China Southeastern Mathematical Olympiad 2008

Max subset of {1,…,3n} with no x+y=z

It is given the set $S=\{1,2,3,\cdots ,3n\}$ where $n$ is a positive integer. $T$ is a subset of $S$ such that, for any $x,y,z\in T$ (where $x$, $y$, $z$ can be the same), $x+y\ne z$. Find the maximum value of the number of elements in such set.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2n Fonte: apri libro PDF

Sottoinsieme massimo di {1,…,3n} senza x+y=z

È dato il set $S=\{1,2,3,\cdots ,3n\}$ dove $n$ è un intero positivo. $T$ è un sottoinsieme di $S$ tale che, per qualsiasi $x,y,z\in T$ (dove $x$, $y$, $z$ possono essere uguali), $x+y\ne z$. Trova il valore massimo del numero di elementi in tale insieme.

Risposta: 2n src_cn_csmo_2008__Q01

Find general term of recurrence a_{n+1}=2a_n+n(1+2^n)

It is given the sequence $\{a_n\}$: $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+n\cdot (1+2^n),n=1,2,3,\cdots .$ Find the general term $a_n$.

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Trova termine generale di ricorrenza a_{n+1}=2a_n+n(1+2^n)

È data la sequenza $\{a_n\}$: $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+n\cdot (1+2^n),n=1,2,3,\cdots .$ Trova il termine generale $a_n$.

src_cn_csmo_2008__Q02

Prove O, H, E, M concyclic in triangle with angle bisector construction

In $△ABC$, $BC>AB$, $BD$ bisects $\angle ABC$ and intersects $AC$ at $D$. As shown in the figure, $CP\perp BD$ with $P$ as the foot of perpendicular and $AQ\perp BP$ with $Q$ as the foot of perpendicular. Points $M$ and $E$ are the midpoints of $AC$ and $BC$ respectively. The circumscribed circle $O$ of $△PQM$ intersects $AC$ at the point $H$. Prove that $O$, $H$, $E$, $M$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove conciclica O, H, E, M in triangolo con costruzione bisettore angolare

In $△ABC$, $BC>AB$, $BD$ divide $\angle ABC$ e incrocia $AC$ a $D$. Come mostrato nella figura, $CP\perp BD$ con $P$ come piede perpendicolare e $AQ\perp BP$ con $Q$ come piede perpendicolare. I punti $M$ e $E$ sono rispettivamente i punti intermedi di $AC$ e $BC$. Il cerchio circoscritto $O$ di $△PQM$ interseca $AC$ al punto $H$. Provare che $O$, $H$, $E$, $M$ sono conciclici.

src_cn_csmo_2008__Q03

Count n-digit wave numbers; find f(10) and f(2008) mod 13

Let $a$ be an $n$-digit integer $a_1{a}_2\cdots a_n$ (a natural number) that satisfies the following conditions:

(i) $a_i\in \{1,2,3,4\}$, and $a_i\ne a_{i+1}$, $i=1,2,\dots ,n-1$.

(ii) When $n\ge 3$, the numbers $a_i-a_{i+1}$ and $a_{i+1}-a_{i+2}$ have opposite signs, $i=1,2,\dots ,n-2$.

Let $f(n)$ denote the number of such $n$-digit integers. Find

(1) the value of $f(10)$;

(2) the remainder of $f(2008)$ divided by $13$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $f(10)=8008;f(2008)\equiv 10(\mathrm{mod}13)$ Fonte: apri libro PDF

Contare i numeri di onde a n cifre; trovare f(10) e f(2008) mod 13

$a$ è un numero intero $n$ a 2 cifre $a_1{a}_2\cdots a_n$ (un numero naturale) che soddisfa le seguenti condizioni:

(i) $a_i\in \{1,2,3,4\}$ e $a_i\ne a_{i+1}$, $i=1,2,\dots ,n-1$.

ii) Quando $n\ge 3$, i numeri $a_i-a_{i+1}$ e $a_{i+1}-a_{i+2}$ presentano segni opposti, $i=1,2,\dots ,n-2$.

$f(n)$ indichi il numero di tali integri $n$. Trova

(1) il valore di $f(10)$;

(2) il residuo di $f(2008)$ diviso per $13$.

Risposta: f(10) = 8008; f(2008) \equiv 10 \pmod{13} src_cn_csmo_2008__Q04

Find largest lambda with |lambdaxy+yz| <= sqrt(5)/2 on unit sphere*

Find the largest positive number $\lambda$ such that $|\lambda xy+yz|\le \frac{\sqrt{5}}{2},$ where $x^2+y^2+z^2=1$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

Find largest lambda with |lambdaxy+yz| <= sqrt(5)/2 on unit sphere*

Find the largest positive number $\lambda$ such that $|\lambda xy+yz|\le \frac{\sqrt{5}}{2},$ where $x^2+y^2+z^2=1$.

Risposta: 2 src_cn_csmo_2008__Q05

Prove M, N, D collinear given incircle tangency and midpoint conditions

As shown in the figure, $BC$ and $AC$ are tangent to the inscribed circle $I$ of $△ABC$ at $M$ and $N$ respectively. $E$ and $F$ are the midpoints of $AB$ and $AC$ respectively. $EF$ intersects $BI$ at point $D$. Prove that $M$, $N$, $D$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prova M, N, D collineare data la tangenza del cerchio e le condizioni del punto medio

Come mostrato nella figura, $BC$ e $AC$ sono tangenti al cerchio inscritto $I$ di $△ABC$ rispettivamente a $M$ e $N$. $E$ e $F$ sono rispettivamente i punti intermedi di $AB$ e $AC$. $EF$ si interseca con $BI$ al punto $D$. Provare che $M$, $N$, $D$ sono collineari.

src_cn_csmo_2008__Q06

Captain Jack’s winning strategy in gold-box selection game

Captain Jack and his pirates robbed 6 boxes of gold coins $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$. There are $a_i$ coins in box $A_i$ ($i=1,2,3,4,5,6$) and $a_i\ne a_j$ ($i\ne j$). They laid the boxes as shown in the figure. Captain Jack would take turns with a nominated pirate to choose a box. The rule was: Each person could only choose a box which was adjacent to at most one box. If Captain Jack got more gold coins than the pirates, the Captain won the game. If Captain Jack went first, what should be his strategy to win the game?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

La strategia vincente del capitano Jack nel gioco di selezione della scatola d’oro

Il capitano Jack e i suoi pirati hanno derubato 6 scatole di monete d’oro. Nella casella $A_i$ ($i=1,2,3,4,5,6$) e $a_i\ne a_j$ ($i\ne j$) ci sono monete $a_i$. Hanno posto le scatole come mostrato nella figura. Il capitano Jack si alternerebbe con un pirata nominato per scegliere una scatola. La regola era: ogni persona poteva scegliere solo una scatola adiacente ad un massimo di scatola. Se il capitano Jack avesse più monete d’oro dei pirati, il capitano avrebbe vinto. Se il capitano Jack fu il primo, quale dovrebbe essere la sua strategia per vincere la partita?

src_cn_csmo_2008__Q07