China Southeastern Mathematical Olympiad 2011

Find range of b and value of a given a minimum of a rational function equals 3

If $\underset{x\in \mathbf{R}}{\min }\frac{a{x}^2+b}{\sqrt{x^2+1}}=3$, find

(1) the range of $b$;

(2) the value of $a$ for given $b$. (posed by Lu Xingjiang)

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca l’intervallo di b e il valore di un dato minimo di una funzione razionale pari a 3

Se $\underset{x\in \mathbf{R}}{\min }\frac{a{x}^2+b}{\sqrt{x^2+1}}=3$, trovare

(1) l’intervallo di $b$;

(2) il valore di $a$ per un dato $b$. (Posizionato da Lu Xingjiang)

src_cn_csmo_2011__Q01

Find all coprime positive integers with mutual cubic-sum divisibility

Let $a$, $b$ and $c$ be coprime positive integers so that $a^2\mid (b^3+c^3)$, $b^2\mid (a^3+c^3)$ and $c^2\mid (a^3+b^3)$. Find the values of $a$, $b$ and $c$. (posed by Yang Xiaoming)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i numeri interi positivi copriemi con divisibilità reciproca di somma cubica

$a$, $b$ e $c$ siano integri positivi copriemi in modo che $a^2\mid (b^3+c^3)$, $b^2\mid (a^3+c^3)$ e $c^2\mid (a^3+b^3)$ siano. Trova i valori di $a$, $b$ e $c$. (postato da Yang Xiaoming)

Risposta: $(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$ src_cn_csmo_2011__Q02

Find all n so every 35-element subset of {1,…,50} contains a,b with a+b=n or a-b=n

Let set $M=\{1,2,3,\dots ,50\}$. Find all positive integers $n$ such that there are at least two different elements $a$ and $b$ in any subset with 35 elements of $M$, such that $a+b=n$ or $a-b=n$. (posed by Li Shenghong)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le n in modo che ogni sottoinsieme di 35 elementi di {1,…,50} contenga a,b con a+b=n o a-b=n

Indicare $M=\{1,2,3,\dots ,50\}$. Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo che ci siano almeno due elementi diversi $a$ e $b$ in qualsiasi sottoinsieme con 35 elementi di $M$, come $a+b=n$ o $a-b=n$. (Posizionato da Li Shenghong)

src_cn_csmo_2011__Q03

Line meets circumcircle triangle sides at M, N; E, F midpoints of BN, CM; prove angle EOF = angle A

Suppose that a line passing through the circumcircle $O$ of $△ABC$ intersects $AB$ and $AC$ at points $M$ and $N$, respectively, and $E$ and $F$ are the midpoints of $BN$ and $CM$, respectively. Prove that $\angle EOF=\angle A$. (posed by Tao Pingheng)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

La linea incontra i lati del triangolo circoncircolare ai punti intermedi di BN, CM, E, F; prova angolo EOF = angolo A

Supponiamo che una linea che attraversa il circoncircolo $O$ di $△ABC$ incroci $AB$ e $AC$ rispettivamente nei punti $M$ e $N$, e $E$ e $F$ siano i punti di mezzo di $BN$ e $CM$, rispettivamente. Prova che $\angle EOF=\angle A$. (Posizionato da Tao Pingheng)

src_cn_csmo_2011__Q04

Angle bisectors of triangle define three collinear intersection points via Ceva/Menelaus

Let $A{A}_1$, $B{B}_1$, and $C{C}_1$ be angular bisectors of $△ABC$. Let $A_2\in B{B}_1$ and $A_3\in C{C}_1$, where $A_2$ and $A_3$ lie on $AC$ and $AB$ respectively, and let line $A_2{A}_3$ intersect $BC$ at $A_3^{\prime }$. Points $B_3^{\prime }$ and $C_3^{\prime }$ are obtained similarly. Prove that points $A_3^{\prime }$, $B_3^{\prime }$, $C_3^{\prime }$ are collinear. (posed by Tao Pingsheng)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

I bisettori angolari del triangolo definiscono tre punti di intersezione collineari tramite Ceva/Menelaus

