China Mathematical Olympiad 2004

Three convex quadrilaterals with ratio and parallelism conditions; find ratio in terms of lambda

Let $EFGH$, $ABCD$ and $E_1{F}_1{G}_1{H}_1$ be three convex quadrilaterals, satisfying: (1) Points $E$, $F$, $G$ and $H$ lie on sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$, respectively, and $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$; (2) Points $A$, $B$, $C$ and $D$ lie on sides $H_1{E}_1$, $E_1{F}_1$, $F_1{G}_1$ and $G_1{H}_1$, respectively, and $E_1{F}_1\parallel EF$, $F_1{G}_1\parallel FG$, $G_1{H}_1\parallel GH$, $H_1{E}_1\parallel HE$. Suppose $\frac{E_{1}A}{A{H}_1}=\lambda$. Find the expression of $\frac{F_{1}C}{C{G}_1}$ in terms of $\lambda$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{F_{1}C}{C{G}_1}=\lambda$ Fonte: apri libro PDF

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Tre quadrilaterali convexi con condizioni di rapporto e parallelismo; trovare il rapporto in termini di lambda

I punti $EFGH$, $ABCD$ e $E_1{F}_1{G}_1{H}_1$ siano tre quadrilaterali convexi che soddisfano: (1) I punti $E$, $F$, $G$ e $H$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$, e $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$; (2) i punti $A$, $B$, $C$ e $D$ si trovano sui lati $H_1{E}_1$, $E_1{F}_1$, $F_1{G}_1$ e $G_1{H}_1$, rispettivamente, e $E_1{F}_1\parallel EF$, $F_1{G}_1\parallel FG$, $G_1{H}_1\parallel GH$, $H_1{E}_1\parallel HE$. Supponiamo $\frac{E_{1}A}{A{H}_1}=\lambda$. Trova l’espressione di $\frac{F_{1}C}{C{G}_1}$ in termini di $\lambda$.

Risposta: \frac{F_1C}{CG_1} = \lambda src_cn_cmo_2004__Q01

Sequence with floor-function recurrence; find closed form in terms of n and c

Let $c$ be a positive integer, and a number sequence $x_1,x_2,\dots$ satisfy $x_1=c$ and $x_n=x_{n-1}+\lfloor \frac{2(x_{n-1}-1)}{n}\rfloor +1,n=2,3,\dots ,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer not greater than $x$. Determine the expression of $x_n$ in terms of $n$ and $c$. (posed by Huang Yumin)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $x_n=\frac{c-1}{6}(n+1)(n+2)+1\text{ for }c\equiv 1(\mathrm{mod}3);x_n=\frac{c-2}{6}(n+1)(n+2)+n+1\text{ for }c\equiv 2(\mathrm{mod}3);x_n=\frac{c-3}{6}(n+1)(n+2)+\lfloor \frac{(n+2{)}^2}{4}\rfloor +1\text{ for }c\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ Fonte: apri libro PDF

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Sequenza con ricorrenza della funzione a pavimento; trovare forma chiusa in termini di n e c

Che $c$ sia un numero intero positivo e che una sequenza di numeri $x_1,x_2,\dots$ soddisfi $x_1=c$ e $x_n=x_{n-1}+\lfloor \frac{2(x_{n-1}-1)}{n}\rfloor +1,n=2,3,\dots ,$ dove $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$. Determinare l’espressione di $x_n$ in termini di $n$ e $c$. (Posizionato da Huang Yumin)

Risposta: x_n = \frac{c-1}{6}(n+1)(n+2)+1 \text{ for } c\equiv1\pmod3; \ x_n=\frac{c-2}{6}(n+1)(n+2)+n+1 \text{ for } c\equiv2\pmod3; \ x_n=\frac{c-3}{6}(n+1)(n+2)+\left\lfloor\frac{(n+2)^2}{4}\right\rfloor+1 \text{ for } c\equiv0\pmod3 src_cn_cmo_2004__Q02

