China Mathematical Olympiad 2012

Two circles tangent to lines AC and AD through vertices and arc midpoints meet again at P; prove AP bisects angle BAC.

As shown in Fig. 1.1, $\angle A$ is the biggest angle in triangle $ABC$. On the circumcircle of $△ABC$, the points $D$ and $E$ are the midpoints of arc $ABC$ and arc $ACB$, respectively. Denote by $\odot O_1$ the circle passing through $A$ and $B$, and tangent to line $AC$; by $\odot O_2$ the circle passing through $A$ and $E$, and tangent to line $AD$. $\odot O_1$ intersects $\odot O_2$ at points $A$ and $P$. Prove that $AP$ is the bisector of $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Due cerchi tangenti alle linee AC e AD attraverso vertici e punti di centro dell’arco si incontrano di nuovo a P; dimostrare che AP divide l’angolo BAC.

Come mostrato nella figura. 1.1, $\angle A$ è l’angolo più grande del triangolo $ABC$. Sul circoncircolo di $△ABC$, i punti $D$ e $E$ sono rispettivamente i punti di mezzo dell’arco $ABC$ e dell’arco $ACB$. Nota con $\odot O_1$ il cerchio che attraversa $A$ e $B$, e tangente alla linea $AC$; con $\odot O_2$ il cerchio che attraversa $A$ e $E$, e tangente alla linea $AD$. $\odot O_1$ interseca $\odot O_2$ ai punti $A$ e $P$. Provare che $AP$ è il bisector di $\angle BAC$.

src_cn_cmo_2012__Q01

On a p x p matrix filled with 1..p^2, add/subtract 1 along whole rows or columns; count matrices reducible to all zeros.

Given a prime number $p$, let $A$ be a $p\times p$ matrix such that its entries are exactly $1,2,\dots ,p^2$ in some order. The following operation is allowed for a matrix: add one to each number in a row or a column, or subtract one from each number in a row or a column. The matrix $A$ is called “good” if one can take a finite series of such operations resulting in a matrix with all entries zero. Find the number of good matrices $A$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $2(p!{)}^2$ Fonte: apri libro PDF

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Su una matrice p x p riempita di 1..p^2, aggiungere/sottraire 1 lungo intere righe o colonne; conteggiare le matrici riduttibili a tutti i zeri.

Dato un numero primo $p$, $A$ sia una matrice $p\times p$ tale che le sue voci siano esattamente $1,2,\dots ,p^2$ in un certo ordine. Per una matrice è consentita la seguente operazione: aggiungere uno a ciascun numero di una riga o di una colonna, o sottrarre uno da ciascun numero di una riga o di una colonna. La matrice $A$ viene chiamata “buona” se si può prendere una serie finita di tali operazioni che si traduce in una matrice con tutte le voci zero. Trova il numero di matrici buone $A$.

Risposta: $2(p!{)}^2$ src_cn_cmo_2012__Q02

For f(x)=(x+a)(x+b) and nonnegative x_i summing to 1, maximize the sum over pairs of min{f(x_i),f(x_j)}.

Let $f(x)=(x+a)(x+b)$ where $a,b$ are given positive real numbers, $n\ge 2$ be a given integer. For non-negative real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ that satisfy $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$, find the maximum of $F={\sum }_{1\le i<j\le n}\min \{f(x_i),f(x_j)\}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{n-1}{2}\left(\frac{1}{n}+a+b+nab\right)$ Fonte: apri libro PDF

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Per f(x)=(x+a)(x+b) e x_i non negativi sommati a 1, massimizzare la somma su coppie di min{f(x_i),f(x_j)}.

Se $f(x)=(x+a)(x+b)$ viene dato un numero reale positivo $a,b$, $n\ge 2$ è un intero dato. Per i numeri reali non negativi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ che soddisfano $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$, trovare il massimo di $F={\sum }_{1\le i<j\le n}\min \{f(x_i),f(x_j)\}$.

Risposta: $\frac{n-1}{2}\left(\frac{1}{n}+a+b+nab\right)$ src_cn_cmo_2012__Q04

For square-free even n and prime p with p<2 sqrt(n), p not dividing n, p dividing n+k^2, write n as ab+bc+ca with distinct positive integers.

Let $n$ be a square-free positive even number, $k$ be an integer, $p$ be a prime number, satisfying $p<2\sqrt{n}$, $p\nmid n$, $p\mid n+k^2$. Prove that $n$ can be written as $n=ab+bc+ca$, where $a$, $b$, $c$ are distinctive positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Per n pari a quadrato libero e p primo con p<2 sqrt(n), p non divide n, p divide n+k^2, scrivi n come ab+bc+ca con diversi interi positivi.

Che $n$ sia un numero pari positivo senza quadrato, $k$ sia un numero intero, $p$ sia un numero primo, soddisfacendo $p<2\sqrt{n}$, $p\nmid n$, $p\mid n+k^2$. Prova che $n$ può essere scritto come $n=ab+bc+ca$, dove $a$, $b$, $c$ sono numeri interi positivi distintivi.

src_cn_cmo_2012__Q05