China Mathematical Competition 2007

Dihedral angle cosine in right square pyramid

Given a right square pyramid $P$-$ABCD$ with $\angle APC=60^{\circ }$, as shown in the figure, the cosine of the dihedral angle $A$-$PB$-$C$ is $($\quad$)$.

(A) $-\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{2}$

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Cosino di angolo diidride nella piramide quadrata destra

Data una piramide quadrata destra $P$-$ABCD$ con $\angle APC=60^{\circ }$, come mostrato nella figura, il cosino dell’angolo diedro $A$-$PB$-$C$ è $($\quad$)$.

(A) $-\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{2}$

Risposta: B src_cn_cmc_2007__Q01

Range of a satisfying absolute value inequality for all real x

Suppose real number $a$ satisfies: for any $x\in \mathbb{R}$, $|2x-a|+|3x-2a|\ge a^2$. Then $a$ lies in $($\quad$)$.

(A) $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$ (B) $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]$ (C) $[-3,3]$ (D) $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri libro PDF

*Intervallo di una soddisfacente disuguaglianza di valore assoluto per tutte le x reali *

Supponiamo che il numero reale $a$ soddisfi: per qualsiasi $x\in \mathbb{R}$, $|2x-a|+|3x-2a|\ge a^2$. Quindi $a$ si trova in $($\quad$)$.

(A) $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$ (B) $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]$ (C) $[-3,3]$ (D) $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$

Risposta: A src_cn_cmc_2007__Q02

Probability that a - 2b + 10 > 0 for balls drawn with replacement

Nine balls of the same size and color, numbered $1,2,\dots ,9$, were put into a packet. Now $A$ draws a ball from the packet, noted that it is of number $a$, and puts it back. Then $B$ also draws a ball from the packet and noted that it is of number $b$. Then the probability for the inequality $a-2b+10>0$ to hold is $($\quad$)$.

(A) $\frac{52}{81}$ (B) $\frac{59}{81}$ (C) $\frac{60}{81}$ (D) $\frac{61}{81}$

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri libro PDF

Probabilità che a - 2b + 10 > 0 per le palle disegnate con sostituzione

Nove palle della stessa dimensione e colore, numerate $1,2,\dots ,9$, sono state messe in un pacchetto. Ora $A$ tira una palla dal pacchetto, nota che è di numero $a$, e la rimette indietro. Poi $B$ trae anche una palla dal pacchetto e nota che è di numero $b$. Quindi la probabilità che l’ineguaglianza $a-2b+10>0$ sia mantenuta è $($\quad$)$.

(A) $\frac{52}{81}$ (B) $\frac{59}{81}$ (C) $\frac{60}{81}$ (D) $\frac{61}{81}$

Risposta: D src_cn_cmc_2007__Q03

Value of bcos(c)/a in trigonometric functional equation

Let $f(x)=3\sin x+2\cos x+1$. If real numbers $a$, $b$, $c$ are such that $af(x)+bf(x-c)=1$ holds for any $x\in \mathbb{R}$, then $\frac{b\cos c}{a}$ equals $($\quad$)$.

(A) $-\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $-1$ (D) $1$

Topic: Trigonometria, Equazioni funzionali Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Valuta di bcos(c)/a nell’equazione funzionale trigonometrica

Let $f(x)=3\sin x+2\cos x+1$. Se i numeri reali $a$, $b$, $c$ sono tali che $af(x)+bf(x-c)=1$ sia valido per qualsiasi $x\in \mathbb{R}$, allora $\frac{b\cos c}{a}$ è uguale a $($\quad$)$.

(A) $-\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $-1$ (D) $1$

Risposta: C src_cn_cmc_2007__Q04

Locus of center of circle tangent to two fixed circles

Given two fixed circles with $O_1$ and $O_2$ as their centers respectively, a circle $P$ moves in a way such that it is tangent to both of them. Then the locus of the center of $P$ cannot be $($\quad$)$.

(A), (B), (C), (D) are four curves shown in the figure.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Locus del centro del cerchio tangente a due cerchi fissi

Dato che due cerchi fissi con $O_1$ e $O_2$ rispettivamente come loro centri, un cerchio $P$ si muove in modo tale da essere tangente a entrambi. Quindi il locus del centro di $P$ non può essere $($\quad$)$.

(A), (B), (C), (D) sono quattro curve mostrate nella figura.

Risposta: A src_cn_cmc_2007__Q05

Maximum size of union of two disjoint subsets with mapping condition

Let $A$ and $B$ be two subsets of $\{1,2,3,\dots ,100\}$, satisfying $|A|=|B|$ and $A\cap B=\varnothing$. If $a\in A$ always implies $2a+2\in B$, then the maximum of $|A\cup B|$ is $($\quad$)$.

(A) $62$ (B) $66$ (C) $68$ (D) $74$

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Massima dimensione di unione di due sottoinsiemi disconnessi con condizione di mappatura

Se il $A$ e il $B$ sono due sottogruppi di $\{1,2,3,\dots ,100\}$, soddisfa $|A|=|B|$ e $A\cap B=\varnothing$. Se $a\in A$ implica sempre $2a+2\in B$, il massimo di $|A\cup B|$ è $($\quad$)$.

(A) $62$ (B) $66$ (C) $68$ (D) $74$

Risposta: B src_cn_cmc_2007__Q06

Minimum sum of distances from four fixed points to variable point

Given four fixed points $A(-3,0)$, $B(1,-1)$, $C(0,3)$, $D(-1,3)$ and a variable point $P$ in a plane rectangular coordinates system, the minimum of $|PA|+|PB|+|PC|+|PD|$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Risposta: $3\sqrt{2}+2\sqrt{5}$ Fonte: apri libro PDF

Minimum somma delle distanze da quattro punti fissi a punti variabili

Se si considerano quattro punti fissi $A(-3,0)$, $B(1,-1)$, $C(0,3)$, $D(-1,3)$ e un punto variabile $P$ in un sistema di coordinate rettangolari piani, il minimo di $|PA|+|PB|+|PC|+|PD|$ è $\underline{}$.

Risposta: $3\sqrt{2}+2\sqrt{5}$ src_cn_cmc_2007__Q07

Cosine of angle between EF and AC given triangle configuration

Given $△ABC$ and $△AEF$ such that $B$ is the midpoint of $EF$, $AE=AC$, $AB=\sqrt{6}$, $CA=\sqrt{3}$, and $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$. The cosine of the angle between $\overrightarrow{EF}$ and $\overrightarrow{AC}$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $-\frac{1}{3}$ Fonte: apri libro PDF

Cosine dell’angolo tra EF e AC data configurazione triangolare

Date $△ABC$ e $△AEF$ in modo tale che $B$ sia il punto medio di $EF$, $AE=AC$, $AB=\sqrt{6}$, $CA=\sqrt{3}$ e $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$. Il cosino dell’angolo tra $\overrightarrow{EF}$ e $\overrightarrow{AC}$ è $\underline{}$.

Risposta: $-\frac{1}{3}$ src_cn_cmc_2007__Q08