China Southeastern Mathematical Olympiad 2007

Count integers a for which a quadratic has even roots with absolute value less than 1000

How many integers $a$ satisfy the condition: for each $a$, the equation $x^2=ax+a+1$ with respect to $x$ has roots which are even and $|x|<1000$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Conteggi interi a per i quali un quadratico ha radici pari con valore assoluto inferiore a 1000

Quanti integri $a$ soddisfano la condizione: per ogni $a$, l’equazione $x^2=ax+a+1$ rispetto a $x$ ha radici pari e $|x|<1000$?

src_cn_csmo_2007__Q03

Semicircle with points C, D, tangent at B meets CD at P; line PO meets CA and AD; prove OE = OF

As shown in the figure, points $C$ and $D$ are on the semicircle with $O$ as its center and $AB$ as its diameter. The tangent line to the semicircle at point $B$ meets the line $CD$ at point $P$. Line $PO$ intersects $CA$ and $AD$ at point $E$ and $F$ respectively. Prove $OE=OF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Semicircolo con punti C, D, tangente a B incontra CD a P; linea PO incontra CA e AD; prova OE = OF

Come mostrato nella figura, i punti $C$ e $D$ sono sul semicircolo con $O$ come centro e $AB$ come diametro. La linea tangente al semicircolo al punto $B$ incontra la linea $CD$ al punto $P$. La linea $PO$ incrocia rispettivamente $CA$ e $AD$ nei punti $E$ e $F$. Provare $OE=OF$.

src_cn_csmo_2007__Q04

Evaluate a sum of floor values of a minimized expression over k

Suppose $a_n=\min \left\{k+\frac{n+1}{k}\mid k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, find the value of $S_{n^2}=[a_1]+[a_2]+\cdots +[a_{n^2}]$, where $n\ge 2$, and $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $S_{n^2}=4m^2+3m+1$ Fonte: apri libro PDF

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Evaluare la somma dei valori del pavimento di un’espressione minimizzata su k

Supponiamo $a_n=\min \left\{k+\frac{n+1}{k}\mid k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, troviamo il valore di $S_{n^2}=[a_1]+[a_2]+\cdots +[a_{n^2}]$, dove $n\ge 2$, e $[x]$ denota il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

Risposta: $S_{n^2}=4m^2+3m+1$ src_cn_csmo_2007__Q05

Smallest n so any positive-integer sequence summing to 2007 has consecutive terms summing to 30

Find the smallest positive integer $n$ such that any sequence of positive integers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ satisfying ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=2007$ must have several consecutive terms whose sum is $30$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Limminum n quindi ogni sequenza di numeri interi positivi sommata al 2007 ha termini consecutivi sommati a 30

Trovare il numero intero positivo più piccolo $n$ in modo tale che qualsiasi sequenza di numeri interi positivi $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ soddisfa ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=2007$ deve avere diversi termini consecutivi la cui somma è $30$.

src_cn_csmo_2007__Q06

Find all prime triples (a,b,c) with 0<a<b<c<100 and a+1,b+1,c+1 in geometric progression

Find the array $(a,b,c)$ satisfying conditions as follows:

(1) $0<a<b<c<100$, where $a$, $b$, $c$ are all prime numbers.

(2) $a+1$, $b+1$, $c+1$ constitute the geometric progression.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i tripli primi (a,b,c) con 0<a<b<c<100 e a+1,b+1,c+1 in progressione geometrica

Trovare l’archivio $(a,b,c)$ che soddisfa le seguenti condizioni:

(1) $0<a<b<c<100$, dove $a$, $b$, $c$ sono tutti numeri primi.

(2) $a+1$, $b+1$, $c+1$ costituiscono la progressione geometrica.

src_cn_csmo_2007__Q07

Prove cyclic sum of a^k/(a+b) ≥ 3/2 for abc=1 and integer k≥2

Given real numbers $a$, $b$, $c$ such that $abc=1$, prove that for all integers $k⩾2$, $\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a}⩾\frac{3}{2}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la somma ciclica di a^k/(a+b) ≥ 3/2 per abc=1 e per l’intero k≥2

Date i numeri reali $a$, $b$, $c$ tali che $abc=1$, dimostrino che per tutti gli integri $k⩾2$, $\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a}⩾\frac{3}{2}.$

src_cn_csmo_2007__Q08