China Mathematical Competition 2011

Find set A given sums of ternary subsets

Let $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$. Suppose the set of sums of all the elements in every ternary subset of $A$ is $B=\{-1,3,5,8\}$. Then $A=$ ________.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $-3,0,2,6$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca set A somma data di sottoinsiemi terzi

Let $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$. Supponiamo che l’insieme delle somme di tutti gli elementi di ogni sottoinsieme ternario di $A$ sia $B=\{-1,3,5,8\}$. Poi $A=$ ________.

Risposta: {-3, 0, 2, 6} src_cn_cmc_2011__Q01

Find tan A / tan B given a cos B minus b cos A equals 3c/5

Suppose $△ABC$ with angles $A$, $B$ and $C$, and the corresponding sides $a$, $b$ and $c$ satisfies equation $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$. Then the value of $\frac{\tan A}{\tan B}$ is __________.

Topic: Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 4 Fonte: apri libro PDF

Ricerca A/tan B dato un cos B meno b cos A è uguale a 3c/5

Supponiamo che $△ABC$ con angoli $A$, $B$ e $C$, e i lati corrispondenti $a$, $b$ e $c$ soddisfi l’equazione $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$. Il valore di $\frac{\tan A}{\tan B}$ è quindi __________.

Risposta: 4 src_cn_cmc_2011__Q02

Find log_a(b) given conditions on positive reals a,b

Suppose $a$ and $b$ are positive real numbers satisfying $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le 2\sqrt{2}$ and $(a-b{)}^2=4(ab{)}^3$. Then ${\log }_{a}b=$ ________.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: -1 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il log_a(b) le condizioni indicate sui reali positivi a,b

Supponiamo che $a$ e $b$ siano numeri reali positivi che soddisfano $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le 2\sqrt{2}$ e $(a-b{)}^2=4(ab{)}^3$. Poi ${\log }_{a}b=$ ________.

Risposta: -1 src_cn_cmc_2011__Q03

Max ratio |MN|/|AB| for chord AB of parabola with fixed angle AFB = pi/3

Let the focus and directrix of parabola $y^2=2px$ ($p>0$) be $F$ and $l$, respectively. $A$ and $B$ are moving points on the parabola satisfying $\angle AFB=\frac{\pi }{3}$. Let the projection of $M$ the midpoint of segment $AB$ on $l$ be $N$. Then the maximum value of $\frac{|MN|}{|AB|}$ is __________.

Topic: Geometria analitica Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: 1 Fonte: apri libro PDF

*Max \MN \MN \AB\AB \B \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D \D

Il punto di mira e la direzione della parabola $y^2=2px$ ($p>0$) siano rispettivamente $F$ e $l$. $A$ e $B$ sono punti in movimento della parabola che soddisfano $\angle AFB=\frac{\pi }{3}$. La proiezione di $M$ il punto medio del segmento $AB$ su $l$ deve essere $N$. Il valore massimo di $\frac{|MN|}{|AB|}$ è quindi __________.

Risposta: 1 src_cn_cmc_2011__Q04

Count arrangements of 7 students in 5 events with constraints

Seven students are arranged to attend five sporting events. It is required that students $A$ and $B$ cannot attend the same event, every event is attended by at least one student, and each student must attend one and only one event. Then the number of the arrangement plans meeting the required condition is ________ (the answer should be given in numerical value).

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15000 Fonte: apri libro PDF

Conteggi di conteggio di 7 studenti in 5 eventi con limitazioni

Sette studenti sono organizzati per partecipare a cinque eventi sportivi. È necessario che gli studenti $A$ e $B$ non possano partecipare allo stesso evento, ogni evento è partecipato da almeno uno studente e ogni studente deve partecipare a uno solo evento. Poi il numero dei piani di disposizione che soddisfano la condizione richiesta è ________ (la risposta deve essere data in valore numerico).

Risposta: 15000 src_cn_cmc_2011__Q05

Find range of a so that f(x+a)>=2f(x) for all x in [a,a+2], f odd

Let $f$ be an odd function on $\mathbf{R}$, and $f(x)=x^2$ for $x>0$. Suppose for any $x\in [a,a+2]$, $f(x+a)\ge 2f(x)$. Then the range of the real number $a$ is __________.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $[\sqrt{2},+\infty )$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca l’intervallo di a in modo che f(x+a)>=2f(x) per tutte le x in [a,a+2], f odd

$f$ sia una funzione odd su $\mathbf{R}$, e $f(x)=x^2$ per $x>0$. Supponiamo che per qualsiasi $x\in [a,a+2]$, $f(x+a)\ge 2f(x)$. Quindi l’intervallo del numero reale $a$ è __________.

