China Mathematical Competition 2012

Dot product of PA and PB for point on curve with perpendicular feet

Let $P$ be a point on the image of $y=x+\frac{2}{x}$ ($x>0$). Through $P$ draw lines perpendicular to $y=x$ and $y$-axis with foot points $A$, $B$, respectively. Then the value of $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ is \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $-1$ Fonte: apri libro PDF

Prodotto di punti di PA e PB per il punto sulla curva con piedi perpendicolari

$P$ sia un punto sull’immagine di $y=x+\frac{2}{x}$ ($x>0$). Attraverso $P$ tracciare linee perpendicolari agli assi $y=x$ e $y$ con punti di piede $A$ e $B$, rispettivamente. Quindi il valore di $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ è \underline{\hspace{2cm}}.

Risposta: $-1$ src_cn_cmc_2012__Q01

Find tan A / tan B given a side-angle relation in a triangle

Suppose $△ABC$ with angles $A$, $B$ and $C$, and the corresponding sides $a$, $b$ and $c$ satisfies equation $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$. Then the value of $\frac{\tan A}{\tan B}$ is \underline{\hspace{2cm}}.

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Ricerca il colore A/tan B dato un rapporto angolare laterale in un triangolo

Supponiamo che $△ABC$ con gli angoli $A$, $B$ e $C$, e i lati corrispondenti $a$, $b$ e $c$ soddisfi l’equazione $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$. Quindi il valore di $\frac{\tan A}{\tan B}$ è \underline{\hspace{2cm}}.

src_cn_cmc_2012__Q02

Sequence satisfying sum-squares equals sum-cubes identity

(37 marks) It is known that each term of sequence $\{a_n\}$ is a non-zero real number, and for any positive integer $n$ holds the equation $(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2=a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3.$ (1) When $n=3$, find all the sequences consisting of three terms. (2) Does there exist an infinite sequence $\{a_n\}$ such that $a_{2013}=-2012$? If yes, give the formula of general term; if not, give your reason.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza che soddisfa la somma quadrata è uguale all’identità della somma dei cubi

(37 punti) È noto che ogni termine della sequenza $\{a_n\}$ è un numero reale non zero, e per qualsiasi intero positivo $n$ detiene l’equazione $(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2=a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3.$ (1) Quando $n=3$, trovare tutte le sequenze costituite da tre termini. (2) Esiste una sequenza infinita $\{a_n\}$ tale che $a_{2013}=-2012$? Se sì, indicate la formula del termine generale; se no, indicate la ragione.

src_cn_cmc_2012__Q10

Rhombus in coordinate system; product OA·OC constant and trace of C

(20 marks) As seen in Fig. 11.1, in the rectangular coordinate system $XOY$, the side of the rhombus $ABCD$ is 4, and $|OB|=|OD|=6$. (1) Prove that $|OA|\cdot |OC|$ is a constant. (2) When point $A$ is moving on the half circle $(x-2{)}^2+y^2=4$ ($2\le x\le 4$), find the trace of $C$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

*Rhombus in sistema di coordinate; costante OA·OC del prodotto e traccia di C *

(20 punti) Come illustrato nella figura. 11.1, nel sistema di coordinate rettangolare $XOY$, il lato del rombo $ABCD$ è 4, e $|OB|=|OD|=6$. (1) Provare che $|OA|\cdot |OC|$ è una costante. (2) Quando il punto $A$ si muove sul mezzo cerchio $(x-2{)}^2+y^2=4$ ($2\le x\le 4$), trova la traccia di $C$.

src_cn_cmc_2012__Q11

Ellipse point constructions: find relationship between QR and b

(20 marks) Given an ellipse equation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) in a plane rectangular coordinate system $xOy$, let $A_1$, $A_2$ be its left and right endpoints, $F_1$, $F_2$ be its left and right foci, and $P$ be any point on the ellipse different from $A_1$, $A_2$. Suppose there are points $Q$, $R$ satisfying $\overrightarrow{A_{1}Q}=\overrightarrow{P{A}_1}$, $\overrightarrow{Q{A}_2}=\overrightarrow{A_{2}P}$, $\overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{R{F}_1}$, $\overrightarrow{P{F}_2}=\overrightarrow{F_{2}R}$. Find and prove the relationship between the length of segment $QR$ and $b$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $QR=b$ Fonte: apri libro PDF

Construzioni di punti di elipso: trovare relazione tra QR e b

(20 punti) Se si considera che l’equazione di ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) in un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, $A_1$, $A_2$ siano i suoi punti di fine sinistra e destra, $F_1$, $F_2$ siano i suoi foci sinistra e destra e $P$ sia qualsiasi punto dell’ellisse diverso da $A_1$, $A_2$. Supponiamo che ci siano punti $Q$, $R$ che soddisfano $\overrightarrow{A_{1}Q}=\overrightarrow{P{A}_1}$, $\overrightarrow{Q{A}_2}=\overrightarrow{A_{2}P}$, $\overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{R{F}_1}$, $\overrightarrow{P{F}_2}=\overrightarrow{F_{2}R}$. Trova e prova la relazione tra la lunghezza del segmento $QR$ e $b$.

Risposta: $QR=b$ src_cn_cmc_2012__Q20

Find all pairs (a,b) so f(f(x))>=f(x) for all real x

(20 marks) Find all real number pairs $(a,b)$, such that $f(x)=a{x}^2+b$ satisfies $f(f(x))\ge f(x)$ for any real numbers $x$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $\{(a,b)\mid 0<b\le 1,0<a<1,2a+b\le 2\}$ Fonte: apri libro PDF

*Trova tutte le coppie (a,b) così f(f(x))>=f(x) per tutte le x reali *

(20 punti) Trovare tutte le coppie di numeri reali $(a,b)$, in modo che $f(x)=a{x}^2+b$ soddisfi $f(f(x))\ge f(x)$ per qualsiasi numero reale $x$.

Risposta: $\{(a,b)\mid 0<b\le 1,0<a<1,2a+b\le 2\}$ src_cn_cmc_2012__Q21