China Mathematical Olympiad 2013

Two intersecting circles, show common point of bisectors, right triangle sides

Two circles $K_1$ and $K_2$ of different radii intersect at two points $A$ and $B$, let $C$ and $D$ be two points on $K_1$ and $K_2$ respectively, such that $A$ is the midpoint of segment $CD$. The extension of $DB$ meets $K_1$ at another point $E$, and the extension of $CB$ meets $K_2$ at another point $F$. Let $l_1$ and $l_2$ be the perpendicular bisectors of $CD$ and $EF$, respectively.

(1) Show that $l_1$ and $l_2$ have a unique common point (denoted by $P$).

(2) Prove that the lengths of $CA$, $AP$ and $PE$ are the side lengths of a right triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Due cerchi che si intersecano, mostrano punto comune di bisettori, lati triangolari rettangolari

Due cerchi $K_1$ e $K_2$ di diversi raggi si incrociano a due punti $A$ e $B$, lasciando che $C$ e $D$ siano rispettivamente due punti su $K_1$ e $K_2$, in modo che $A$ sia il punto medio del segmento $CD$. L’estensione di $DB$ incontra $K_1$ in un altro punto $E$, e l’estensione di $CB$ incontra $K_2$ in un altro punto $F$. I bisettori perpendicolari di $CD$ e $EF$ sono $l_1$ e $l_2$.

(1) Indicare che $l_1$ e $l_2$ hanno un punto comune unico (indicato da $P$).

(2) Provare che le lunghezze di $CA$, $AP$ e $PE$ sono le lunghezze laterali di un triangolo rettangolo.

src_cn_cmo_2013__Q01

Find all integer sets S closed under 3m-2n

Find all non-empty sets $S$ of integers such that $3m-2n\in S$ for all (not necessarily distinct) $m,n\in S$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti gli insiemi di numeri interi S chiusi sotto 3m-2n

Trovare tutti gli insiemi non vuoti $S$ di numeri interi tali da $3m-2n\in S$ per tutti (non necessariamente distinti) $m,n\in S$.

src_cn_cmo_2013__Q02

Find all positive real t with infinite set X and arithmetic progression inequality

Find all positive real numbers $t$ with the property that there exists an infinite set $X$ of real numbers such that the inequality $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td$ holds for all (not necessarily distinct) $x,y,z\in X$, all real numbers $a$ and all positive real numbers $d$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $0<t<\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le t reali positive con set infinito X e disuguaglianza di progressione aritmetica

Trova tutti i numeri reali positivi $t$ con la proprietà che esiste un insieme infinito $X$ di numeri reali in modo tale che l’ineguaglianza $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td$ si applique a tutti (non necessariamente distinti) $x,y,z\in X$, tutti i numeri reali $a$ e tutti i numeri reali positivi $d$.

Risposta: $0<t<\frac{1}{2}$ src_cn_cmo_2013__Q03

Find minimum total size of n sets with symmetric-difference condition

Given an integer $n\ge 2$, suppose $A_1,A_2,\dots ,A_n$ are $n$ nonempty finite sets satisfying $|A_i\Delta A_j|=|i-j|$ for all $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Find the minimum value of $|A_1|+|A_2|+\cdots +|A_n|$.

(Here $|X|$ denotes the number of elements of a finite set $X$ and $X\Delta Y=\{a\mid a\in X,a\notin Y\}\cup \{a\mid a\in Y,a\notin X\}$ for any sets $X$ and $Y$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca la dimensione totale minima di n set con condizione di differenza simmetrica

Dato un intero $n\ge 2$, supponiamo che $A_1,A_2,\dots ,A_n$ siano $n$ insieme finiti non vuoti che soddisfano $|A_i\Delta A_j|=|i-j|$ per tutti $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Trova il valore minimo di $|A_1|+|A_2|+\cdots +|A_n|$.

(Qui $|X|$ indica il numero di elementi di un insieme finito $X$ e $X\Delta Y=\{a\mid a\in X,a\notin Y\}\cup \{a\mid a\in Y,a\notin X\}$ per qualsiasi insieme $X$ e $Y$.)

src_cn_cmo_2013__Q04

Prove divisibility of binary-coefficient polynomials transfers to all bases

For each positive integer $n$ and each integer $i$ $(0\le i\le n)$, let $C_n^i\equiv c(n,i)(\mathrm{mod}2)$, where $c(n,i)\in \{0,1\}$, and define $f(n,q)={\sum }_{i=0}^{n}c(n,i)q^i.$ Let $m$, $n$ and $q$ be positive integers with $q+1$ not a power of $2$. Suppose that $f(m,q)\mid f(n,q)$. Prove that $f(m,r)\mid f(n,r)$ for every positive integer $r$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prova la divisibilità dei trasferimenti di polinomi con coefficiente binario a tutte le basi

