China Mathematical Olympiad 2007

Prove max of two complex moduli is at least mn/sqrt(m^2+n^2)

Given complex numbers $a$, $b$, $c$, let $|a+b|=m$, $|a-b|=n$, and suppose $mn\ne 0$. Prove that $\max \{|ac+b|,|a+bc|\}\ge \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

La prova massima di due moduli complessi è almeno mn/sqrt(m^2+n^2)

Date le cifre complesse $a$, $b$, $c$, lasciamo $|a+b|=m$, $|a-b|=n$, e supponiamo $mn\ne 0$. Provare che $\max \{|ac+b|,|a+bc|\}\ge \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}.$

src_cn_cmo_2007__Q01

Prove two statements about fractions (a_j+a_{j+1})/gcd for prime/composite 2n-1

Prove the following statements:

(1) If $2n-1$ is a prime, then for any group of distinct positive integers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ (where $a_{n+1}=a_1$), there exists $j\in \{1,2,\cdots ,n\}$ such that $\frac{a_j+a_{j+1}}{(a_j,a_{j+1})}\ge 2n-1$.

(2) If $2n-1$ is a composite number, then there exists a group of distinct positive integers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ such that $\frac{a_j+a_{j+1}}{(a_j,a_{j+1})}<2n-1$ for any $j\in \{1,2,\cdots ,n\}$.

Here $(x,y)$ denotes the greatest common divisor of positive integers $x$ and $y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework, Principio dei cassetti Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove due affermazioni sulle frazioni (a_j+a_{j+1})/gcd per primo/composto 2n-1

Provare le seguenti affermazioni:

(1) Se $2n-1$ è un primo, allora per qualsiasi gruppo di integri positivi distinti $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ (dove $a_{n+1}=a_1$), esiste $j\in \{1,2,\cdots ,n\}$ tale che $\frac{a_j+a_{j+1}}{(a_j,a_{j+1})}\ge 2n-1$.

(2) Se $2n-1$ è un numero composto, allora esiste un gruppo di integri positivi distinti $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ tale che $\frac{a_j+a_{j+1}}{(a_j,a_{j+1})}<2n-1$ per qualsiasi $j\in \{1,2,\cdots ,n\}$.

Qui $(x,y)$ indica il più grande divisore comune degli integri positivi $x$ e $y$.

src_cn_cmo_2007__Q02

Compare counts of good vs second-good operation groups

Let $a_1,a_2,\cdots ,a_{11}$ be 11 distinct positive integers and write the numbers $1,2,\cdots ,2007$ in order on the blackboard. Now we define a group of 22 ordered operations.

The $i$th operation is to take any number on the blackboard, and add $a_i$ to it if $1\le i\le 11$, or add $-a_{i-11}$ to it if $12\le i\le 22$, then write the results on the blackboard. If the final result is an even permutation of $1,2,\cdots ,2007$, then we call it a ‘good’ group. If the final result is an odd permutation of $1,2,\cdots ,2007$, then we call it a ‘second good’ group.

Our question is: Which is greater? The number of ‘good’ groups or that of ‘second good’ groups? And by how many more?

(Remark: Suppose $x_1,x_2,\cdots ,x_{2007}$ is a permutation of $1,2,\cdots ,2007$. We call it an even (odd) permutation if ${\prod }_{1\le i<j\le 2007}(x_i-x_j)>0$ ($<0$), and otherwise an odd permutation.)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Compare i numeri dei gruppi di funzionamento buoni vs. gruppi di funzionamento buoni secondari

Lasciate che $a_1,a_2,\cdots ,a_{11}$ siano 11 numeri interi positivi distinti e scrivete i numeri $1,2,\cdots ,2007$ in ordine sulla lavagna. Ora definiamo un gruppo di 22 operazioni ordinate.

L’operazione $i$ è quella di prendere qualsiasi numero sulla lavagna e aggiungere $a_i$ se $1\le i\le 11$, o aggiungere $-a_{i-11}$ se $12\le i\le 22$, quindi scrivere i risultati sulla lavagna. Se il risultato finale è una permutazione pari di $1,2,\cdots ,2007$, allora lo chiamiamo un gruppo “buono”. Se il risultato finale è una permutazione odd di $1,2,\cdots ,2007$, allora lo chiamiamo un gruppo di “seconda buona”.

La nostra domanda è: quale è più grande? Il numero dei gruppi “buoni” o quello dei gruppi “secondi buoni”? E quanti altri?

(Nota: supponiamo che $x_1,x_2,\cdots ,x_{2007}$ sia una permutazione di $1,2,\cdots ,2007$. Lo chiamiamo una permutazione pari se ${\prod }_{1\le i<j\le 2007}(x_i-x_j)>0$ ($<0$), e altrimenti una permutazione pari.)

src_cn_cmo_2007__Q03

Circumcenter, incenter, tangent points; prove OI⊥MN

Suppose points $O$ and $I$ are the circumcenter and incenter of $△ABC$ respectively, and the inscribed circle of $△ABC$ is tangent to the sides $BC$, $CA$, $AB$ at points $D$, $E$, $F$ respectively. Lines $FD$ and $CA$ intercept at point $P$, while lines $DE$ and $AB$ intercept at point $Q$. And points $M$, $N$ are the midpoint of segments $PE$, $QF$ respectively. Prove that $OI\perp MN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circumcenter, incenter, punti tangenti; prova OIMN

Supponiamo che i punti $O$ e $I$ siano rispettivamente il circoncentro e l’incentro di $△ABC$, e che il cerchio di $△ABC$ sia tangente ai lati $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente ai punti $D$, $E$ e $F$. Le linee $FD$ e $CA$ sono intercettate al punto $P$, mentre le linee $DE$ e $AB$ sono intercettate al punto $Q$. E i punti $M$ e $N$ sono il punto medio dei segmenti $PE$ e $QF$ rispettivamente. Provare che $OI\perp MN$.

src_cn_cmo_2007__Q04

Bounded sequence satisfying sum condition; prove aₙ < 1/n

Suppose a bounded number sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_n\le {\sum }_{k=n}^{2n+2006}\frac{a_k}{k+1},n=1,2,3,\cdots .$ Prove that $a_n<\frac{1}{n}$, $n=1,2,3,\cdots$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sequenza limitata che soddisfa la condizione di somma; dimostrare un < 1/n

Supponiamo che una sequenza di numeri limitata $\{a_n\}$ soddisfi $a_n\le {\sum }_{k=n}^{2n+2006}\frac{a_k}{k+1},n=1,2,3,\cdots .$ Provi che $a_n<\frac{1}{n}$, $n=1,2,3,\cdots$.

src_cn_cmo_2007__Q05

Find smallest n≥9 such that any integers allow b∈{4,7} with 9|sum

Find the smallest positive integer $n\ge 9$ satisfying that for any group of integers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$, there always exist $b_1,b_2,\cdots ,b_n\in \{4,7\}$ such that $9\mid (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 13 Fonte: apri libro PDF

*Trova la più piccola n≥9 tale che qualsiasi numero intero permetta b∈{4,7} con la somma di 9

Trovare il più piccolo intero positivo $n\ge 9$ che soddisfi che per qualsiasi gruppo di numeri interi $a_1,a_2,\cdots ,a_n$, esiste sempre $b_1,b_2,\cdots ,b_n\in \{4,7\}$ tale che $9\mid (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n)$.

Risposta: 13 src_cn_cmo_2007__Q06