China Mathematical Olympiad 2020

Sequence with real odd terms and imaginary even terms; minimize modulus of partial sums

Suppose all the odd terms of sequence $\{z_n{\}}_{n\ge 1}$ are real and all the even terms are pure imaginary, and for any positive integer $k$, there is $|z_k{z}_{k+1}|=2^k$. For positive integer $n$, denote $f_n=|z_1+z_2+\cdots +z_n|$.

(1) Find the minimum possible value of $f_{2020}$.

(2) Find the minimum possible value of $f_{2020}\cdot f_{2021}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $f_{2020}minimumis2;f_{2020}\cdot f_{2021}minimumis{2}^{1011}.$ Fonte: apri libro PDF

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Sequenza con termini unici reali e termini pari immaginari; ridurre al minimo il modulo di somme parziali

Supponiamo che tutti i termini odd della sequenza $\{z_n{\}}_{n\ge 1}$ siano reali e tutti i termini pari siano puramente immaginari, e per qualsiasi intero positivo $k$, ci sia $|z_k{z}_{k+1}|=2^k$. Per un intero positivo $n$, indicare $f_n=|z_1+z_2+\cdots +z_n|$.

(1) Trovare il valore minimo possibile di $f_{2020}$.

(2) Trovare il valore minimo possibile di $f_{2020}\cdot f_{2021}$.

Risposta: f_{2020} minimum is 2; f_{2020} \cdot f_{2021} minimum is 2^{1011}. src_cn_cmo_2020__Q01

Find smallest n so that two congruences mod m are solvable by integers, one coprime to m

Given integer $m\ge 1$, find the smallest positive integer $n$ such that for any integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ and $b_1,b_2,\dots ,b_n$, there exist integers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ that satisfy the following two conditions:

(1) at least one of $x_1,x_2,\dots ,x_n$ is coprime to $m$;

(2) $\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\equiv \sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i\equiv 0(\mathrm{mod}m)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casi e conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

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Ricerca il più piccolo n in modo che due congruenze mod m siano risolvibili da numeri interi, un coprimo a m

Data l’intero $m\ge 1$, trovare il più piccolo intero positivo $n$ in modo tale che per tutti gli integri $a_1,a_2,\dots ,a_n$ e $b_1,b_2,\dots ,b_n$ esistano interi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ che soddisfano le seguenti due condizioni:

(1) almeno uno di $x_1,x_2,\dots ,x_n$ è coprime a $m$;

(2) $\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\equiv \sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i\equiv 0(\mathrm{mod}m)$.

src_cn_cmo_2020__Q02

n with 36 prime factors; counts of integers coprime to n in five equal subintervals; lower bound on sum of squared differences

Suppose that positive integer $n$ can be divisible by exactly $36$ different prime numbers. For $k=1,2,\dots ,5$, let $c_k$ be the number of integers on the interval $\left[\frac{(k-1)n}{5},\frac{kn}{5}\right]$ that are coprime with $n$. It is known that $c_1,c_2,\dots ,c_5$ are not all equal. Prove that ${\sum }_{1\le i<j\le 5}(c_i-c_j{)}^2\ge 2^{36}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio, Disuguaglianze Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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n con 36 fattori primi; conteggio di numeri interi copri a n in cinque subintervalli uguali; limite inferiore sulla somma delle differenze quadrate

Supponiamo che un intero positivo $n$ possa essere divisibile esattamente $36$ diversi numeri primi. Per $k=1,2,\dots ,5$, $c_k$ è il numero di integri sull’intervallo $\left[\frac{(k-1)n}{5},\frac{kn}{5}\right]$ che sono copriemi con $n$. È noto che $c_1,c_2,\dots ,c_5$ non sono tutti uguali. Provare che ${\sum }_{1\le i<j\le 5}(c_i-c_j{)}^2\ge 2^{36}.$

src_cn_cmo_2020__Q03

Acute triangle inscribed in a circle; line through center parallel to AM; prove an equality of angle sums