Per ogni intero positivo $n$ e per ogni intero $i$ $(0\le i\le n)$, $C_n^i\equiv c(n,i)(\mathrm{mod}2)$, dove $c(n,i)\in \{0,1\}$, e definire $f(n,q)={\sum }_{i=0}^{n}c(n,i)q^i.$, $m$, $n$ e $q$ siano interi positivi con $q+1$ non una potenza di $2$. Supponiamo che $f(m,q)\mid f(n,q)$. Prova che $f(m,r)\mid f(n,r)$ per ogni intero positivo $r$.

src_cn_cmo_2013__Q05

With omega = sum of exponents, decide if ratio omega(n+k)/omega(n) can be made both < alpha and > beta

For any integer $n$ with $n>1$, let $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$ be its standard factorization; write $\omega (n)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_s$. Prove or disprove the following statement: Given any positive integer $k$ and any positive real numbers $\alpha$ and $\beta$, there exists a positive integer $n$ with $n>1$ such that $\frac{\omega (n+k)}{\omega (n)}<\alpha$ and $\frac{\omega (n+k)}{\omega (n)}>\beta$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Stima, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: The statement is true (YES). Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Con omega = somma di esponenti, decidere se il rapporto omega(n+k)/omega(n) può essere fatto sia < alfa che > beta

Per qualsiasi numero intero $n$ con $n>1$, $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$ sia la sua fattorizzazione standard; scrivere $\omega (n)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_s$. Provare o respingere la seguente affermazione: dato qualsiasi numero intero positivo $k$ e qualsiasi numero reale positivo $\alpha$ e $\beta$, esiste un numero intero positivo $n$ con $n>1$ tale che $\frac{\omega (n+k)}{\omega (n)}<\alpha$ e $\frac{\omega (n+k)}{\omega (n)}>\beta$.

Risposta: The statement is true (YES). src_cn_cmo_2013__Q06

Smallest k so that for every valid self-map of a 100-element set there is B with |B|=k and B union f(B)=X

Given $X=\{1,2,\dots ,100\}$, consider functions $f:X\to X$ satisfying the following conditions: (1) $f(x)\ne x$ for all $x\in X$; (2) for any set $A\subseteq X$ with $|A|=40$, we have $A\cap f(A)\ne \varnothing$. Find the smallest positive integer $k$ such that for any such function $f$ there exists a set $B\subseteq X$ satisfying $|B|=k$ and $B\cup f(B)=X$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 69 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

La minima k in modo che per ogni auto-mappa valida di un insieme di 100 elementi ci sia B con B = k e B unione f(B) = X

Dato $X=\{1,2,\dots ,100\}$, consideri le funzioni $f:X\to X$ che soddisfano le seguenti condizioni: (1) $f(x)\ne x$ per tutti $x\in X$; (2) per qualsiasi insieme $A\subseteq X$ con $|A|=40$, abbiamo $A\cap f(A)\ne \varnothing$. Trova il più piccolo intero positivo $k$ in modo che per qualsiasi funzione $f$ esista un insieme $B\subseteq X$ che soddisfa $|B|=k$ e $B\cup f(B)=X$.

Risposta: 69 src_cn_cmo_2013__Q07

Non-empty subsets A,B of {1,…,n}; a subset D of A+B with D+D in 2(A+B) and |D| at least |A||B|/(2n)

Let $n$ be a positive integer, and $A$, $B$ be non-empty subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$. Prove that there exists a subset $D$ of $A+B$ such that $D+D\subseteq 2(A+B),\text{and}|D|\ge \frac{|A|\cdot |B|}{2n},$ where $|X|$ denotes the number of elements of a finite set $X$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

*Sottoinsiemi non vuoti A,B di {1,…,n}; un sottoinsieme D di A+B con D+D in 2(A+B) e \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Che $n$ sia un intero positivo e $A$, $B$ siano sottosette non vuote di $\{1,2,\dots ,n\}$. Prove che esiste un sottogruppo $D$ di $A+B$ tale che $D+D\subseteq 2(A+B),\text{and}|D|\ge \frac{|A|\cdot |B|}{2n},$ in cui $|X|$ indica il numero di elementi di un insieme finito $X$.

src_cn_cmo_2013__Q08