China Mathematical Olympiad 2010

Two intersecting circles, line CF meets circles at P Q, midpoints of arcs, prove concyclic

As shown below, two circles ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ intersect at points $A$, $B$. One line passing through $B$ intersects ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ at points $C$, $D$; another line passing through $B$ intersects ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ at points $E$, $F$; and line $CF$ intersects ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ at points $P$, $Q$, respectively. Let $M$, $N$ be the middle points of arc $\widehat{PB}$ (on ${\Gamma }_1$) and arc $\widehat{QB}$ (on ${\Gamma }_2$), respectively. Draw lines $CM$ and $FN$. Prove that $C$, $F$, $M$, $N$ are concyclic. (Posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Due cerchi incrociati, la linea CF incontra i cerchi a P Q, punti di mezzo di archi, prova conciclica

Come mostrato di seguito, due cerchi ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ si incrociano nei punti $A$, $B$. Una linea che attraversa $B$ incrocia ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ nei punti $C$, $D$; un’altra linea che attraversa $B$ incrocia ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ nei punti $E$, $F$; e la linea $CF$ incrocia ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$ nei punti $P$ e $Q$, rispettivamente. I punti medi $M$ e $N$ siano rispettivamente $\widehat{PB}$ (su ${\Gamma }_1$) e $\widehat{QB}$ (su ${\Gamma }_2$). Disegnare le linee $CM$ e $FN$. Provare che $C$, $F$, $M$, $N$ sono conciclici. (Posato da Xiong Bin)

src_cn_cmo_2010__Q01

Sequence with gcd-based recursion, prove it is prime infinitely often

Given an integer $k\ge 3$ and a sequence $\{a_n\}$ that satisfies $a_1=2k$ and for each $n>k$, $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+1,& \text{if }{a}_n\text{ and }n\text{ are coprime,}\\ 2a_n,& \text{otherwise,}\end{array}$ prove that $a_n$ is a prime for infinitely many $n$. (Posed by Zhu Huawei)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Sequenza con ricorsione basata su gcd, dimostrare che è primo infinitamente spesso

Date un numero intero $k\ge 3$ e una sequenza $\{a_n\}$ che soddisfa $a_1=2k$ e per ogni $n>k$, $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+1,& \text{if }{a}_n\text{ and }n\text{ are coprime,}\\ 2a_n,& \text{otherwise,}\end{array}$ dimostra che $a_n$ è un primo per infinite $n$. (Posato da Zhu Huawei)

src_cn_cmo_2010__Q02

Complex polynomial bounded on unit disk, find maximum of middle coefficient

Let $a$, $b$, $c$ be complex numbers such that $|a{z}^2+bz+c|\le 1$ for all complex numbers $z$ with $|z|\le 1$. Find the maximum value of $|b|$. (Posed by Li Weigui)

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Polinomio complesso dilimitato sul disco unitario, trovare il coefficiente medio massimo

$a$, $b$, $c$ siano numeri complessi in modo tale che $|a{z}^2+bz+c|\le 1$ per tutti i numeri complessi $z$ con $|z|\le 1$. Trova il valore massimo di $|b|$. (Posizione di Li Weigui)

src_cn_cmo_2010__Q03

Cover m integers using a small set T plus shifts in [-n,n]

Given two integers $m$, $n$ greater than 1 and integers $a_1<a_2<\cdots <a_m$, prove that there exists a set $T$ of integers with $|T|\le 1+\frac{8n}{m-1}$ such that each $a_i$ can be written as $a_i=t+s$ for some $t\in T$ and some $s\in \{-n,-n+1,\dots ,n\}$. (Posed by Leng Gangsong)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Coperire m integri utilizzando un piccolo insieme di T più spostamenti in [-n,n]

Date due integri $m$, $n$ più grandi di 1 e $a_1<a_2<\cdots <a_m$, dimostrano che esiste un insieme $T$ di integri con $|T|\le 1+\frac{8n}{m-1}$ tale che ogni $a_i$ possa essere scritto come $a_i=t+s$ per alcuni $t\in T$ e alcuni $s\in \{-n,-n+1,\dots ,n\}$. (Posato da Leng Gangsong)

src_cn_cmo_2010__Q04

Card piles at n+1 positions, two operations, prove n^2+3n+1 cards suffice

We operate on piles of cards placed at $n+1$ positions $A_1,A_2,\dots ,A_n$ ($n\ge 3$) and $O$. In one operation, we can do either of the following: (1) If there are at least three cards at some position $A_i$, we may take three cards from $A_i$ and place one card each at $A_{i-1}$, $A_i$, and $O$ (indices mod $n$, so $A_{n+1}=A_1$); (2) If there are at least $n$ cards at $O$, we may take $n$ cards from $O$ and place one card at each of $A_1,A_2,\dots ,A_n$. Prove that if the total number of cards is at least $n^2+3n+1$, we can perform some sequence of operations such that there are at least $n+1$ cards at each of the positions $A_1,A_2,\dots ,A_n$. (Posed by Qu Zhenhua)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Le pile di carte in posizioni n+1, due operazioni, dimostrano che n^2+3n+1 carte sono sufficienti

Operamo su pile di carte posizionate alle posizioni $n+1$ $A_1,A_2,\dots ,A_n$ ($n\ge 3$) e $O$. In una operazione, possiamo fare una delle seguenti: (1) Se ci sono almeno tre carte in qualche posizione $A_i$, possiamo prendere tre carte da $A_i$ e posizionare una carta ciascuno a $A_{i-1}$, $A_i$, e $O$ (indici mod $n$, quindi $A_{n+1}=A_1$); (2) Se ci sono almeno $n$ carte a $O$, possiamo prendere $n$ carte da $O$ e posizionare una carta a ciascuno di $A_1,A_2,\dots ,A_n$. Prova che se il numero totale delle carte è almeno $n^2+3n+1$, possiamo eseguire una sequenza di operazioni in modo che ci siano almeno $n+1$ carte in ciascuna delle posizioni $A_1,A_2,\dots ,A_n$. (Posato da Qu Zhenhua)

src_cn_cmo_2010__Q05

Six pairwise distinct positive integers with power sum condition, prove ratio is integer

Let $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ be pairwise distinct positive integers such that $(n-1)!n!(n+1)!(2n-1)!\mid {\prod }_{1\le i<j\le 3}(a_i-a_j)\cdot {\prod }_{1\le i<j\le 3}(b_i-b_j)$ holds for some positive integer $n$. Prove that there exists a positive integer $r$ such that $a_1^r+a_2^r+a_3^r=b_1^r+b_2^r+b_3^r$. (Posed by Chen Yonggao)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sei integri positivi distinti in coppia con condizione di potenza somma, provare il rapporto è intero

Lasciate che $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ siano integri positivi separati in coppia in modo tale che $(n-1)!n!(n+1)!(2n-1)!\mid {\prod }_{1\le i<j\le 3}(a_i-a_j)\cdot {\prod }_{1\le i<j\le 3}(b_i-b_j)$ sia valido per qualche intero positivo $n$. Prova che esiste un intero positivo $r$ tale che $a_1^r+a_2^r+a_3^r=b_1^r+b_2^r+b_3^r$. (Posato da Chen Yonggao)

src_cn_cmo_2010__Q06