China Southeastern Mathematical Olympiad 2009

Find integer solutions of a quadratic Diophantine equation

Find the integer solutions of the equation $x^2-2xy+126y^2=2009$. (Posed by Zhang Pengcheng)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Trova le soluzioni integrali di un’equazione diofantina quadrata

Trovare le soluzioni interi dell’equazione $x^2-2xy+126y^2=2009$. (Posato da Zhang Pengcheng)

src_cn_csmo_2009__Q01

Prove inequality involving square roots of expressions in positive reals

Let $x$, $y$, $z$ be positive numbers, and $\sqrt{a}=x(y-z{)}^2$, $\sqrt{b}=y(z-x{)}^2$, $\sqrt{c}=z(x-y{)}^2$. Prove that $a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+c^{\frac{1}{2}}\ge 2(ab+bc+ca)$. (Posed by Tang Lihua)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove le disuguaglianze che coinvolgono radici quadrate di espressioni nei reali positivi

Se $x$, $y$, $z$ sono numeri positivi, e $\sqrt{a}=x(y-z{)}^2$, $\sqrt{b}=y(z-x{)}^2$, $\sqrt{c}=z(x-y{)}^2$. Prove che $a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+c^{\frac{1}{2}}\ge 2(ab+bc+ca)$. (Posato da Tang Lihua)

src_cn_csmo_2009__Q03

Minimum triangles covering all chords among 12 red circle points

There are given 12 red points on a circle. Find the minimum of $n$, such that there exist $n$ triangles, whose vertices are red points, satisfying every chord with red endpoints being a side of one triangle. (Posed by Tao Pingsheng)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 11 Fonte: apri libro PDF

Triangoli minimi che coprono tutti gli accordi tra i 12 punti del cerchio rosso

Ci sono 12 punti rossi su un cerchio. Trovare il minimo di $n$, in modo che esistano triangoli $n$, le cui vertici sono punti rossi, che soddisfano ogni corda con punti terminali rossi che sono un lato di un triangolo. (Posato da Tao Pingsheng)

Risposta: 11 src_cn_csmo_2009__Q04

Number of distinct values of weighted sum over all permutations of 1 to n

Set the permutation $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ of $1,2,\dots ,n$ in $A$. For $\forall X\in A$, let $f(X)={\sum }_{k=1}^{n}k{x}_k$. Let $M=\{f(X)\mid X\in A\}$. Find the value of $|M|$. (Posed by Xiong Bin)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{n(n^2-1)}{6}+1$ Fonte: apri libro PDF

Numero di valori distinti della somma ponderata su tutte le permutazioni da 1 a n

Impostare la permutazione $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ di $1,2,\dots ,n$ in $A$. Per $\forall X\in A$, si lascia $f(X)={\sum }_{k=1}^{n}k{x}_k$. Let $M=\{f(X)\mid X\in A\}$. Trova il valore di $|M|$. (Posato da Xiong Bin)

Risposta: \frac{n(n^2-1)}{6}+1 src_cn_csmo_2009__Q05

Construct triangle DEF sharing circumcenter and incenter with triangle ABC

Let $O$, $I$ be the circumcenter and incenter of $△ABC$. Prove that for an arbitrary point $D$ on the circle $O$, one can construct a triangle $DEF$, such that $O$, $I$ are the circumcenter and incenter of $△DEF$. (Posed by Tao Pingsheng)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Costruire un triangolo DEF che condivide il circoncentro e l’incentro con un triangolo ABC

Che $O$, $I$ siano il centro circostante e l’incentro di $△ABC$. Prova che per un punto arbitrario $D$ sul cerchio $O$, si può costruire un triangolo $DEF$, in modo che $O$, $I$ siano il circondario e l’incentro di $△DEF$. (Posato da Tao Pingsheng)

src_cn_csmo_2009__Q06

Find max and min of a rational function on the unit simplex

Let $f(x,y,z)=\frac{x(2x-y)}{1+x+3y}+\frac{y(2y-z)}{1-y+3z}+\frac{z(2z-x)}{1+z+3x}$, where $x,y,z\ge 0$ and $x+y+z=1$. Find the maximum value and the minimum value of $f(x,y,z)$. (Posed by Liu Shenglong)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $f_{\min }=0,f_{\max }=\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo e il minimo di una funzione razionale sull’unità simplex

Let $f(x,y,z)=\frac{x(2x-y)}{1+x+3y}+\frac{y(2y-z)}{1-y+3z}+\frac{z(2z-x)}{1+z+3x}$, dove $x,y,z\ge 0$ e $x+y+z=1$. Trova il valore massimo e il valore minimo di $f(x,y,z)$. (Posato da Liu Shenglong)

Risposta: f_{\min}=0,; f_{\max}=\frac{1}{2} src_cn_csmo_2009__Q07

Minimum grids removed from 8x8 paper to block all T-pentominoes

On a piece of $8\times 8$ graph paper, at least how many grids should be taken off, and we cannot cut out a ‘T’ which has five grids as shown in Fig. 1? (Posed by Sun Wen-Hsien)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 14 Fonte: apri libro PDF

Minimum di griglie rimosse da carta 8x8 per bloccare tutti i T-pentominoes

Su un pezzo di carta grafica $8\times 8$, almeno quante griglie devono essere tolte, e non possiamo tagliare una “T” che ha cinque griglie come mostrato nella figura. 1? (Posato da Sun Wen-Hsien)

Risposta: 14 src_cn_csmo_2009__Q08