China Southeastern Mathematical Olympiad 2012

Find triple (l,m,n) with partial sums forming geometric sequence

Find a triple $(l,m,n)$ $(1<l<m<n)$ of positive integers such that ${\sum }_{k=1}^{l}k$, ${\sum }_{k=l+1}^{m}k$, ${\sum }_{k=m+1}^{n}k$ form a geometric sequence in order. (posed by Tao Pingsheng)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca il triplo (l,m,n) con somme parziali che formano una sequenza geometrica

Trovare un triplo $(l,m,n)$ $(1<l<m<n)$ di numeri interi positivi in modo che ${\sum }_{k=1}^{l}k$, ${\sum }_{k=l+1}^{m}k$, ${\sum }_{k=m+1}^{n}k$ formino una sequenza geometrica in ordine. (posta da Tao Pingsheng)

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Incircle chord intersections: prove product equality DM·KE = DN·KF

Let $\odot I$ be the incircle of $△ABC$. The circle $\odot I$ intersects sides $AB$, $BC$ and $CA$ at points $D$, $E$ and $F$, respectively. Line $EF$ intersects lines $AB$, $BI$ and $DI$ at points $M$, $N$ and $K$ respectively. Prove that $DM\cdot KE=DN\cdot KF$. (posed by Zhang Pengcheng)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Intersezioni di accordi in cerchio: prova l’eguaglianza del prodotto DM·KE = DN·KF

$\odot I$ sia l’incircolo di $△ABC$. Il cerchio $\odot I$ incrocia i lati $AB$, $BC$ e $CA$ rispettivamente nei punti $D$, $E$ e $F$. La linea $EF$ incrocia le linee $AB$, $BI$ e $DI$ rispettivamente ai punti $M$, $N$ e $K$. Prova che $DM\cdot KE=DN\cdot KF$. (Posizionato da Zhang Pengcheng)

src_cn_csmo_2012__Q02

Find all composite n where largest two divisors equal a power of smallest three

For positive composite number $n$, denote by $f(n)$ and $g(n)$ the smallest three positive divisors of $n$ and the largest two positive divisors of $n$, respectively. Find all $n$ such that $g(n)$ equals $f(n)$ to some power of positive integers. (posed by He Yijie)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $n=4\times 6^l$ for $l\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i composti n dove i due più grandi divisori sono uguali a una potenza dei tre più piccoli

Per il numero composto positivo $n$, indicare rispettivamente con $f(n)$ e $g(n)$ i tre divisori positivi più piccoli di $n$ e i due divisori positivi più grandi di $n$. Trova tutti $n$ in modo tale che $g(n)$ sia uguale a $f(n)$ a qualche potenza di numeri interi positivi. (Possibile da He Yijie)

Risposta: $n=4\times 6^l$ for $l\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ src_cn_csmo_2012__Q03

Maximize a+b-c+d for real numbers with cosine inequality constraint

Let real numbers $a$, $b$, $c$ and $d$ satisfy $f(x)=a\cos x+b\cos 2x+c\cos 3x+d\cos 4x\le 1$ for any real number $x$. Find the values of $a$, $b$, $c$ and $d$ such that $a+b-c+d$ takes the maximum number. (posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 3 Fonte: apri libro PDF

Maximizzare a+b-c+d per i numeri reali con cosine inconveniente di disuguaglianza

Lasciate che i numeri reali $a$, $b$, $c$ e $d$ soddisfino $f(x)=a\cos x+b\cos 2x+c\cos 3x+d\cos 4x\le 1$ per qualsiasi numero reale $x$. Trova i valori di $a$, $b$, $c$ e $d$ in modo tale che $a+b-c+d$ abbia il numero massimo. (Posizionato da Li Shenghong)

Risposta: 3 src_cn_csmo_2012__Q04

Count six-match numbers (multiple of 6 with digit sum multiple of 6) less than 2012

A non-negative number $m$ is called a six match number. If $m$ and the sum of its digits are both multiples of $6$, find the number of the six match numbers less than $2012$. (posed by Tao Pingsheng)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 108 Fonte: apri libro PDF

Contare i numeri a sei corrispondenze (multiplicato di 6 con somma digitali multiple di 6) inferiori a 2012

Un numero non negativo $m$ è chiamato six match number. Se $m$ e la somma delle sue cifre sono entrambi multipli di $6$, trovare il numero dei sei numeri corrispondenti inferiore a $2012$. (posta da Tao Pingsheng)

Risposta: 108 src_cn_csmo_2012__Q05

Find minimum positive integer n satisfying a nested radical inequality

Find the minimum positive integer $n$ such that $\sqrt{\frac{n-2011}{n+2012}}<\sqrt{\frac{n-2012}{n+2013}}$ (posed by Liu Guimei)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4023 Fonte: apri libro PDF

Ricerca un numero intero positivo minimo n che soddisfi una disuguaglianza radicale annidata

Trova il numero intero positivo minimo $n$ tale da $\sqrt{\frac{n-2011}{n+2012}}<\sqrt{\frac{n-2012}{n+2013}}$ (posato da Liu Guimei)

Risposta: 4023 src_cn_csmo_2012__Q06

In triangle with angle bisector and perpendicular foot, find angle AME

In $△ABC$ with $AB=1$, let $D$ be a point on $AC$ such that $\angle ABD=\angle C$ and let $E$ be a point on $AB$ such that $BE\perp DE$. Let $H$ be a point on $DE$ such that $AH\perp DE$ and $M$ be the midpoint of $CD$. Find the value of $\angle AME$. (posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $90^{\circ }$ Fonte: apri libro PDF

Nel triangolo con angolo bisettore e piede perpendicolare, trovare angolo AME

In $△ABC$ con $AB=1$, $D$ deve essere un punto su $AC$ tale che $\angle ABD=\angle C$ e $E$ deve essere un punto su $AB$ tale che $BE\perp DE$. Il $H$ deve essere un punto su $DE$ tale che $AH\perp DE$ e $M$ siano il punto medio di $CD$. Trova il valore di $\angle AME$. (Posizionato da Xiong Bin)

Risposta: $90^{\circ }$ src_cn_csmo_2012__Q07