Risposta: [\sqrt{2}, +\infty) src_cn_cmc_2011__Q06

Sum of positive integers n with 1/4 < sin(pi/n) < 1/3

The sum of all the positive integers $n$ satisfying $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi }{n}<\frac{1}{3}$ is __________.

Topic: Trigonometria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Stima Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 33 Fonte: apri libro PDF

Summa di numeri interi positivi n con 1/4 < sin(pi/n) < 1/3

La somma di tutti gli integri positivi $n$ che soddisfano $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi }{n}<\frac{1}{3}$ è __________.

Risposta: 33 src_cn_cmc_2011__Q07

Probability code A is used in week 7 given it was used in week 1

An information station employs four different codes, $A$, $B$, $C$ and $D$, for communication, but each week uses only one of them. The code used in a definite week is randomly selected with equal chance among the three ones that have not been used in the last week. Suppose the code used in the first week is $A$. Then the probability that $A$ is also used in the seventh week is __________ (expressed as an irreducible fraction).

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{61}{243}$ Fonte: apri libro PDF

Il codice di probabilità A viene utilizzato nella settimana 7 dato che è stato utilizzato nella settimana 1

Una stazione di informazione utilizza quattro codici diversi, $A$, $B$, $C$ e $D$, per la comunicazione, ma ogni settimana ne utilizza solo uno. Il codice utilizzato in una settimana determinata viene selezionato in modo casuale con pari probabilità tra i tre che non sono stati utilizzati nell’ultima settimana. Supponiamo che il codice utilizzato nella prima settimana sia $A$. La probabilità che $A$ venga utilizzato anche nella settima settimana è quindi __________ (espressa come frazione irriducibile).

Risposta: \frac{61}{243} src_cn_cmc_2011__Q08

Find a, b given conditions on f(x)=|lg(x+1)|

Suppose $f(x)=|\lg (x+1)|$ and real numbers $a$, $b$ ($a<b$) satisfy $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{b+2}\right)$, $f(10a+6b+21)=4\lg 2$. Find the values of $a$, $b$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $a=-\frac{2}{5}$, $b=-\frac{1}{3}$ Fonte: apri libro PDF

*Ricerca a, b le condizioni indicate su f(x)=dichiarazione(x+1)

Supponiamo che $f(x)=|\lg (x+1)|$ e i numeri reali $a$, $b$ ($a<b$) soddisfino $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{b+2}\right)$, $f(10a+6b+21)=4\lg 2$. Trova i valori di $a$, $b$.

Risposta: $a=-\frac{2}{5}$, $b=-\frac{1}{3}$ src_cn_cmc_2011__Q09

Recurrence sequence: find general term and compare consecutive terms

Suppose sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_1=2t-3$ ($t\in \mathbf{R}$ and $t\ne \pm 1$), $a_{n+1}=\frac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$ (1) Find the formula of general term about $\{a_n\}$. (2) If $t>0$, find out which is larger between $a_{n+1}$ and $a_n$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sequenza di ricorrenze: trovare termine generale e confrontare termini consecutivi

Supponiamo che la sequenza $\{a_n\}$ soddisfi $a_1=2t-3$ ($t\in \mathbf{R}$ e $t\ne \pm 1$), $a_{n+1}=\frac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$ (1) Trova la formula del termine generale circa $\{a_n\}$. (2) Se $t>0$, scopri quale sia più grande tra $a_{n+1}$ e $a_n$.

src_cn_cmc_2011__Q10

Line intercepts ellipse; inscribed circle center locus and area

Straight line $l$ with slope $\frac{1}{3}$ intercepts ellipse $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ at points $A$, $B$, and point $P(3\sqrt{2},\sqrt{2})$ is in the top-left of $l$ (as shown in Fig. 11.1). (1) Prove that the center of the inscribed circle of $△PAB$ is on a given line. (2) When $\angle APB=60^{\circ }$, find the area of $△PAB$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{117\sqrt{3}}{49}$ Fonte: apri libro PDF

Elisse di intercettazione delle linee; locus e area del centro del cerchio inscritto

La linea retta $l$ con pendenza $\frac{1}{3}$ intercetta l’ellisse $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ nei punti $A$, $B$, e il punto $P(3\sqrt{2},\sqrt{2})$ si trova nella parte superiore sinistra di $l$ (come mostrato alla figura. 11.1). (1) Provare che il centro del cerchio di $△PAB$ è su una linea data. (2) Quando $\angle APB=60^{\circ }$, trovare la superficie di $△PAB$.

Risposta: $\frac{117\sqrt{3}}{49}$ src_cn_cmc_2011__Q11