I bisetti angolari di $△ABC$ siano $A{A}_1$, $B{B}_1$ e $C{C}_1$. Lasciate che $A_2\in B{B}_1$ e $A_3\in C{C}_1$, dove $A_2$ e $A_3$ si trovano rispettivamente su $AC$ e $AB$, e lasciate che la linea $A_2{A}_3$ si intersechi $BC$ a $A_3^{\prime }$. I punti $B_3^{\prime }$ e $C_3^{\prime }$ sono ottenuti in modo simile. Provare che i punti $A_3^{\prime }$, $B_3^{\prime }$, $C_3^{\prime }$ sono collineari. (posta da Tao Pingsheng)

src_cn_csmo_2011__Q05

Prove sum of distances from n points to any point on segment AB does not exceed max of sums to endpoints

Given $n$ points $P_1,P_2,\dots ,P_n$ on a plane, let $M$ be any point on segment $AB$ on the plane. Denote by $|P_{i}M|$ the distance between $P_i$ and $M$, $i=1,2,3,\dots ,n$. Prove that ${\sum }_{i=1}^n|P_{i}M|\le \max \left\{{\sum }_{i=1}^n|P_{i}A|,{\sum }_{i=1}^n|P_{i}B|\right\}.$ (posed by Jin Mengwei)

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prova la somma delle distanze da n punti a qualsiasi punto del segmento AB non supera il massimo delle somme fino ai punti terminali

Dato che i punti $n$ $P_1,P_2,\dots ,P_n$ su un piano, $M$ deve essere qualsiasi punto sul segmento $AB$ sul piano. Indicare con $|P_{i}M|$ la distanza tra $P_i$ e $M$, $i=1,2,3,\dots ,n$. Prove che ${\sum }_{i=1}^n|P_{i}M|\le \max \left\{{\sum }_{i=1}^n|P_{i}A|,{\sum }_{i=1}^n|P_{i}B|\right\}.$ (posato da Jin Mengwei)

src_cn_csmo_2011__Q06

Sequence defined by recurrence; prove a_n + 2a_{n+2} is always a perfect square

Suppose that the sequence $\{a_n\}$ is defined by $a_1=a_2=1$, $a_n=7a_{n-1}-a_{n-2}+n$ for $n\ge 3$. Prove that $a_n+2a_{n+2}$ is a perfect square for any positive integer $n$. (posed by Tao Pingsheng)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza definita da ricorrenza; dimostrare a_n + 2a_{n+2} è sempre un quadrato perfetto

Supponiamo che la sequenza $\{a_n\}$ sia definita da $a_1=a_2=1$, $a_n=7a_{n-1}-a_{n-2}+n$ per $n\ge 3$. Prova che $a_n+2a_{n+2}$ è un quadrato perfetto per qualsiasi intero positivo $n$. (posta da Tao Pingsheng)

src_cn_csmo_2011__Q07

Color 12 clock-face points in 4 colors; find largest n convex quadrilaterals with no shared color among any three

Consider 12 figures on the clock face as 12 points. Color them in four colors, red, yellow, blue and green. Each color is used for three points. Configure convex quadrilaterals with vertices in these points such that each quadrilateral has one vertex of each color. Find the largest number $n$ of such quadrilaterals such that among any three of these quadrilaterals there is no vertex of the same color at the same position. (posed by Tao Pingsheng)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Conteggio, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

Colore 12 punti di faccia dell’orologio in 4 colori; trovare i più grandi n quadrilaterali convexi senza colore condiviso tra i tre

Considerate 12 cifre sulla faccia dell’orologio come 12 punti. Colorateli in quattro colori: rosso, giallo, blu e verde. Ogni colore è usato per tre punti. Configurare i quadrilaterali convexi con vertici in questi punti in modo che ogni quadrilaterale abbia un vertice di ogni colore. Trova il numero più grande $n$ di tali quadrilaterali in modo tale che tra tutti e tre di questi quadrilaterali non ci sia vertice dello stesso colore nella stessa posizione. (posta da Tao Pingsheng)

Risposta: 9 src_cn_csmo_2011__Q08