China Mathematical Competition 2008

Minimum value of rational function on half-line

The minimum value of $f(x)=\frac{5-4x+x^2}{2-x}$ for $x\in (-\infty ,2)$ is ( ).

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Valuta minima della funzione razionale su metà linea

Il valore minimo di $f(x)=\frac{5-4x+x^2}{2-x}$ per $x\in (-\infty ,2)$ è ( ).

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3

Risposta: C src_cn_cmc_2008__Q01

Range of parameter a so that B is subset of A

Let $A=[-2,4)$, $B=\{x\mid x^2-ax-4<0\}$. If $B\subseteq A$, then the range of $a$ is ( ).

(A) $[-1,2)$ \quad (B) $[1,2]$ \quad (C) $[0,3]$ \quad (D) $[0,3)$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri libro PDF

Intervallo di parametro a in modo che B sia un sottoinsieme di A

Per esempio, $A=[-2,4)$, $B=\{x\mid x^2-ax-4<0\}$. Se $B\subseteq A$, allora l’intervallo di $a$ è ( ).

(A) $[-1,2)$ \quad (B) $[1,2]$ \quad (C) $[0,3]$ \quad (D) $[0,3)$

Risposta: D src_cn_cmc_2008__Q02

Expected number of games in ping-pong match

$A$ and $B$ are playing ping-pong, with the agreement that the winner will get 1 point and the loser 0 points; the match ends as soon as one of the players is ahead by 2 points or the number of games reaches six. Suppose the probabilities of $A$ and $B$ winning a game are $\frac{2}{3}$ and $\frac{1}{3}$, respectively, and each game is independent. Then the expectation $E\xi$ for the number of games $\xi$ is ( ).

(A) $\frac{241}{81}$ \quad (B) $\frac{266}{81}$ \quad (C) $\frac{374}{81}$ \quad (D) $\frac{670}{243}$

Topic: Probabilità Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Numero di partite atteso in partita di ping-pong

$A$ e $B$ giocano a ping-pong, con l’accordo che il vincitore riceverà 1 punto e il perdente 0 punti; la partita termina appena uno dei giocatori è in vantaggio di 2 punti o il numero di partite raggiunge i sei. Supponiamo che le probabilità di $A$ e $B$ di vincere un gioco siano rispettivamente $\frac{2}{3}$ e $\frac{1}{3}$, e ciascuna partita sia indipendente. Poi l’aspettativa $E\xi$ per il numero di giochi $\xi$ è ( ).

(A) $\frac{241}{81}$ \quad (B) $\frac{266}{81}$ \quad (C) $\frac{374}{81}$ \quad (D) $\frac{670}{243}$

Risposta: B src_cn_cmc_2008__Q03

Volume sum of three integer-edged cubes with given total surface area

Given three cubes with integer edge lengths, if the sum of their surface areas is 564 cm${}^2$, then the sum of their volumes is ( ).

(A) 764 cm${}^3$ or 586 cm${}^3$ \quad (B) 764 cm${}^3$ \quad (C) 386 cm${}^3$ \quad (D) 586 cm${}^3$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri libro PDF

Summa di volume di tre cubi a bordi interi con superficie totale data

Dati tre cubetti con lunghezze di bordi interi, se la somma delle loro superfici è di 564 cm${}^2$, allora la somma dei loro volumi è ( ).

(A) 764 cm${}^3$ o 586 cm${}^3$ \quad (B) 764 cm${}^3$ \quad (C) 386 cm${}^3$ \quad (D) 586 cm${}^3$

Risposta: A src_cn_cmc_2008__Q04

Number of rational solutions to a symmetric system

The number of rational solutions to the system of equations $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0\end{array}$ is ( ).

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri libro PDF

Numero di soluzioni razionali a un sistema simmetrico

Il numero di soluzioni razionali del sistema di equazioni $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0\end{array}$ è ( ).

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad

Risposta: B src_cn_cmc_2008__Q05

Range of trigonometric ratio when sides form geometric sequence

Suppose that the sides $a,b,c$ of $△ABC$, corresponding to the angles $A,B,C$ respectively, constitute a geometric sequence. Then the range of $\frac{\sin A\cos C-\cos B}{\sin B\cos C-\cos B}$ is ( ).

(A) $(0,+\infty )$ \quad (B) $\left(0,\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ \quad (C) $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ \quad (D) $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri libro PDF

Intervallo del rapporto trigonometrico quando i lati formano una sequenza geometrica

Supponiamo che i lati $a,b,c$ di $△ABC$, corrispondenti rispettivamente agli angoli $A,B,C$, costituiscano una sequenza geometrica. Quindi l’intervallo di $\frac{\sin A\cos C-\cos B}{\sin B\cos C-\cos B}$ è ( ).

(A) $(0,+\infty )$ \quad (B) $\left(0,\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ \quad (C) $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ \quad (D) $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$

Risposta: C src_cn_cmc_2008__Q06

Find a+b for iterated linear function with given seventh iterate

Let $f(x)=ax+b$, with $a,b$ real numbers; $f_1(x)=f(x)$, $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$, $n=1,2,\dots$ If $f_7(x)=128x+381$, then $a+b=$ ________.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 5 Fonte: apri libro PDF

Trova a+b per la funzione lineare iterata con data settima iterata

Se $f(x)=ax+b$, con $a,b$ numeri reali; $f_1(x)=f(x)$, $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$, $n=1,2,\dots$ Se $f_7(x)=128x+381$, $a+b=$ ________.