As shown in Fig. 4.1, let acute $△ABC$ be inscribed to circle $\omega$, $AB>AC$. $M$ is the midpoint of minor arc $\widehat{BC}$ of circle $\omega$ and $K$ is the antipodal point of point $A$ on circle $\omega$. Construct a parallel line of $AM$ through the center $O$ of circle $\omega$, intersecting segment $AB$ at point $D$ and the extension of $CA$ at point $E$. Suppose that line $BM$ intersects $CK$ at point $P$ and line $CM$ intersects $BK$ at point $Q$. Prove that $\angle OEB+\angle OPB=\angle ODC+\angle OQC.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Triangolo acuto inserito in un cerchio; linea attraverso il centro parallela a AM; dimostrare l’uguaglianza delle somme di angoli

Come mostrato nella figura. 4.1, inserire il $△ABC$ acuto al cerchio $\omega$, $AB>AC$. $M$ è il punto medio dell’arco minore $\widehat{BC}$ del cerchio $\omega$ e $K$ è il punto antipodal del punto $A$ sul cerchio $\omega$. Costruire una linea parallela di $AM$ attraverso il centro $O$ del cerchio $\omega$, il segmento intersezionante $AB$ al punto $D$ e l’estensione di $CA$ al punto $E$. Supponiamo che la linea $BM$ si intersechi $CK$ al punto $P$ e la linea $CM$ si intersechi $BK$ al punto $Q$. Provare che $\angle OEB+\angle OPB=\angle ODC+\angle OQC.$

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Convex polyhedron with degree-3 vertices and even count of each k-gon; ant traverses a closed edge path dividing the surface equally; prove left turns equal right turns

We consider a convex polyhedron $P$ with the following properties: (i) each vertex of $P$ belongs to exactly three faces; (ii) for any integer $k\ge 3$, the number of faces of $k$-sided polygon of $P$ is even.

An ant starts from the midpoint of a certain edge and crawls on the surface of $P$ along a closed path $L$ composed by the edges of $P$. It passes through each point on $L$ exactly once and finally returns to the starting point. It is known that $L$ divides the surface of $P$ into two regions, and that for any $k$, the number of faces of $k$-sided polygon in both regions is equal.

Prove that during the above process of crawling, the number of times the ant turns to the left is exactly the number of times it turns to the right.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Invarianti, Doppio conteggio, Grafi Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

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Polyedro convex con vertici di grado 3 e numero pari di ogni k-gon; formica attraversa un percorso di bordo chiuso che divide ugualmente la superficie; prova curva sinistra uguale curva destra

Consideriamo un poliedro converso $P$ con le seguenti proprietà: (i) ogni vertice di $P$ appartiene esattamente a tre facce; (ii) per qualsiasi intero $k\ge 3$, il numero di facce del poligono laterale $k$ di $P$ è pari.

Una formica parte dal punto medio di un certo bordo e si arrasta sulla superficie di $P$ lungo un percorso chiuso $L$ composto dai bordi di $P$. Passa attraverso ogni punto su $L$ esattamente una volta e ritorna finalmente al punto di partenza. È noto che $L$ divide la superficie di $P$ in due regioni e che per qualsiasi $k$, il numero di facce di poligono laterale $k$ in entrambe le regioni è uguale.

Prove che durante il processo di arrampicamento sopra indicato, il numero di volte che la formica gira a sinistra è esattamente il numero di volte che gira a destra.

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Find all functions f: N+ -> N+ with f(f(x)+y) dividing x+f(y)

Let ${\mathbb{N}}_{+}$ be the set of all positive integers. Find all functions $f:{\mathbb{N}}_{+}\to {\mathbb{N}}_{+}$, satisfying that for any $x,y\in {\mathbb{N}}_{+}$, $f(f(x)+y)\mid x+f(y).$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Trova tutte le funzioni f: N+ -> N+ con f(f(x) + y) dividendo x+f(y)

${\mathbb{N}}_{+}$ sia l’insieme di tutti gli integri positivi. Trovare tutte le funzioni $f:{\mathbb{N}}_{+}\to {\mathbb{N}}_{+}$, soddisfacendo che per qualsiasi $x,y\in {\mathbb{N}}_{+}$, $f(f(x)+y)\mid x+f(y).$

src_cn_cmo_2020__Q06