China Southeastern Mathematical Olympiad 2010

Quadratic with digit coefficients has rational root, so three-digit number is composite

Let $a$, $b$, $c\in \{0,1,2,\dots ,9\}$. The quadratic equation $a{x}^2+bx+c=0$ has a rational root. Prove that the three-digit number $\overline{abc}$ is not a prime number.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Quadratico con coefficienti digitali ha radice razionale, quindi il numero a tre cifre è composto

In questo caso, si deve indicare il valore di $a$, $b$, $c\in \{0,1,2,\dots ,9\}$. L’equazione quadrata $a{x}^2+bx+c=0$ ha una radice razionale. Prova che il numero a tre cifre $\overline{abc}$ non è un numero primo.

src_cn_csmo_2010__Q01

Sum of products of all 99-element subsets of {1,…,2010} is divisible by 2011

For each 99-element subset $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{99}\}$ of $\{1,2,\dots ,2010\}$, denote $P(A)=a_1\cdot a_2\cdots a_{99}$. Let $A_1,A_2,\dots ,A_n$ be all 99-element subsets of $\{1,2,\dots ,2010\}$, $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2010}{99}\right)$. Prove that $2011\mid {\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

La somma dei prodotti di tutti i sottoinsiemi di 99 elementi di {1,…,2010} è divisibile per 2011

Per ogni sottoinsieme di 99 elementi $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{99}\}$ di $\{1,2,\dots ,2010\}$, indicare $P(A)=a_1\cdot a_2\cdots a_{99}$. $A_1,A_2,\dots ,A_n$ siano tutti i sottoinsiemi di 99 elementi di $\{1,2,\dots ,2010\}$, $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2010}{99}\right)$. Prove che $2011\mid {\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$.

src_cn_csmo_2010__Q02

Inscribed circle intersects cevians; prove ratio of products equals 3

As shown in Fig. 3.1. Let the inscribed circle $I$ of $△ABC$ touch $BC$ and $AB$ at $D$ and $F$, respectively. Let $I$ intersect the segments $AD$ and $CF$ at $H$ and $K$, respectively. Prove that $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo inciso interseca i ceviani; rapporto di prova dei prodotti è uguale a 3

Come mostrato nella figura. 3.1. Il cerchio $I$ di $△ABC$ deve toccare $BC$ e $AB$ rispettivamente a $D$ e $F$. Il segmento $AD$ e il segmento $CF$ devono essere incrociati rispettivamente a $H$ e $K$. Provare che $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3.$

src_cn_csmo_2010__Q03

Count good pairs (a,b) with 1<=a<=b<=10 and ab | a^k - b^k for some k

Let $a$ and $b$ be positive integers such that $1\le a\le b\le 10$. If there exists a positive integer $k$ such that $ab\mid (a^k-b^k)$, then we say that the pair $(a,b)$ is good. Determine the number of good pairs.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

*Contare buone coppie (a, b) con 1 <=a <=b <=10 e ab , a^k - b^k per qualche k *

$a$ e $b$ siano integri positivi come $1\le a\le b\le 10$. Se esiste un intero positivo $k$ tale che $ab\mid (a^k-b^k)$, allora diciamo che la coppia $(a,b)$ è buona. Determina il numero di buone coppie.

src_cn_csmo_2010__Q04

Right triangle with midpoint of two interior points; prove harmonic-mean inequality for ratios

As shown in Fig. 5.1. Let $C$ be the right angle of $△ABC$. Let $M_1$ and $M_2$ be two arbitrary points inside $△ABC$, and let $M$ be the midpoint of $M_1{M}_2$. The extensions of $B{M}_1$, $B{M}_2$, and $BM$ intersect $AC$ at $N_1$, $N_2$, and $N$, respectively. Prove that $\frac{M_1{N}_1}{B{M}_1}+\frac{M_2{N}_2}{B{M}_2}\ge \frac{MN}{BM}.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

*Triangolo retto con punto medio di due punti interiori; dimostrare la disuguaglianza di media armonica per i rapporti *

Come mostrato nella figura. 5.1. Il $C$ deve essere l’angolo retto di $△ABC$. Che $M_1$ e $M_2$ siano due punti arbitrari all’interno di $△ABC$, e che $M$ sia il punto medio di $M_1{M}_2$. Le estensioni di $B{M}_1$, $B{M}_2$ e $BM$ si incrociano rispettivamente a $N_1$, $N_2$ e $N$. Provare che $\frac{M_1{N}_1}{B{M}_1}+\frac{M_2{N}_2}{B{M}_2}\ge \frac{MN}{BM}.$

src_cn_csmo_2010__Q05

Prove recursive formula for sequence defined by unit-fraction constraint

Let ${\mathbf{N}}^{\ast }$ be the set of positive integers. Define $a_1=2$, and for $n=1,2,\dots ,$ $a_{n+1}=\min \left\{\lambda |\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\frac{1}{\lambda }<1,\lambda \in {\mathbf{N}}^{\ast }\right\}.$ Prove that $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ for $n=1,2,\dots .$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la formula ricorsiva per la sequenza definita con il vincolo frazione unitaria

Che ${\mathbf{N}}^{\ast }$ sia l’insieme di integri positivi. Definire $a_1=2$ e per $n=1,2,\dots ,$ $a_{n+1}=\min \left\{\lambda |\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\frac{1}{\lambda }<1,\lambda \in {\mathbf{N}}^{\ast }\right\}.$ Prove che $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ per $n=1,2,\dots .$

src_cn_csmo_2010__Q06

Double sum with min of sorted sequences is non-negative

Let $n$ be a positive integer. The real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ and $r_1,r_2,\dots ,r_n$ are such that $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ and $0\le r_1\le r_2\le \cdots \le r_n$. Prove that ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_i{a}_j\min (r_i,r_j)\ge 0.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Telescoping, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Doppia somma con min delle sequenze ordinate non è negativa

$n$ sia un numero intero positivo. I numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ e $r_1,r_2,\dots ,r_n$ sono tali che $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ e $0\le r_1\le r_2\le \cdots \le r_n$. Provare che ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_i{a}_j\min (r_i,r_j)\ge 0.$

src_cn_csmo_2010__Q07

Find minimum n so that n triangles on 8 circle points share a side

Given eight points $A_1,A_2,\dots ,A_8$ on a circle, determine the smallest positive integer $n$ such that among any $n$ triangles with vertices in these eight points, there are two which have a common side.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

Trova n minimo in modo che n triangoli su 8 punti circolari condividano un lato

Dati otto punti $A_1,A_2,\dots ,A_8$ su un cerchio, determinare il numero intero positivo più piccolo $n$ in modo tale che tra tutti i triangoli $n$ con vertici in questi otto punti, ci sono due che hanno un lato comune.

Risposta: 9 src_cn_csmo_2010__Q08