China Mathematical Olympiad 2009

Acute triangle with midpoints, perpendiculars, concyclicity and ratio equality

Given an acute triangle $PBC$, $PB\ne PC$. Let points $A$, $D$ be on sides $PB$ and $PC$, respectively. Let $M$, $N$ be the midpoints of segments $BC$ and $AD$, respectively. Lines $AC$ and $BD$ intersect at point $O$. Draw $OE\perp AB$ at point $E$ and $OF\perp CD$ at point $F$. (1) Prove that if $A$, $B$, $C$, $D$ are concyclic, then $EM\times FN=EN\times FM$. (2) Are the four points $A$, $B$, $C$, $D$ always concyclic if $EM\times FN=EN\times FM$? Prove your answer.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Triangolo acuto con punti medi, perpendicolari, conciclicità e uguale rapporto

In caso di triangolo acuto $PBC$, $PB\ne PC$. I punti $A$ e $D$ devono essere rispettivamente sui lati $PB$ e $PC$. $M$, $N$ siano rispettivamente i punti intermedi dei segmenti $BC$ e $AD$. Le linee $AC$ e $BD$ si incrociano al punto $O$. Disegnare $OE\perp AB$ al punto $E$ e $OF\perp CD$ al punto $F$. (1) Dimostra che se $A$, $B$, $C$, $D$ sono conciclici, allora $EM\times FN=EN\times FM$. (2) I quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$ sono sempre conciclici se $EM\times FN=EN\times FM$? Prova la tua risposta.

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Find all prime pairs (p,q) with pq dividing 5^p + 5^q

Find all pairs $(p,q)$ of prime numbers such that $pq\mid 5^p+5^q$. (Posed by Fu Yunhao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le coppie prime (p,q) con pq che divide 5^p + 5^q

Trova tutte le coppie $(p,q)$ di numeri primi come $pq\mid 5^p+5^q$. (Posato da Fu Yunhao)

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Count convex m-gons with exactly two acute angles in regular (2s+1)-gon

Let $m$, $s$ be integers with $4<m<s$, and $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{2s}$ be the vertices of a regular $(2s+1)$-gon. In addition, let $P=\{A_1,A_2,\dots ,A_{2s}\}$. Find the number of convex $m$-gons with exactly two acute interior angles whose vertices are all in $P$. (Posed by Leng Gangsong)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Contare m-gon convex con esattamente due angoli acuti in (2s+1)-gon regolare

Che $m$, $s$ siano integri con $4<m<s$, e $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{2s}$ siano i vertici di un normale $(2s+1)$-gon. Inoltre, $P=\{A_1,A_2,\dots ,A_{2s}\}$. Trova il numero di convex $m$ con esattamente due angoli interni acuti le cui vertici sono tutte in $P$. (Posato da Leng Gangsong)

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Minimize sum of cubes of real numbers with pairwise distance at least 1

Let $n\ge 3$ be a given integer, and $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be real numbers satisfying ${\min }_{1\le i<k\le n}|a_i-a_k|\ge 1$. Find the minimum value of $\sum _{i=1}^n|a_i{|}^3$. (Posed by Zhu Huawei)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Minimizzare la somma dei cubi di numeri reali con distanza in coppia almeno 1

$n\ge 3$ sia un dato numero intero e $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sia un numero reale soddisfacente ${\min }_{1\le i<k\le n}|a_i-a_k|\ge 1$. Trova il valore minimo di $\sum _{i=1}^n|a_i{|}^3$. (Posato da Zhu Huawei)

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Find all n for which edges and diagonals of convex n-gon can be colored with n colors so every 3 colors form a triangle

Find all integers $n$ such that we can color all the edges and the diagonals of a convex $n$-polygon by $n$ given colors satisfying the following conditions: (1) Each of the edges or the diagonals is colored by only one color; (2) For any three distinct colors, there exists a triangle whose vertices are vertices of the $n$-polygon and three edges are colored by these three colors. (Posed by Su Chan)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Any odd number $n\ge 1$ Fonte: apri libro PDF

Trova tutte le n per le quali i bordi e le diagonali di n-gon convex possono essere colorati con n colori in modo che ogni 3 colori formino un triangolo

Trovare tutti gli enti $n$ in modo tale da poter colorare tutti i bordi e le diagonali di un poligono convexo $n$ con $n$ dati colori che soddisfano le seguenti condizioni: (1) Ciascuno dei bordi o dei diagonali è colorato solo da un colore; (2) Per qualsiasi tre colori distinti, esiste un triangolo le cui vertici sono vertici del poligono $n$ e tre bordi sono colorati da questi tre colori. (Possibile da Su Chan)

Risposta: Any odd number $n\ge 1$ src_cn_cmo_2009__Q05

Prove existence of n-element set where all subset averages are pairwise coprime composites

Given an integer $n\ge 3$, prove that there exists a set $S$ of $n$ distinct positive integers such that for any two distinct nonempty subsets $A$ and $B$ of $S$, the numbers $\frac{\sum _{x\in A}x}{|A|}$ and $\frac{\sum _{x\in B}x}{|B|}$ are two coprime composite integers, where $\sum _{x\in X}x$ denotes the sum of all elements of a finite set $X$, and $|X|$ denotes the cardinality of $X$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove l’esistenza di un insieme di n elementi in cui tutte le medie del sottogruppo sono composti coprimi in coppia

Date un numero intero $n\ge 3$, dimostrare che esiste un insieme $S$ di $n$ diversi interi positivi in modo tale che per due sudinsiemi non vuoti $A$ e $B$ di $S$, i numeri $\frac{\sum _{x\in A}x}{|A|}$ e $\frac{\sum _{x\in B}x}{|B|}$ sono due interi composti copriemi, dove $\sum _{x\in X}x$ indica la somma di tutti gli elementi di un insieme finito $X$, e $|X|$ indica la cardinalità di $X$.

src_cn_cmo_2009__Q06