China Mathematical Olympiad 2011

Prove cyclic-sum inequality for real numbers

Let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) be real numbers. Prove that ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{a}_i{a}_{i+1}\le \left[\frac{n}{2}\right](M-m{)}^2,$ where $a_{n+1}=a_1$, $M={\max }_{1\le i\le n}{a}_i$, $m={\min }_{1\le i\le n}{a}_i$, $[x]$ is the largest integer not exceeding $x$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza di somma ciclica per i numeri reali

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) siano numeri reali. Prove che ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{a}_i{a}_{i+1}\le \left[\frac{n}{2}\right](M-m{)}^2,$ dove $a_{n+1}=a_1$, $M={\max }_{1\le i\le n}{a}_i$, $m={\min }_{1\le i\le n}{a}_i$, $[x]$ è il numero intero più grande non superiore a $x$.

src_cn_cmo_2011__Q01

Incenter on line RT given RT parallel to DE in circumcircle setup

As shown in Fig. 2.1, $D$ is the midpoint of arc $BC$ of the circumcircle of triangle $ABC$. $X$ lies on arc $BD$. $F$ is the midpoint of arc $AX$. $S$ lies on arc $AC$. $SD$ intersects $BC$ at $R$. $SE$ intersects $AX$ at $T$. Prove that if $RT\parallel DE$, then the incenter of triangle $ABC$ lies on line $RT$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

In centro sulla linea RT data RT parallela a DE nella configurazione di circolo

Come mostrato nella figura. 2.1, $D$ è il punto medio dell’arco $BC$ del circoncircolo del triangolo $ABC$. $X$ si trova su un arco $BD$. $F$ è il punto medio dell’arco $AX$. $S$ si trova su un arco $AC$. $SD$ si interseca con $BC$ a $R$. $SE$ si interseca con $AX$ al punto $T$. Prova che se $RT\parallel DE$, il centro del triangolo $ABC$ si trova sulla linea $RT$.

src_cn_cmo_2011__Q02

Prove union of k subsets has fewer than k/n fraction of A elements

Let $A_1,A_2,\dots ,A_n$ be $n$ non-empty subsets of a finite set $A$ of real numbers satisfying the following conditions: (1) The sum of elements of $A$ is equal to 0; (2) Pick arbitrarily a number from each $A_i$, and their sum is strictly positive. Prove that there exist sets $A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}$, $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$ such that $|A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.$ ($|X|$ denotes the number of elements of a finite set $X$.)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Induzione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

L’unione di prova di k sottoinsiemi ha meno di k/n frazione di elementi A

Che $A_1,A_2,\dots ,A_n$ sia $n$ sottoinsieme non vuoti di un insieme finito $A$ di numeri reali che soddisfino le seguenti condizioni: (1) La somma degli elementi di $A$ è uguale a 0; (2) Scegli arbitrariamente un numero da ogni $A_i$ e la loro somma è strettamente positiva. Provare che esistono set $A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}$, $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$ in modo tale che $|A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.$ ($|X|$ indica il numero di elementi di un set finito $X$.)

src_cn_cmo_2011__Q03

Find minimum of symmetric difference sizes for sumset equal to S

Given positive integer $n$, let $S=\{1,2,\dots ,n\}$. Find the minimum of $|A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|$ for nonempty finite sets $A$ and $B$ of real numbers, where $C=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$, $X\Delta Y=\{x\mid x\text{ belongs to exactly one of }X\text{ and }Y\}$, and $|X|$ denotes the number of elements of a finite set $X$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: n+1 Fonte: apri libro PDF

Ricerca le dimensioni minime della differenza simmetrica per il sommo uguale a S

Se il numero intero positivo $n$ è $S=\{1,2,\dots ,n\}$. Trova il minimo di $|A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|$ per i set finiti non vuoti $A$ e $B$ di numeri reali, dove $C=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$, $X\Delta Y=\{x\mid x\text{ belongs to exactly one of }X\text{ and }Y\}$ e $|X|$ indicano il numero di elementi di un set finito $X$.

Risposta: n+1 src_cn_cmo_2011__Q04

Find maximum of ratio of weighted sums for non-negative reals

Given integer $n\ge 4$. Find the maximum of $\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i(a_i+b_i)}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i(a_i+b_i)}$ for non-negative real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ satisfying $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n>0.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: n-1 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo del rapporto delle somme ponderate per i reali non negativi

Numero intero $n\ge 4$. Trova il massimo di $\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i(a_i+b_i)}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i(a_i+b_i)}$ per i numeri reali non negativi $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ soddisfaci $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n>0.$

Risposta: n-1 src_cn_cmo_2011__Q05

Prove infinitely many coprime pairs a,b with a+b dividing am^a+bn^b

Prove that for any given positive integers $m$, $n$, there exist infinitely many pairs of coprime positive integers $a$, $b$, such that $a+b\mid a{m}^a+b{n}^b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove infinitamente molte copriemi copriemi a,b con a+b dividendo am^a+bn^b

Prova che per ogni dato numero intero positivo $m$, $n$, esistono infinite coppie di numeri interi positivi copriemi $a$, $b$, in modo tale che $a+b\mid a{m}^a+b{n}^b$.

src_cn_cmo_2011__Q06