China Mathematical Olympiad 2005

Trig inequalities: simultaneous x exists iff sum condition

Let ${\theta }_i\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, $i=1,2,3,4$. Prove that there exists $x\in \mathbb{R}$ such that the two inequalities ${\cos }^2{\theta }_1{\cos }^2{\theta }_2-(\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2-x{)}^2\ge 0,$ ${\cos }^2{\theta }_3{\cos }^2{\theta }_4-(\sin {\theta }_3\sin {\theta }_4-x{)}^2\ge 0$ hold simultaneously if and only if ${\sum }_{i=1}^4{\sin }^2{\theta }_i\le 2\left(1+{\prod }_{i=1}^4\sin {\theta }_i+{\prod }_{i=1}^4\cos {\theta }_i\right).$ (Posed by Li Shenghong)

Topic: Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Trig disuguaglianze: simultaneo x esiste se la condizione somma

Il modulo di misurazione deve essere il modulo di misurazione del modulo di misurazione. Dimostrare l’esistenza di $x\in \mathbb{R}$ in modo tale che le due disuguaglianze ${\cos }^2{\theta }_1{\cos }^2{\theta }_2-(\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2-x{)}^2\ge 0,$ ${\cos }^2{\theta }_3{\cos }^2{\theta }_4-(\sin {\theta }_3\sin {\theta }_4-x{)}^2\ge 0$ si verifichino contemporaneamente se e solo se ${\sum }_{i=1}^4{\sin }^2{\theta }_i\le 2\left(1+{\prod }_{i=1}^4\sin {\theta }_i+{\prod }_{i=1}^4\cos {\theta }_i\right).$ (Posizionato da Li Shenghong)

src_cn_cmo_2005__Q01

Circle intersects triangle sides; AL, BM, CN concurrent

A circle intersects sides $BC$, $CA$, $AB$ of $△ABC$ at two points for each side in the following order: $(D_1,D_2)$, $(E_1,E_2)$, $(F_1,F_2)$. Line segments $E_1{F}_2$ and $E_2{F}_1$ intersect at point $L$, $F_1{D}_2$ and $F_2{D}_1$ intersect at point $M$, $D_1{E}_2$ and $D_2{E}_1$ intersect at point $N$. Prove that $AL$, $BM$ and $CN$ are concurrent. (Posed by Ye Zhonghao)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo interseca i lati del triangolo; AL, BM, CN contemporaneamente

Un cerchio incrocia i lati $BC$, $CA$, $AB$ di $△ABC$ in due punti per ciascun lato nell’ordine seguente: $(D_1,D_2)$, $(E_1,E_2)$, $(F_1,F_2)$. I segmenti di linea $E_1{F}_2$ e $E_2{F}_1$ si incrociano al punto $L$, $F_1{D}_2$ e $F_2{D}_1$ si incrociano al punto $M$, $D_1{E}_2$ e $D_2{E}_1$ si incrociano al punto $N$. Provare che $AL$, $BM$ e $CN$ sono simultanei. (Posato da Ye Zhonghao)

src_cn_cmo_2005__Q02

Circular pool frogs: prove equilibrium is reached

As seen in Figure 3, a circular pool is divided into $2n$ ($n\ge 5$) “grids”. Two grids are said to be neighbors if they have a common side or an arc. When frogs jump simultaneously into the grids (with at least one frog per grid), an “eruption” occurs in a grid if there are at least three frogs in it. After an eruption in a grid, one frog jumps from that grid into each of its neighboring grids. Prove that after finitely many steps, the distribution of frogs will be in equilibrium (i.e., no eruption occurs). (Posed by Su Chun)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Rana della piscina circolare: dimostrare che l’equilibrio è raggiunto

Come illustrato nella figura 3, un pool circolare è diviso in $2n$ ($n\ge 5$) “griglie”. Si dice che due griglie siano vicine se hanno un lato comune o un arco. Quando le rane saltano contemporaneamente nelle griglie (con almeno una rane per griglia), si verifica una “erupzione” in una griglia se ci sono almeno tre rane in essa. Dopo un’eruzione in una griglia, una rana salta da quella griglia in ciascuna delle sue griglie vicine. Prova che dopo numerosi passi finiti, la distribuzione delle rane sarà in equilibrio (cioè non si verifica alcuna eruzione). (Posato da Su Chun)

src_cn_cmo_2005__Q03

Sequence recurrence; prove inequality for n<=m

Let $\{a_n\}$ be a sequence such that $a_1=\frac{21}{16}$ and $2a_n-3a_{n-1}=\frac{3}{2^{n+1}},n\ge 2.$ Let $m$ be a positive integer and $m\ge 2$. Prove that for $n\le m$, ${\left(a_n+\frac{3}{2^{n+3}}\right)}^{\frac{1}{m}}\left(m-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{n(m-1)}{m}}\right)<\frac{m^2-1}{m-n+1}.$ (Posed by Zhu Huawei)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricorrenza della sequenza; dimostra l’ineguaglianza per n<=m

Let $\{a_n\}$ essere una sequenza tale che $a_1=\frac{21}{16}$ e $2a_n-3a_{n-1}=\frac{3}{2^{n+1}},n\ge 2.$ Let $m$ essere un intero positivo e $m\ge 2$. Prove che per $n\le m$, ${\left(a_n+\frac{3}{2^{n+3}}\right)}^{\frac{1}{m}}\left(m-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{n(m-1)}{m}}\right)<\frac{m^2-1}{m-n+1}.$ (Posato da Zhu Huawei)

src_cn_cmo_2005__Q04

5 points in unit rectangle; minimum triangles of area at most 1/4

There are 5 points in a rectangle $ABCD$ (including its boundary) with unit area such that any three of them are not collinear. Find the minimum number of triangles with areas no more than $\frac{1}{4}$ and vertices chosen from these 5 points. (Posed by Leng Gangsong)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

5 punti in rettangolo unitario; triangoli minimi di superficie non più di 1/4

In un rettangolo $ABCD$ (compreso il suo confine) ci sono 5 punti con superficie unitaria tale che nessuno di essi sia collineare. Trova il numero minimo di triangoli con superficie non superiore a $\frac{1}{4}$ e vertici scelti da questi 5 punti. (Posato da Leng Gangsong)

Risposta: 2 src_cn_cmo_2005__Q05

Find all non-negative integer solutions of 2^x - 3^y5^z7^w = 1

Find all non-negative integer solutions $(x,y,z,w)$ of the following equation $2^x-3^y\cdot 5^z\cdot 7^w=1.$ (Posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(1,0,0,0),(3,0,1,0),(1,1,0,1),(5,1,1,0)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali non negative di 2^x - 3^y5^z7^w = 1

Trovare tutte le soluzioni di numeri interi non negativi $(x,y,z,w)$ della seguente equazione $2^x-3^y\cdot 5^z\cdot 7^w=1.$ (Posizionato da Chen Yonggao)

Risposta: $(1,0,0,0),(3,0,1,0),(1,1,0,1),(5,1,1,0)$ src_cn_cmo_2005__Q06