China Mathematical Competition 2013

Sum of elements in set B derived from set A

Given $A=\{2,0,1,3\}$, let $B=\{x\mid -x\in A,2-x^2\notin A\}$. Then the sum of elements in $B$ is $\underline{}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: -5 Fonte: apri libro PDF

Summa degli elementi del set B derivati dal set A

Dato $A=\{2,0,1,3\}$, lasciate $B=\{x\mid -x\in A,2-x^2\notin A\}$. La somma degli elementi di $B$ è quindi $\underline{}$.

Risposta: -5 src_cn_cmc_2013__Q01

Product of triangle areas for parabola points with dot product condition

In a plane rectangular coordinate system $xOy$, points $A$, $B$ are on the parabola $y^2=4x$, satisfying $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4$, and point $F$ is the focus of the parabola. Then $S_{△OFA}\cdot S_{△OFB}=\underline{}$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

Produzione di aree triangolari per punti paraboli con condizione di prodotto dotto

In un sistema di coordinate rettangolare piatto $xOy$, i punti $A$, $B$ sono sulla parabola $y^2=4x$, soddisfacendo $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4$, e il punto $F$ è il punto focale della parabola. Poi $S_{△OFA}\cdot S_{△OFB}=\underline{}$.

Risposta: 2 src_cn_cmc_2013__Q02

Find tan A given trigonometric identities in triangle

Suppose in $△ABC$ we have $\sin A=10\sin B\sin C$, $\cos A=10\cos B\cos C$. Then $\tan A=\underline{}$.

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 11 Fonte: apri libro PDF

Ricerca un’identità trigonometrica data nel triangolo

Supponiamo che in $△ABC$ abbiamo $\sin A=10\sin B\sin C$, $\cos A=10\cos B\cos C$. Poi $\tan A=\underline{}$.

Risposta: 11 src_cn_cmc_2013__Q03

Inscribed sphere radius of regular triangular pyramid

Suppose the side of the base and the height of regular triangular pyramid $P\text{-}ABC$ are $1$ and $\sqrt{2}$, respectively. Then the radius of the inscribed sphere of the pyramid is $\underline{}$.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

*Radio di sfera di piramide triangolare regolare *

Supponiamo che il lato della base e l’altezza della piramide triangolare regolare $P\text{-}ABC$ siano $1$ e $\sqrt{2}$, rispettivamente. Il raggio di radius della sfera della piramide è $\underline{}$.

src_cn_cmc_2013__Q04

Maximum of ab for linear function with bounded values on [0,1]

Let $a$, $b$ be real numbers, and $f(x)=ax+b$ satisfies $|f(x)|\le 1$ for any $x\in [0,1]$. Then the maximum of $ab$ is $\underline{}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{4}$ Fonte: apri libro PDF

Massimo di ab per funzioni lineari con valori limitati su [0,1]

$a$, $b$ siano numeri reali e $f(x)=ax+b$ soddisfa $|f(x)|\le 1$ per qualsiasi $x\in [0,1]$. In questo caso, il massimo di $ab$ è $\underline{}$.

Risposta: \frac{1}{4} src_cn_cmc_2013__Q05

Probability of at least two adjacent numbers among five chosen from 1 to 20

Take randomly five different numbers from $1,2,\dots ,20$. Then the probability that there are at least two adjacent numbers among them is $\underline{}$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{232}{323}$ Fonte: apri libro PDF

Probabilità di almeno due numeri adiacenti tra cinque scelti da 1 a 20

Prendi a caso cinque numeri diversi da $1,2,\dots ,20$. Quindi la probabilità che ci siano almeno due numeri adiacenti tra loro è $\underline{}$.

