China Mathematical Olympiad 2008

Prove sum of reciprocals of circumradii equals 2/R

Let $△ABC$ be a non-isosceles acute triangle, and point $O$ is the circumcenter. Let $A^{\prime }$ be a point on the line $AO$ such that $\angle BA{A}^{\prime }=\angle C{A}^{\prime }A$. Construct $A^{\prime }{A}_1\perp AC$, $A^{\prime }{A}_2\perp AB$ with $A_1$ on $AC$, $A_2$ on $AB$ respectively. $A{H}_1$ is perpendicular to $BC$ at $H_1$. Write $R_A$ as the circumradius of $△H_1{A}_1{A}_2$. Similarly define $R_B$ and $R_C$. Prove that $\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}=\frac{2}{R},$ where $R$ is the circumradius of $△ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

La somma provata delle reciprocità di circumradii è pari a 2/R

Che $△ABC$ sia un triangolo acuto non isosceles, e il punto $O$ è il circondario. Il $A^{\prime }$ deve essere un punto della riga $AO$ tale che $\angle BA{A}^{\prime }=\angle C{A}^{\prime }A$. Costruire $A^{\prime }{A}_1\perp AC$, $A^{\prime }{A}_2\perp AB$ con $A_1$ su $AC$, $A_2$ su $AB$ rispettivamente. $A{H}_1$ è perpendicolare a $BC$ a $H_1$. Scrivere $R_A$ come il circondario di $△H_1{A}_1{A}_2$. Indicare allo stesso modo $R_B$ e $R_C$. Prove che $\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}=\frac{2}{R},$ dove $R$ è il circondario di $△ABC$.

src_cn_cmo_2008__Q01

Partition set into two subsets avoiding n-term arithmetic-mean condition

Given an integer $n\ge 3$, prove that the set $X=\{1,2,3,\dots ,n^2-n\}$ can be divided into two non-intersecting subsets such that neither of them contains $n$ elements $a_1,a_2,\dots ,a_n$ with $a_1<a_2<\cdots <a_n$ and $a_k\le \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ for all $k=2,\dots ,n-1$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Induzione, Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Partzione impostata in due sottoinsiemi evitando la condizione aritmetica-media di n termine

Date un numero intero $n\ge 3$, dimostrare che l’insieme $X=\{1,2,3,\dots ,n^2-n\}$ può essere diviso in due sottoinsiemi non intersezionati in modo tale che nessuno di essi contenga elementi $n$ $a_1,a_2,\dots ,a_n$ con $a_1<a_2<\cdots <a_n$ e $a_k\le \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ per tutti $k=2,\dots ,n-1$.

src_cn_cmo_2008__Q02

Prove inequality involving floor function for two ordered real sequences

Given an integer $n>0$ and real numbers $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$, $y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n$, satisfying $\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i$. Prove that for any real number $a$, ${\sum }_{i=1}^n{x}_i\left[ia\right]\ge {\sum }_{i=1}^n{y}_i\left[ia\right],$ where $[p]$ is defined as the greatest integer less than or equal to $p$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza che comporta la funzione del pavimento per due sequenze reali ordinate

Date un numero intero $n>0$ e numeri reali $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$, $y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n$, soddisfacendo $\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i$. Prova che per qualsiasi numero reale $a$, ${\sum }_{i=1}^n{x}_i\left[ia\right]\ge {\sum }_{i=1}^n{y}_i\left[ia\right],$ dove $[p]$ è definito come il numero intero più grande inferiore o uguale a $p$.

src_cn_cmo_2008__Q03

Find all prime triples (p,q,n) with divisibility condition

Find all triples $(p,q,n)$ such that $p^{n+1}{q}^{n+1}\mid p^{2n+1}+q^{2n+1}-3^{2n+1}$, where $p$, $q$ are prime and $n$ is a positive integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(3,3,n)$ for $n=2,3,\dots$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i tripli primi (p,q,n) con condizione di divisibilità

Trova tutti i triples $(p,q,n)$ in modo tale che $p^{n+1}{q}^{n+1}\mid p^{2n+1}+q^{2n+1}-3^{2n+1}$, dove $p$, $q$ sono prime e $n$ è un intero positivo.

Risposta: $(3,3,n)$ for $n=2,3,\dots$ src_cn_cmo_2008__Q04