China Mathematical Olympiad 2006

Prove a max-square inequality for zero-sum sequences

Suppose that the real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfy $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$. Prove ${\max }_{1\le i\le n}{a}_i^2\le \frac{n}{3}{\sum }_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1}{)}^2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove una disuguaglianza massima quadrata per le sequenze di somma zero

Supponiamo che i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ soddisfino $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$. Prova ${\max }_{1\le i\le n}{a}_i^2\le \frac{n}{3}{\sum }_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1}{)}^2.$

src_cn_cmo_2006__Q01

Minimum distinct values among 2006 integers with unequal consecutive ratios

Suppose that positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_{2006}$ (some of them may be equal) satisfy the condition: any two of $\frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\dots ,\frac{a_{2005}}{a_{2006}}$ are unequal. At least how many different numbers are there in $\{a_1,a_2,\dots ,a_{2006}\}$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 46 Fonte: apri libro PDF

Minimum di valori distinti tra i numeri interi del 2006 con rapporti consecutivi diseguali

Supponiamo che i numeri interi positivi $a_1,a_2,\dots ,a_{2006}$ (alcuni di essi possono essere uguali) soddisfino la condizione: qualsiasi due di $\frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\dots ,\frac{a_{2005}}{a_{2006}}$ sono disuguali. Almeno quanti numeri diversi ci sono in $\{a_1,a_2,\dots ,a_{2006}\}$?

Risposta: 46 src_cn_cmo_2006__Q02

Prove one of two Diophantine equations has an odd solution

Suppose positive integers $m$, $n$, $k$ satisfy $mn=k^2+k+3$. Prove that at least one of the following Diophantine equations $x^2+11y^2=4m\text{and}{x}^2+11y^2=4n$ has a solution $(x_0,y_0)$ with $x_0$, $y_0$ being odd numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove che una delle due equazioni diofantine ha una soluzione strana

Supponiamo che gli integri positivi $m$, $n$, $k$ soddisfino $mn=k^2+k+3$. Prova che almeno una delle seguenti equazioni diofantine $x^2+11y^2=4m\text{and}{x}^2+11y^2=4n$ ha una soluzione $(x_0,y_0)$ con $x_0$, $y_0$ essendo numeri odd.

src_cn_cmo_2006__Q03

Prove AE + AP = PD in right triangle with incircle

Let $△ABC$ be a right-angled triangle with $\angle ACB=90^{\circ }$. The inscribed circle $\odot$ of $△ABC$ is tangent to $BC$, $CA$, $AB$ at $D$, $E$, $F$ respectively. $AD$ intersects $\odot$ at $P$. $\angle BPC=90^{\circ }$. Prove that $AE+AP=PD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove AE + AP = PD in triangolo rettangolo con incircolo

$△ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle ACB=90^{\circ }$. Il cerchio $\odot$ di $△ABC$ è tangente a $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente a $D$, $E$ e $F$. $AD$ si interseca con $\odot$ a $P$. $\angle BPC=90^{\circ }$. Prove che $AE+AP=PD$.

src_cn_cmo_2006__Q04

Prove an inequality for a recursively defined sequence

A sequence of real numbers $\{a_n\}$ satisfies the condition that $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{k+1}=-a_k+\frac{1}{2-a_k}$, $k=1,2,\dots$.

Prove the following inequality: ${\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\cdots +a_n)}-1\right)}^n\le {\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\cdots \left(\frac{1}{a_n}-1\right).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Rimostra una disuguaglianza per una sequenza definita ricorrentemente

Una sequenza di numeri reali $\{a_n\}$ soddisfa la condizione che $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{k+1}=-a_k+\frac{1}{2-a_k}$, $k=1,2,\dots$.

Provare la seguente disuguaglianza: ${\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\cdots +a_n)}-1\right)}^n\le {\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\cdots \left(\frac{1}{a_n}-1\right).$

src_cn_cmo_2006__Q05

Minimum n so union condition forces three subsets with nonempty intersection

Let $X$ be a set of 56 elements. Find the least positive integer $n$ such that for any 15 subsets of $X$, if the union of every 7 of these 15 subsets contains at least $n$ elements, then there exist 3 of the 15 subsets whose intersection is nonempty.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Inclusione-esclusione, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 41 Fonte: apri libro PDF

Minimum n così condizione di unione costringe tre sottoinsiemi con intersezione non vuota

$X$ deve essere un insieme di 56 elementi. Trovare il numero intero $n$ meno positivo in modo tale che per ogni 15 sottoinsieme di $X$, se l’unione di ogni 7 di questi 15 sottoinsiemi contiene almeno $n$ elementi, allora esistono 3 dei 15 sottoinsiemi la cui intersezione non è vuota.

Risposta: 41 src_cn_cmo_2006__Q06