Risposta: 5 src_cn_cmc_2008__Q07

Find parameter a so minimum of trig function equals -1/2

Suppose that the minimum of $f(x)=\cos 2x-4a(1+\cos x)$ is $-\frac{1}{2}$. Then $a=$ ________.

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $-2+\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il parametro così minimo della funzione trigonometrica è uguale a -1/2

Supponiamo che il minimo di $f(x)=\cos 2x-4a(1+\cos x)$ sia $-\frac{1}{2}$. Poi $a=$ ________.

Risposta: $-2+\sqrt{3}$ src_cn_cmc_2008__Q08

Count allocations of 24 volunteers to 3 schools with distinct positive numbers

Twenty-four volunteers will be allocated to three schools. The rule is that each school will accept at least one volunteer and all the schools will accept different numbers of volunteers. Then there are ________ different ways of allocating volunteers.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 222 Fonte: apri libro PDF

Conteggio delle assegnazioni di 24 volontari a 3 scuole con numeri positivi distinti

24 volontari saranno assegnati a tre scuole. La regola è che ogni scuola accetterà almeno un volontario e tutte le scuole accetteranno un numero diverso di volontari. Poi ci sono ________ modi diversi di assegnare i volontari.

Risposta: 222 src_cn_cmc_2008__Q09

Find general term of sequence given relation involving partial sum

Let $S_n$ denote the sum of the first $n$ terms in a number sequence $\{a_n\}$, satisfying $S_n+a_n=\frac{n-1}{n(n+1)},n=1,2,\dots$ Then $a_n=$ ________.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{2^n}-\frac{1}{n(n+1)}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il termine generale della sequenza data relazione che coinvolge la somma parziale

$S_n$ indichi la somma dei primi termini $n$ in una sequenza di numeri $\{a_n\}$, soddisfacendo $S_n+a_n=\frac{n-1}{n(n+1)},n=1,2,\dots$.

Risposta: $\frac{1}{2^n}-\frac{1}{n(n+1)}$ src_cn_cmc_2008__Q10

Find f(2008) given f(0)=2008 and two functional inequalities

Suppose that $f(x)$ is defined on $\mathbf{R}$, satisfying $f(0)=2008$, and for any $x\in \mathbf{R}$: $f(x+2)-f(x)\le 3\times 2^x,$ $f(x+6)-f(x)\ge 63\times 2^x.$ Then $f(2008)=$ ________.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $2^{2008}+2007$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca f(2008) data f(0)=2008 e due disuguaglianze funzionali

Supponiamo che $f(x)$ sia definito su $\mathbf{R}$, soddisfacendo $f(0)=2008$, e per qualsiasi $x\in \mathbf{R}$: $f(x+2)-f(x)\le 3\times 2^x,$ $f(x+6)-f(x)\ge 63\times 2^x.$ Poi $f(2008)=$ ________.

Risposta: $2^{2008}+2007$ src_cn_cmc_2008__Q11

Area of tetrahedron surface never touched by freely moving ball

Suppose that a ball of radius 1 moves freely inside a regular tetrahedron with edge length $4\sqrt{6}$. Then the area of the inner surface of the container which the ball can never touch is ________.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $72\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

L’area della superficie del tetraedro mai toccata da sfere in movimento libero

Supponiamo che una palla di raggio 1 si muova liberamente all’interno di un tetraedro regolare con lunghezza di bordo $4\sqrt{6}$. Quindi l’area della superficie interna del contenitore che la palla non può mai toccare è ________.

Risposta: $72\sqrt{3}$ src_cn_cmc_2008__Q12

Prove identity about x-intercept of |sin x| and tangent line through origin

It is known that the curve $f(x)=|\sin x|$ intercepts the line $y=kx$ ($k>0$) at exactly three points, the maximum $x$ coordinate of these points being $a$. Prove that $\frac{\cos a}{\sin a-a\cos a}=\frac{1-a^2}{4a}.$

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove l’identità dell’intersezione di x di x e della linea tangente attraverso l’origine.

È noto che la curva $f(x)=|\sin x|$ intercetta la linea $y=kx$ ($k>0$) in esattamente tre punti, la coordinata massima $x$ di questi punti essendo $a$. Provare che $\frac{\cos a}{\sin a-a\cos a}=\frac{1-a^2}{4a}.$

src_cn_cmc_2008__Q13

Solve logarithmic inequality involving degree-12 polynomial

Solve the inequality ${\log }_2(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6+1)<1+{\log }_2(x^4+1).$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Fattorizzazione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\left(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}},\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)$ Fonte: apri libro PDF

Solvi la disuguaglianza logaritmica che coinvolge il polinomio di grado-12

Risolvere la disuguaglianza ${\log }_2(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6+1)<1+{\log }_2(x^4+1).$

Risposta: $\left(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}},\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)$ src_cn_cmc_2008__Q14

Minimum area of triangle with vertex on parabola and inscribed circle

As is shown in the figure, $P$ is a moving point on the parabola $y^2=2x$, points $B$, $C$ are on the $y$ axis, and the circle $(x-1{)}^2+y^2=1$ is internally tangent to $△PBC$. Find the minimum value of the area of $△PBC$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

L’area minima del triangolo con vertice sulla parabola e cerchio inciso

Come mostra la figura, $P$ è un punto in movimento sulla parabola $y^2=2x$, i punti $B$, $C$ sono sull’asse $y$ e il cerchio $(x-1{)}^2+y^2=1$ è tangente internamente a $△PBC$. Trova il valore minimo della superficie di $△PBC$.

src_cn_cmc_2008__Q15