Minimum number of points so that the set has a convex heptagon and every convex pentagon contains an interior point

Let $M$ be a set consisting of $n$ points in the plane, and satisfying: (1) there exist 7 points in $M$ which constitute the vertices of a convex heptagon; (2) if for any 5 points in $M$ which constitute the vertices of a convex pentagon, there then is a point in $M$ which lies in the interior of the pentagon. Find the minimum value of $n$. (posed by Leng Gangsong)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 11 Fonte: apri libro PDF

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Numero minimo di punti in modo che l’insieme abbia un heptagono convex e ogni pentagono convex contenga un punto interno

Che $M$ sia un insieme costituito da $n$ punti nel piano, e che soddisfi: (1) ci sono 7 punti in $M$ che costituiscono le vertici di un settone convex; (2) se per 5 punti in $M$ che costituiscono le vertici di un settone convex, allora c’è un punto in $M$ che si trova all’interno del settone. Trova il valore minimo di $n$. (Possibile da Leng Gangsong)

Risposta: 11 src_cn_cmo_2004__Q03

Unique real sequence satisfying boundary and recurrence; prove bound on terms

For a given real number $a$ and a positive integer $n$, prove that:

(1) there exists exactly one sequence of real numbers $x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}$ such that $\{\begin{array}{l}{x}_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_{i+1}+x_{i-1})=x_i+x_i^3-a^3,i=1,2,\dots ,n;\end{array}$

(2) the sequence $x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}$ in (1) satisfies $|x_i|\le |a|$, $i=0,1,\dots ,n+1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Sequenza reale unica che soddisfa il limite e la ricorrenza; dimostrare il legame con i termini

Per un dato numero reale $a$ e un intero positivo $n$, dimostrare che:

(1) esiste esattamente una sequenza di numeri reali $x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}$ tale che $\{\begin{array}{l}{x}_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_{i+1}+x_{i-1})=x_i+x_i^3-a^3,i=1,2,\dots ,n;\end{array}$

(2) la sequenza $x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}$ di (1) soddisfa $|x_i|\le |a|$, $i=0,1,\dots ,n+1$.

src_cn_cmo_2004__Q04

Prove sum-of-reciprocals-squared inequality given strictly increasing integers with sum of reciprocals at most 1

For a given positive integer $n\ge 2$, suppose positive integers $a_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) satisfy $a_1<a_2<\cdots <a_n$ and $\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\le 1$. Prove that, for any real number $x$, the following inequality holds, ${\left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)}^2\le \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2}.$ (posed by Li Shenghong)

Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Prove la somma delle reciprocità squadrata di inequità data da numeri interi in aumento rigoroso con somma delle reciprocità al massimo 1

Per un dato intero positivo $n\ge 2$, supponiamo che gli interi positivi $a_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) soddisfino $a_1<a_2<\cdots <a_n$ e $\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\le 1$. Prove che, per qualsiasi numero reale $x$, si verifica la seguente disuguaglianza, ${\left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)}^2\le \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2}.$ (posato da Li Shenghong)

src_cn_cmo_2004__Q05

Prove all but finitely many positive integers are sums of 2004 strictly increasing integers with divisibility chain

Prove that every positive integer $n$, except a finite number of them, can be represented as a sum of 2004 positive integers: $n=a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$, where $1\le a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$, and $a_i\mid a_{i+1}$, $i=1,2,\dots ,2003$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

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Prove tutti, se non finiti, molti integri positivi sono somme del 2004 di integri rigorosamente in aumento con catena di divisibilità

Prova che ogni intero positivo $n$, ad eccezione di un numero finito di essi, può essere rappresentato come una somma di interi positivi 2004: $n=a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$, dove $1\le a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$, e $a_i\mid a_{i+1}$, $i=1,2,\dots ,2003$. (Possibile da Chen Yonggao)

src_cn_cmo_2004__Q06