Risposta: \frac{232}{323} src_cn_cmc_2013__Q06

Range of x satisfying equation with nested square roots

Suppose real numbers $x$, $y$ satisfy $x-4\sqrt{y}=2\sqrt{x-y}$. Then the range of $x$ is $\underline{}$.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $\{0\}\cup [4,20]$ Fonte: apri libro PDF

Range di x che soddisfa l’equazione con radici quadrate incastonate

Supponiamo che i numeri reali $x$, $y$ soddisfino $x-4\sqrt{y}=2\sqrt{x-y}$. Poi l’intervallo di $x$ è $\underline{}$.

Risposta: {0} \cup [4, 20] src_cn_cmc_2013__Q07

Count nine-term sequences with prescribed consecutive ratios and unit product

Suppose sequence $\{a_n\}$ consists of nine terms which satisfy: for any $i$ ($1\le i\le 8$), $b_i=\frac{a_{i+1}}{a_i}\in \left\{-\frac{1}{2},1,2\right\}$, and $\prod _{i=1}^8{b}_i=1$. The number of sequences $\{b_i\}$ ($1\le i\le 8$) satisfying the given conditions is $\underline{}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 491 Fonte: apri libro PDF

Contare le sequenze a nove termini con rapporti consecutivi prescritti e prodotto unitario

Supponiamo che la sequenza $\{a_n\}$ sia composta da nove termini che soddisfano: per qualsiasi $i$ ($1\le i\le 8$), $b_i=\frac{a_{i+1}}{a_i}\in \left\{-\frac{1}{2},1,2\right\}$ e $\prod _{i=1}^8{b}_i=1$. Il numero di sequenze $\{b_i\}$ ($1\le i\le 8$) che soddisfano le condizioni indicate è $\underline{}$.

Risposta: 491 src_cn_cmc_2013__Q08

Prove exponential lower bound for positive sequence with partial sum growth condition

(16 marks) Suppose positive number sequence $\{x_n\}$ satisfies $S_n\ge 2S_{n-1}$, $n=2,3,\dots$, where $S_n=x_1+\cdots +x_n$. Prove that there exists a constant $C>0$, such that $x_n\ge C\cdot 2^n,n=1,2,\dots$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove il limite inferiore esponenziale per la sequenza positiva con condizione di crescita parziale della somma

(16 punti) Supponiamo che la sequenza dei numeri positivi $\{x_n\}$ soddisfi $S_n\ge 2S_{n-1}$, $n=2,3,\dots$, dove $S_n=x_1+\cdots +x_n$. Prova che esiste una costante $C>0$, tale che $x_n\ge C\cdot 2^n,n=1,2,\dots$

src_cn_cmc_2013__Q09

Relationship between segment QR and semi-minor axis b for ellipse configuration

(25 marks) Given an ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) in a plane rectangular coordinate system $xOy$, let $A_1$, $A_2$, $F_1$, $F_2$ be its left and right end-points, left and right focuses, respectively, and $P$ be any point on the ellipse different from $A_1$, $A_2$. Suppose there are points $Q$, $R$ satisfying $\overrightarrow{Q{A}_1}\cdot \overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{Q{A}_2}\cdot \overrightarrow{P{A}_2},\overrightarrow{R{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_1}=\overrightarrow{R{F}_2}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}.$ Find and prove the relationship between the length of segment $QR$ and $b$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Relazione tra il segmento QR e l’asse semi minore b per la configurazione dell’ellisse

(25 marchi) Se si considera un’ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) in un sistema di coordinate rettangolare piatto $xOy$, $A_1$, $A_2$, $F_1$, $F_2$ siano i suoi punti di fine sinistra e destra, rispettivamente i foci sinistra e destra, e $P$ sia qualsiasi punto dell’ellisse diverso da $A_1$, $A_2$. Supponiamo che ci siano punti $Q$, $R$ che soddisfano $\overrightarrow{Q{A}_1}\cdot \overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{Q{A}_2}\cdot \overrightarrow{P{A}_2},\overrightarrow{R{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_1}=\overrightarrow{R{F}_2}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}.$ Trovare e dimostrare la relazione tra la lunghezza del segmento $QR$ e $b$.

src_cn_cmc_2013__Q10