China Mathematical Olympiad 2003

Collinearity of circumcenter, incenter, vertex iff equal areas

Suppose points $I$ and $H$ are the incenter and orthocenter of an acute triangle $ABC$ respectively, and points $B_1$ and $C_1$ are the midpoints of sides $AC$ and $AB$ respectively. It is known that ray $B_{1}I$ intersects side $AB$ at $B_2$ (or its extension), $C_{1}I$ intersects the extension of $AC$ at $C_2$, $B_2{C}_2$ and $BC$ intersect at $K$, and $A_1$ is the circumcenter of $△BHC$. Prove that three points $A_1$, $I$ and $A$ are collinear if and only if the areas of $△B_1{B}_{2}K$ and $△C_1{C}_{2}K$ are equal. (posed by Shen Wenxuan)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Collinearità del circondocentro, dell’incentro, del vertice se le aree sono uguali

Supponiamo che i punti $I$ e $H$ siano rispettivamente l’incentro e l’ortocentro di un triangolo acuto $ABC$, e che i punti $B_1$ e $C_1$ siano rispettivamente i punti medi dei lati $AC$ e $AB$. È noto che il raggio $B_{1}I$ interseca il lato $AB$ a $B_2$ (o la sua estensione), $C_{1}I$ interseca l’estensione $AC$ a $C_2$, $B_2{C}_2$ e $BC$ interseca a $K$, e $A_1$ è il circoncentro di $△BHC$. Prova che i tre punti $A_1$, $I$ e $A$ sono collineari se e solo se le superfici di $△B_1{B}_{2}K$ e $△C_1{C}_{2}K$ sono uguali. (Posizionato da Shen Wenxuan)

src_cn_cmo_2003__Q01

Maximum elements in set S of positive integers with GCD conditions

Suppose a set $S$ satisfies the following conditions: (1) every element in $S$ is a positive integer and not greater than $100$; (2) for any two elements $a$ and $b$ in $S$, there is an element $c$ in $S$ such that the greatest common divisor of $a$ and $c$ is equal to $1$, and the greatest common divisor of $b$ and $c$ is also $1$; (3) for any two elements $a$ and $b$ in $S$, there is an element $d$, which is different from $a$ and $b$, such that the greatest common divisor of $d$ and $a$, and that of $d$ and $b$ are both greater than $1$. Find the maximum number of elements in $S$. (posed by Yao Jiangang)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 72 Fonte: apri libro PDF

Maximum elements in set S of positive integers with GCD conditions

Suppose a set $S$ satisfies the following conditions: (1) every element in $S$ is a positive integer and not greater than $100$; (2) for any two elements $a$ and $b$ in $S$, there is an element $c$ in $S$ such that the greatest common divisor of $a$ and $c$ is equal to $1$, and the greatest common divisor of $b$ and $c$ is also $1$; (3) for any two elements $a$ and $b$ in $S$, there is an element $d$, which is different from $a$ and $b$, such that the greatest common divisor of $d$ and $a$, and that of $d$ and $b$ are both greater than $1$. Find the maximum number of elements in $S$. (posed by Yao Jiangang)

Risposta: 72 src_cn_cmo_2003__Q02

Find minimum lambda for sum of cosines given product of tangents constraint

Given a positive integer $n$, find the minimum value $\lambda$ such that $\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2+\cdots +\cos {\theta }_n<\lambda$ holds whenever $\tan {\theta }_1\cdot \tan {\theta }_2\cdots \tan {\theta }_n=2^{\frac{n}{2}}$ for any ${\theta }_i\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $i=1,2,\dots ,n$. (posed by Huang Yumin)

Topic: Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: n-1 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il lambda minimo per la somma dei cosini dato il prodotto della restrizione di tangenti

Data un numero intero positivo $n$, trovare il valore minimo $\lambda$ tale che $\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2+\cdots +\cos {\theta }_n<\lambda$ sia valido ogni volta che $\tan {\theta }_1\cdot \tan {\theta }_2\cdots \tan {\theta }_n=2^{\frac{n}{2}}$ per qualsiasi ${\theta }_i\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $i=1,2,\dots ,n$. (Posizionato da Huang Yumin)

