China Mathematical Competition 2010

Range of a function involving two square roots

The range of $f(x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{24-3x}$ is ________.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $[-3,\sqrt{3}]$ Fonte: apri libro PDF

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Rango di una funzione che coinvolge due radici quadrate

L’intervallo di $f(x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{24-3x}$ è ________.

Risposta: $[-3,\sqrt{3}]$ src_cn_cmc_2010__Q01

Range of parameter a so that a trigonometric expression has minimum -3

The minimum of $y=(a{\cos }^{2}x-3)\sin x$ is $-3$. Then the range of real number $a$ is ________.

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $-\frac{3}{2}\le a\le 12$ Fonte: apri libro PDF

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Rango di parametro a in modo che un’espressione trigonometrica abbia un minimo -3

Il minimo di $y=(a{\cos }^{2}x-3)\sin x$ è $-3$. Quindi l’intervallo del numero reale $a$ è ________.

Risposta: $-\frac{3}{2}\le a\le 12$ src_cn_cmc_2010__Q02

Count lattice points in region bounded by a hyperbola branch and a vertical line

The number of integral points (i.e., the points whose $x$- and $y$-coordinates are both integers) within the area (not including the boundary) enclosed by the right branch of hyperbola $x^2-y^2=1$ and line $x=100$ is ________.

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica Metodo: Conteggio, Simmetria, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: $9801$ Fonte: apri libro PDF

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Contare i punti della griglia nella regione delimitata da un ramo iperbolare e da una linea verticale

Il numero di punti integrali (cioè i punti le cui coordinate $x$- e $y$ sono entrambe interi) all’interno dell’area (escluso il confine) chiusa dal ramo destro dell’iperbola $x^2-y^2=1$ e della linea $x=100$ è ________.

Risposta: $9801$ src_cn_cmc_2010__Q03

Arithmetic and geometric sequences linked by a logarithmic identity

It is known that $\{a_n\}$ is an arithmetic sequence with non-zero common difference and $\{b_n\}$ a geometric sequence, satisfying $a_1=3$, $b_1=1$, $a_2=b_2$, $3a_5=b_3$; furthermore, there are constants $\alpha$ and $\beta$ such that for every positive integer $n$, we have $a_n={\log }_{\alpha }{b}_n+\beta$. Then $\alpha +\beta =$ ________.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $3+\sqrt[3]{3}$ Fonte: apri libro PDF

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Sequenze aritmetiche e geometriche legate da un’identità logaritmica

È noto che $\{a_n\}$ è una sequenza aritmetica con differenza comune non zero e $\{b_n\}$ una sequenza geometrica, soddisfacente $a_1=3$, $b_1=1$, $a_2=b_2$, $3a_5=b_3$; inoltre, ci sono costanti $\alpha$ e $\beta$ tali che per ogni intero positivo $n$, abbiamo $a_n={\log }_{\alpha }{b}_n+\beta$. Poi $\alpha +\beta =$ ________.

Risposta: $3+\sqrt[3]{3}$ src_cn_cmc_2010__Q04

Minimum of an exponential function given its maximum on an interval

Function $f(x)=a^{2x}+3a^x-2$ ($a>0$, $a\ne 1$) reaches the maximum value $8$ on interval $[-1,1]$. Then its minimum value on this interval is ________.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $-\frac{1}{4}$ Fonte: apri libro PDF

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Minimum di una funzione esponenziale data la sua massima su un intervallo

La funzione $f(x)=a^{2x}+3a^x-2$ ($a>0$, $a\ne 1$) raggiunge il valore massimo $8$ con intervallo $[-1,1]$. Quindi il suo valore minimo su questo intervallo è ________.

Risposta: $-\frac{1}{4}$ src_cn_cmc_2010__Q05

Probability that the first player wins a dice-rolling game

Two persons roll two dice in turn. Whoever gets the sum number greater than $6$ first will win the game. The probability for the person rolling first to win is ________.

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{12}{17}$ Fonte: apri libro PDF

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La probabilità che il primo giocatore vinca un gioco di lancio dei dadi

Due persone fanno due dadi a turno. Chiunque ottenga il numero di somma superiore a $6$ prima vincerà la partita. La probabilità che la persona che ruota per primo vinca è di ________.

Risposta: $\frac{12}{17}$ src_cn_cmc_2010__Q06

Sine of a dihedral angle in a regular triangular prism with all edges equal

The lengths of the nine edges of regular triangular prism $ABC$-$A_1{B}_1{C}_1$ are equal, $P$ is the midpoint of $C{C}_1$, and the dihedral angle $B$-$A_{1}P$-$B_1=\alpha$. Then $\sin \alpha =$ ________.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{10}}{4}$ Fonte: apri libro PDF

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Signo di un angolo diedrico in un prisma triangolare regolare con tutti i bordi uguali

Le lunghezze dei nove bordi del prisma triangolare regolare $ABC$-$A_1{B}_1{C}_1$ sono uguali, $P$ è il punto medio di $C{C}_1$ e l’angolo diedro $B$-$A_{1}P$-$B_1=\alpha$. Poi $\sin \alpha =$ ________.

Risposta: $\frac{\sqrt{10}}{4}$ src_cn_cmc_2010__Q07

Count positive integer solutions of x+y+z=2010 with x<=y<=z

The number of positive integer solutions of equation $x+y+z=2010$ with $x\le y\le z$ is ________.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $336675$ Fonte: apri libro PDF

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Contare le soluzioni a numeri interi positivi di x+y+z=2010 con x<=y<=z

Il numero di soluzioni integrali positive dell’equazione $x+y+z=2010$ con $x\le y\le z$ è ________.

Risposta: $336675$ src_cn_cmc_2010__Q08

Maximum leading coefficient of a cubic whose derivative is bounded by 1 on [0,1]

It is known that $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$), and $|f^{\prime }(x)|\le 1$ for $0\le x\le 1$. Please find the maximum value of $a$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{8}{3}$ Fonte: apri libro PDF

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Coefficiente di conduzione massimo di un cubo la cui derivata è delimitata da 1 su [0,1]

È noto che $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$) e $|f^{\prime }(x)|\le 1$ per $0\le x\le 1$. Si prega di trovare il valore massimo di $a$.

Risposta: $\frac{8}{3}$ src_cn_cmc_2010__Q09

Maximum area of a triangle formed by a chord of a parabola and a fixed point

Given two moving points $A(x_1,y_1)$ and $B(x_2,y_2)$ on parabola curve $y^2=6x$ with $x_1+x_2=4$ and $x_1\ne x_2$, and the perpendicular bisector of segment $AB$ intersects $x$-axis at point $C$. Find the maximum area of $△ABC$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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L’area massima di un triangolo formato da una corda di parabola e da un punto fisso

Date due punti in movimento $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ sulla curva di parabola $y^2=6x$ con $x_1+x_2=4$ e $x_1\ne x_2$, e il bisettore perpendicolare del segmento $AB$ interseca l’asse $x$ al punto $C$. Trova la superficie massima di $△ABC$.

src_cn_cmc_2010__Q10