China Mathematical Olympiad 2021

Trajectory of incircle center of a tangential convex quadrilateral

Given positive numbers $a$, $b$ and segment $AB$ of length $a$ on a plane, suppose two moving points $C$, $D$ in this plane satisfy that $ABCD$ is a non-degenerate convex quadrilateral with $BC=CD=b$, $DA=a$. It is easy to see that there exists circle $I$ tangent to all the four sides of quadrilateral $ABCD$. Find the trajectory of center $I$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Trettoria del centro incircolare di un quadrilaterale convex tangenziale

Dato il numero positivo $a$, $b$ e il segmento $AB$ di lunghezza $a$ in un piano, supponiamo che due punti in movimento $C$, $D$ in questo piano soddisfino il fatto che $ABCD$ sia un quadrilaterale converso non degenerato con $BC=CD=b$, $DA=a$. È facile vedere che esiste un cerchio $I$ tangente a tutti e quattro i lati del quadrilaterale $ABCD$. Trova la traiettoria del centro $I$.

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Maximum lambda so cubic with positive coefficients has no root with |Im|>=lambda|Re|

Find the maximum real number $\lambda$ that satisfies the following condition: for any positive real numbers $p,q,r,s$ and a complex number $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) such that $|b|\ge \lambda |a|$, $p{z}^3+2q{z}^2+2rz+s\ne 0$.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

*La lambda massima così cubica con i coefficienti positivi non ha radice con \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Trova il numero reale massimo $\lambda$ che soddisfa la seguente condizione: per tutti i numeri reali positivi $p,q,r,s$ e per un numero complesso $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) tale che $|b|\ge \lambda |a|$, $p{z}^3+2q{z}^2+2rz+s\ne 0$.

Risposta: \sqrt{3} src_cn_cmo_2021__Q02

Find all integers a admitting a 6-element set X covering all residues mod 37 via ax+y

Find all integers $a$ satisfying the following condition: there exists a set $X$ of $6$ integers such that for each $k=1,2,\dots ,36$, there exist $x,y\in X$ such that $ax+y\equiv k(\mathrm{mod}37)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti gli integri a che ammette un insieme di 6 elementi X che copre tutti i residui mod 37 tramite ax+y

Trova tutti gli enti $a$ che soddisfano la seguente condizione: esiste un insieme $X$ di enti $6$ in modo che per ogni $k=1,2,\dots ,36$, esiste $x,y\in X$ in modo che $ax+y\equiv k(\mathrm{mod}37)$.

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Scientists update approval by floor-averaging friends; prove all values stabilize

Given that $n(\ge 2)$ scientists attend a conference; each scientist has some friends attending the conference (the friendship is mutual and no one is their own friend). It is known that no matter how these scientists are divided into two groups, there always exist two scientists in the same group who are friends, and there also exist two scientists in different groups who are friends. On the first day, a topic was proposed at the conference, and the degree of approval of each scientist for this topic can be represented by a non-negative integer. Suppose that the degree of approval of each scientist becomes the integer part of the average of the degree of approval of all his friends on the previous day. Prove that after several days, the degree of approval of all scientists is the same.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Grafi, Invarianti, Induzione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Gli scienziati aggiornano l’approvazione da parte di amici medi a pavimento; dimostrano che tutti i valori si stabilizzano

Dato che gli scienziati partecipano a una conferenza, ogni scienziato ha alcuni amici che partecipano alla conferenza (l’amicizia è reciproca e nessuno è il proprio amico). È noto che non importa come questi scienziati siano divisi in due gruppi, ci sono sempre due scienziati nello stesso gruppo che sono amici, e ci sono anche due scienziati in gruppi diversi che sono amici. Il primo giorno, è stato proposto un argomento alla conferenza, e il grado di approvazione di ogni scienziato per questo argomento può essere rappresentato da un intero non negativo. Supponiamo che il grado di approvazione di ogni scienziato diventi la parte integrale della media del grado di approvazione di tutti i suoi amici il giorno precedente. Prove che dopo diversi giorni, il grado di approvazione di tutti gli scienziati è lo stesso.

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Construct sqrt(2021) with ruler and compass using at most 10 circles/lines

It is known that there are only two types of one-dimensional geometric objects, circles and lines, that appear in ruler-and-compass construction. Let there be two points marked on a paper with a distance of $1$. Prove that a line and two points on this line with a distance of $\sqrt{2021}$ can be drawn on the paper with ruler-and-compass, such that the total number of different circles and lines that appear in the drawing process does not exceed $10$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Construire sqrt(2021) con regola e bussola utilizzando al massimo 10 cerchi/linee

È noto che ci sono solo due tipi di oggetti geometrici unidimensionali, cerchi e linee, che appaiono nella costruzione di regola e bussola. Due punti devono essere contrassegnati su una carta con una distanza di $1$. Prove che una linea e due punti su questa linea con una distanza di $\sqrt{2021}$ possono essere disegnati sulla carta con regola e bussola, in modo che il numero totale di diversi cerchi e linee che appaiono nel processo di disegna non superi $10$.

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Prove bounds on min number of coefficients divisible by 3 in (x+1)^s(x+2)^{n-s}

For integers $0\le s\le n$, denote $f(n,s)$ as the number of coefficients in the expansion of $(x+1{)}^s(x+2{)}^{n-s}$ that are divisible by $3$. For example, $(x+1{)}^2(x+2{)}^0=x^2+2x+1$, so $f(2,2)=2$. For positive integer $n$, define $F(n)$ to be the minimum of $f(n,0),f(n,1),\dots ,f(n,n)$. Prove: (1) There exist infinitely many positive integers $n$ such that $F(n)\ge \frac{n-1}{3}$. (2) For any positive integer $n$, there is $F(n)\le \frac{n-1}{2}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove i limiti sul numero minimo di coefficienti divisibili per 3 in (x+1)^s(x+2)^{n-s}

Per gli integri $0\le s\le n$, indicare $f(n,s)$ come numero di coefficienti nell’espansione di $(x+1{)}^s(x+2{)}^{n-s}$ divisibili per $3$. Per esempio, $(x+1{)}^2(x+2{)}^0=x^2+2x+1$, quindi $f(2,2)=2$. Per un intero positivo $n$, definire $F(n)$ come il minimo di $f(n,0),f(n,1),\dots ,f(n,n)$. Prova: (1) Esistono infiniti interi positivi $n$ tali da $F(n)\ge \frac{n-1}{3}$. (2) Per qualsiasi numero intero positivo $n$, c’è $F(n)\le \frac{n-1}{2}$.

src_cn_cmo_2021__Q06