Risposta: n-1 src_cn_cmo_2003__Q03

Find all integer triples (a,m,n) with a^n+203 divisible by a^m+1

Find all ternary positive integer groups $(a,m,n)$ satisfying $a\ge 2$ and $m\ge 2$ such that $a^n+203$ is a multiple of $a^m+1$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i tripli interi (a,m,n) con a^n+203 divisibile da a^m+1

Trovare tutti i gruppi di interi interi positivi ternali $(a,m,n)$ soddisfacendo $a\ge 2$ e $m\ge 2$ in modo tale che $a^n+203$ sia un multiple di $a^m+1$. (Possibile da Chen Yonggao)

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Prove probability >70% of hiring one of top 3 from 10 applicants

A certain company wants to employ one secretary. Ten persons apply. The first $3$ applicants should not be employed. From the fourth onward, an applicant will be employed if and only if their ability rating is greater than all previous interviewees, and the interview goes on. If the preceding nine persons are not employed, the last one will be employed.

Suppose that the $10$ persons are different in ability, and we can arrange them according to their ability rating from superior to inferior as $A_1>A_2>\cdots >A_{10}$. Now we denote by $A_k$ the number of permutations such that the applicant with the $k$-th ability rating is employed, and the probability for him to be employed is $\frac{A_k}{10!}$.

Prove that the policy given by the manager has the following two properties: (1) The probability for the company to employ one of the top three (i.e. $A_1$, $A_2$ or $A_3$) is greater than $70\%$. (2) The probability for the company to employ one of the bottom three is not over $10\%$. (posed by Su Chun)

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove probabilità >70% di assumere uno dei primi 3 candidati da 10 candidati

Una certa azienda vuole assumere una segretaria. Applicano dieci persone. I primi candidati $3$ non dovrebbero essere impiegati. A partire dal quarto, un candidato sarà impiegato se e solo se il suo grado di abilità è superiore a quello di tutti gli intervistati precedenti, e l’intervista continua. Se le nove persone precedenti non sono impiegate, l’ultima sarà impiegata.

Supponiamo che le persone $10$ siano diverse in capacità, e possiamo organizzarle in base al loro rating di capacità da superiore a inferiore come $A_1>A_2>\cdots >A_{10}$. Ora indichiamo con $A_k$ il numero di permutazioni in modo tale che il richiedente con il grado di abilità $k$-th sia impiegato, e la probabilità che sia impiegato è $\frac{A_k}{10!}$.

Provare che la politica data dal gestore ha le seguenti due proprietà: (1) La probabilità che l’impresa impiega uno dei tre principali (cioè: $A_1$, $A_2$ o $A_3$) è maggiore di $70\%$. (2) La probabilità che l’azienda impiega uno dei tre ultimi non è superiore a $10\%$. (Posizionato da Su Chun)

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Inequality for four points on unit circle with ab+cd=1

Suppose $a$, $b$, $c$ and $d$ are positive real numbers satisfying $ab+cd=1$ and $P_i(x_i,y_i)$ ($i=1,2,3,4$) are four points on the unit circle which has the origin as its center. Prove that $(a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3+d{y}_4{)}^2+(a{x}_4+b{x}_3+c{x}_2+d{x}_1{)}^2\le 2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right).$ (posed by Li Shenghong)

Topic: Disuguaglianze, Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri libro PDF

Ineguaglianza per quattro punti sul cerchio unitario con ab+cd=1

Supponiamo che $a$, $b$, $c$ e $d$ siano numeri reali positivi che soddisfano $ab+cd=1$ e $P_i(x_i,y_i)$ ($i=1,2,3,4$) sono quattro punti sul cerchio unitario che ha l’origine come centro. Dimostrare che $(a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3+d{y}_4{)}^2+(a{x}_4+b{x}_3+c{x}_2+d{x}_1{)}^2\le 2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right).$ (posato da Li Shenghong)

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