China Mathematical Competition 2009

Compute iterated composition f^(99)(1) for f(x)=x/sqrt(1+x^2)

Suppose that $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ and $f^{(99)}(x)=f[f[\cdots f(x)\cdots ]]$ (99 compositions). Then $f^{(99)}(1)=$ ____.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{10}$ Fonte: apri libro PDF

Calcola la composizione iterata f^(99)(1) per f(x) = x/sqrt(1+x^2)

Supponiamo che $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ e $f^{(99)}(x)=f[f[\cdots f(x)\cdots ]]$ (99 composizioni). Poi $f^{(99)}(1)=$ _____.

Risposta: \dfrac{1}{10} src_cn_cmc_2009__Q01

Range of x-coordinate of point on line forming 45-degree angle with circle

Given the line $L:x+y-9=0$ and the circle $M:2x^2+2y^2-8x-8y-1=0$, point $A$ is on $L$ and points $B$, $C$ are on the circle $M$. If $\angle BAC=45^{\circ }$ and the lines $AB$, $AC$ are tangent to circle $M$ from point $A$, then the range of the $x$-coordinate of point $A$ is ____.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $3\le a\le 6$ Fonte: apri libro PDF

Intervallo delle coordinate x del punto su linea che forma un angolo di 45 gradi con un cerchio

Data la linea $L:x+y-9=0$ e il cerchio $M:2x^2+2y^2-8x-8y-1=0$, il punto $A$ si trova su $L$ e i punti $B$, $C$ si trovano sul cerchio $M$. Se $\angle BAC=45^{\circ }$ e le linee $AB$, $AC$ sono tangenti al cerchio $M$ dal punto $A$, l’intervallo delle coordinate $x$ del punto $A$ è _____.

Risposta: 3 \le a \le 6 src_cn_cmc_2009__Q02

Common area of two plane regions as function of parameter t

On a coordinate plane there are two regions $M$ and $N$. Region $M$ is confined by $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ y\le x\end{array}$, and region $N$ is determined by the inequalities $t\le x\le t+1$, $0\le t\le 1$. Then the size of the common area of $M$ and $N$ is given by $f(t)=$ ____.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $f(t)=-t^2+t+\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

L’area comune di due regioni piane in funzione del parametro t

In un piano di coordinate ci sono due regioni $M$ e $N$. La regione $M$ è limitata da $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ y\le x\end{array}$ e la regione $N$ è determinata dalle disuguaglianze $t\le x\le t+1$, $0\le t\le 1$. Poi la dimensione della superficie comune di $M$ e $N$ viene data da $f(t)=$ _____.

Risposta: f(t) = -t^2 + t + \dfrac{1}{2} src_cn_cmc_2009__Q03

Find least positive integer a satisfying a harmonic-type inequality

The inequality $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2}+\cdots +\frac{1}{2a+1}\le a-2007\frac{1}{2}$ holds for every positive integer $a$. Then the least positive integer $a$ satisfying the inequality is ____.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 2009 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il numero intero positivo minimo a soddisfacente una disuguaglianza di tipo armonico

La disuguaglianza $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2}+\cdots +\frac{1}{2a+1}\le a-2007\frac{1}{2}$ vale per ogni intero positivo $a$. Quindi il numero intero meno positivo $a$ che soddisfa l’ineguaglianza è _____.

Risposta: 2009 src_cn_cmc_2009__Q04

Minimum of |OP||OQ| for perpendicular radii on an ellipse*

Given points $P$, $Q$ on an ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) satisfying $OP\perp OQ$, the minimum value of $|OP|\times |OQ|$ is ____.

Topic: Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{\sqrt{2}{a}^2{b}^2}{a^2+b^2}$ Fonte: apri libro PDF

Minimum di ∆OP di * di <OQ di di <OQ di di perpendicolare radii su un’ellisse

Se si considerano i punti $P$, $Q$ su un’ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) che soddisfano $OP\perp OQ$, il valore minimo di $|OP|\times |OQ|$ è _____.

Risposta: \dfrac{\sqrt{2},a^2 b^2}{a^2+b^2} src_cn_cmc_2009__Q05

Range of k so that lg(kx) - 2lg(x+1) = 0 has exactly one real root*

Suppose that the equation $\lg (kx)-2\lg (x+1)=0$ has exactly one real root. Then the range of $k$ is ____.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $0<k<4\text{ or }k=4$ Fonte: apri libro PDF

Range di k in modo che lg(kx) - 2lg(x+1) = 0 abbia esattamente una radice reale*

Supponiamo che l’equazione $\lg (kx)-2\lg (x+1)=0$ abbia esattamente una radice reale. Quindi l’intervallo di $k$ è ______.

