattro lettere, due $a$ e due $b$, sono riempite nelle celle $16$ di una matrice come mostrato nella figura. Occorre che ogni riga contenga al massimo una lettera e ogni riga o colonna non può contenere le stesse lettere. Poi ci sono $\underline{}$ diversi modi in cui la matrice può essere riempita. (Si richiede una risposta numerica.)

Risposta: 3960 src_cn_cmc_2006__Q12

Prove integer sequence k_m defined by intersection of y^2=kx-1 and y=x satisfies recurrence

Given an integer $n\ge 2$, define $M_k(x_k,y_k)$ to be an intersection point of the parabola $y^2=kx-1$ and the line $y=x$. Prove that for any positive integer $m$, $k_m=x_m+\frac{1}{x_m}$ is a positive integer, where $k_0=n$ and $k_{m+1}=k_m^2-k_{m-1}$ (with $k_1=n^2-2$).

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove la sequenza di numeri interi k_m definita dall’intersezione di y^2=kx-1 e y=x soddisfa la ricorrenza

Date un numero intero $n\ge 2$, definire $M_k(x_k,y_k)$ come punto di intersezione della parabola $y^2=kx-1$ e della linea $y=x$. Prova che per qualsiasi numero intero positivo $m$, $k_m=x_m+\frac{1}{x_m}$ è un numero intero positivo, dove $k_0=n$ e $k_{m+1}=k_m^2-k_{m-1}$ (con $k_1=n^2-2$).

src_cn_cmc_2006__Q13

Maximize and minimize sum of pairwise products of five positive integers summing to 2006

Let 2006 be expressed as the sum of five positive integers $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ and $S=\sum _{1\le i<j\le 5}{x}_i{x}_j$. Ask: (1) What value of $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ will make $S$ the maximum? (2) Further, if $|x_i-x_j|<3$ for any $1\le i,j\le 5$, what value of $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ will make $S$ the minimum? Please give your answer.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Maximizzare e minimizzare la somma dei prodotti in coppia di cinque numeri interi positivi che sommano al 2006

Esprimere il 2006 come la somma di cinque integri positivi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ e $S=\sum _{1\le i<j\le 5}{x}_i{x}_j$. Domanda: (1) Quale valore di $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ renderà $S$ il massimo? (2) Inoltre, se $|x_i-x_j|<3$ per qualsiasi $1\le i,j\le 5$, quale valore di $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ renderà $S$ il minimo? Per favore, rispondi.

src_cn_cmc_2006__Q14

Decompose 2pi-periodic function into four pi-periodic even parts

Suppose $f(x+2\pi )=f(x)$ for any $x\in \mathbb{R}$. Prove: there are $f_i(x)$ ($i=1,2,3,4$) such that\n(1) $f_i(x)$ ($i=1,2,3,4$) is an even function, and $f_i(x+\pi )=f_i(x)$ for any $x\in \mathbb{R}$;\n(2) $f(x)=f_1(x)+f_2(x)\cos x+f_3(x)\sin x+f_4(x)\sin 2x$ for any $x\in \mathbb{R}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra, Trigonometria Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri libro PDF

Decomponere la funzione 2pi-periodico in quattro parti pari pi-periodico

Supponiamo $f(x+2\pi )=f(x)$ per qualsiasi $x\in \mathbb{R}$. Prova: ci sono $f_i(x)$ ($i=1,2,3,4$) tali che\n(1) $f_i(x)$ ($i=1,2,3,4$) è una funzione pari, e $f_i(x+\pi )=f_i(x)$ per qualsiasi $x\in \mathbb{R}$;\n(2) $f(x)=f_1(x)+f_2(x)\cos x+f_3(x)\sin x+f_4(x)\sin 2x$ per qualsiasi $x\in \mathbb{R}$.

src_cn_cmc_2006__Q15