Risposta: 0 < k < 4 \text{ or } k = 4 src_cn_cmc_2009__Q06

Number in the last row of a 100-row number triangle arrangement

Consider an arrangement of numbers in the shape of a triangle: the first row consists of the numbers from 1 to 100 arranged in order; each number in the second row is the sum of two numbers directly below it in the first row; each number in the third row is the sum of the two numbers directly below it in the second row; and so on. There are 100 rows in total. The number in the last row is ____.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $101\times 2^{99}$ Fonte: apri libro PDF

Numero nell’ultima riga di un triangolo numerico di 100 righe

Considera una disposizione di numeri a forma di triangolo: la prima riga è composta dai numeri da 1 a 100 ordinati in ordine; ogni numero della seconda riga è la somma di due numeri direttamente al di sotto della prima riga; ogni numero della terza riga è la somma dei due numeri direttamente al di sotto della seconda riga; e così via. Ci sono 100 righe in totale. Il numero nell’ultima riga è _____.

Risposta: 101 \times 2^{99} src_cn_cmc_2009__Q07

Expected waiting time for traveler choosing between two trains

Every day at a station, there is just one train arriving between 8:10 am and 10:00 am. The arrival times and their probabilities for the two trains (Train A and Train B) are shown in the following table:

Arrival time	Train A	Train B
8:10	$\frac{1}{2}$
8:30	$\frac{1}{4}$
9:10	$\frac{1}{4}$
9:30		$\frac{1}{2}$
10:10		$\frac{1}{2}$

Suppose that the events of the two trains are independent of each other. Now, a traveler comes into the station at 8:20. Then the mathematical expectation of his waiting time is ____ (round to the nearest minute).

Topic: Probabilità Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 27 Fonte: apri libro PDF

Tempo di attesa previsto per il viaggiatore che sceglie tra due treni

Ogni giorno in una stazione arriva solo un treno tra le 8:10 e le 10. I tempi di arrivo e le loro probabilità per i due treni (treno A e treno B) sono riportati nella tabella seguente:

Orario di arrivo Treno A Treno B — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D — D

Supponiamo che gli eventi dei due treni siano indipendenti l’uno dall’altro. Ora, un viaggiatore arriva alla stazione alle 8:20. Allora l’aspettativa matematica del suo tempo di attesa è ____ (rondo al minuto più vicino).

Risposta: 27 src_cn_cmc_2009__Q08

Count integer-coefficient lines meeting ellipse and hyperbola with AC=BD

Suppose that the line $l$: $y=-kx+m$ (where $k$ and $m$ are integers) intercepts the ellipse $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{12}=1$ at two different points $A$, $B$, and intercepts the hyperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ at two different points $C$, $D$. If $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$, how many different possibilities are there for the line $l$? Explain the reason.

Topic: Geometria analitica, Combinatoria Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

Contare le linee a coefficiente interi che incontrano ellipse e iperbole con AC=BD

Supponiamo che la linea $l$: $y=-kx+m$ (dove $k$ e $m$ sono numeri interi) intercetta l’ellisse $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{12}=1$ a due punti diversi $A$, $B$, e intercetta l’iperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ a due punti diversi $C$, $D$. Se $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$, quante diverse possibilità ci sono per la riga $l$? Spiega il motivo.

Risposta: 9 src_cn_cmc_2009__Q09

Sequence satisfying linear recurrence; general term and sum of first n terms

It is known that $p\ne 0$, $q\ne 0$ are real numbers, and the equation $x^2-px-q=0$ has two real roots $\alpha$ and $\beta$. The sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_{n+2}=p\cdot a_{n+1}+q\cdot a_n$ for $n=1,2,\dots$

(1) If $\alpha \ne \beta$, find the general expression of $\{a_n\}$ in terms of $\alpha$ and $\beta$.

(2) If $p=1$, $q=\frac{1}{4}$, find the sum of the first $n$ terms of $\{a_n\}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza che soddisfa la ricorrenza lineare; termine generale e somma dei primi n termini

È noto che $p\ne 0$, $q\ne 0$ sono numeri reali, e l’equazione $x^2-px-q=0$ ha due radici reali $\alpha$ e $\beta$. La sequenza $\{a_n\}$ soddisfa $a_{n+2}=p\cdot a_{n+1}+q\cdot a_n$ per $n=1,2,\dots$

(1) Se $\alpha \ne \beta$, trovare l’espressione generale di $\{a_n\}$ in termini di $\alpha$ e $\beta$.

(2) Se $p=1$, $q=\frac{1}{4}$, si trova la somma dei primi termini $n$ di $\{a_n\}$.

src_cn_cmc_2009__Q10

Maximum and minimum of sqrt(x)+sqrt(x+27)+sqrt(13-x) on [0,13]

Find the maximum and minimum of the function $y=\sqrt{x}+\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}$ for $x\in [0,13]$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\max =11,\min =3\sqrt{3}+\sqrt{13}$ Fonte: apri libro PDF

Massimo e minimo di sqrt(x)+sqrt(x+27)+sqrt(13-x) su [0,13]

Trova il massimo e il minimo della funzione $y=\sqrt{x}+\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}$ per $x\in [0,13]$.

Risposta: \max = 11,\ \min = 3\sqrt{3} + \sqrt{13} src_cn_cmc_2009__Q11