China Southeastern Mathematical Olympiad 2013

Minimize a rational expression in a,b given a cubic with only real roots.

Let $a$, $b$ be real numbers such that the equation $x^3-a{x}^2+bx-a=0$ has only real roots. Find the minimum of $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Minimizzare un’espressione razionale in a,b data un cubo con solo radici reali.

Lasciate che $a$, $b$ siano numeri reali in modo tale che l’equazione $x^3-a{x}^2+bx-a=0$ abbia solo radici reali. Trova il minimo di $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$.

src_cn_csmo_2013__Q01

Incircle and tangent line configuration; prove an angle equality.

Let $\odot I$ be the incircle of $△ABC$ with $AB>AC$. $\odot I$ tangent to $BC$ and $AD$ at $D$ and $E$, respectively. The tangent line $EP$ of $\odot I$ intersects the extended line of $BC$ at $P$. Segment $CF$ is parallel to $PE$ and intersects $AD$ at point $F$. Line $BF$ intersects $\odot I$ at points $M$ and $N$ such that $M$ is on segment $BF$. Segment $PM$ intersects $\odot I$ at the other point $Q$. Prove that $\angle ENP=\angle ENQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Configurazione della linea incircolare e tangente; dimostrare un’eguaglianza d’angolo.

$\odot I$ sia l’incircolo di $△ABC$ con $AB>AC$. $\odot I$ tangente a $BC$ e $AD$ rispettivamente a $D$ e $E$. La linea tangente $EP$ di $\odot I$ interseca la linea estesa di $BC$ a $P$. Il segmento $CF$ è parallelo a $PE$ e si interseca con $AD$ al punto $F$. La linea $BF$ interseca $\odot I$ nei punti $M$ e $N$ in modo tale che $M$ sia sul segmento $BF$. Il segmento $PM$ interseca $\odot I$ all’altro punto $Q$. Provare che $\angle ENP=\angle ENQ$.

src_cn_csmo_2013__Q02

Recursive sequence; prove sum of squares of adjacent terms is in the sequence.

Let the sequence $\{a_n\}$ be defined by $a_1=1$, $a_2=2$, $a_{n+1}=\frac{a_n^2+(-1{)}^n}{a_{n-1}}$ $(n=2,3,\dots )$. Prove that the sum of squares of any two adjacent terms of the sequence is also in the sequence.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Sequenza ricursiva; prova che la somma dei quadrati di termini adiacenti è nella sequenza.

La sequenza $\{a_n\}$ deve essere definita da $a_1=1$, $a_2=2$, $a_{n+1}=\frac{a_n^2+(-1{)}^n}{a_{n-1}}$ $(n=2,3,\dots )$. Prova che la somma dei quadrati di due termini adiacenti della sequenza è anche nella sequenza.

src_cn_csmo_2013__Q03

Counting distinct ‘towers’ formed by 12 acrobats in two circles with a label-sum condition.

Suppose that 12 acrobats labeled $1$-$12$ divided into two circles $A$ and $B$, with six persons in each. Let each acrobat in $B$ stand on the shoulders of two adjacent acrobats of $A$. We call it a tower if the label of each acrobat of $B$ is equal to the sum of the labels of the acrobats under his feet. How many different towers can they make? (Remark. We treat two towers as the same if one can be obtained by rotation or reflection of the other.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri libro PDF

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Contando le “torre” distinte formate da 12 acrobati in due cerchi con condizione di etichetta-somma.

Supponiamo che 12 acrobati etichettati $1$-$12$ siano divisi in due cerchi $A$ e $B$, con sei persone in ciascuno. Ogni acrobata di $B$ deve stare sulle spalle di due acrobati adiacenti di $A$. Lo chiamiamo una torre se l’etichetta di ogni acrobata di $B$ è uguale alla somma delle etichette degli acrobati sotto i suoi piedi. Quante torri possono costruire? (Ricorda. Trattiamo due torri come uguali se una può essere ottenuta per rotazione o riflessione dell’altra.)

Risposta: 6 src_cn_csmo_2013__Q04

Count good numbers n where f(x)=n has a real solution

Let $f(x)=\left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\cdots +\left[\frac{x}{2013!}\right]$, where $[x]$ is the greatest integer no greater than $x$. Call an integer $n$ a good number if the equation $f(x)=n$ has a real solution $x$. Find the number of good numbers in the set $\{1,3,5,\dots ,2013\}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 587 Fonte: apri libro PDF

Conta i numeri buoni n dove f(x)=n ha una soluzione reale

Let $f(x)=\left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\cdots +\left[\frac{x}{2013!}\right]$, dove $[x]$ è il numero intero più grande non superiore a $x$. Chiamare un numero intero $n$ un buono numero se l’equazione $f(x)=n$ ha una soluzione reale $x$. Trova il numero dei numeri buoni nell’insieme $\{1,3,5,\dots ,2013\}$.

Risposta: 587 src_cn_csmo_2013__Q05

Max horns on 10x10 board so any k still allows one more

Cut off a corner of $2\times 2$ unit squares from a $3\times 3$ unit square; the remaining figure is called a horn (Fig. 7.1 is a horn). Now, put some horns without overlapping on a board of $10\times 10$ unit squares (Fig. 7.2) such that the boundaries of the horn coincide with the grid of the board. Find the maximum of $k$ such that whatever the $k$ horns put on the board, one can always put another horn on the board.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri libro PDF

Max corni su tavola 10x10 così ogni k permette ancora un altro

Tagliare un angolo di $2\times 2$ quadrati di unità da un quadrato di unità $3\times 3$; la figura rimanente è chiamata un corno ** (Fig. 7.1 è un corno). Ora, mettete alcuni corni senza sovrapposizioni su una tavola di $10\times 10$ quadrati unitari (Fig. 7.2) in modo tale che i confini del corno coincidano con la griglia della lavagna. Trovare il massimo di $k$ in modo che, qualunque sia il corno $k$ messo sulla lavagna, si possa sempre mettere un altro corno sulla lavagna.

Risposta: 7 src_cn_csmo_2013__Q07

Grasshopper jumping between adjacent points on a line; parity of number of ways in 2012 steps.

Let $m$ be a positive integer, $n=2^m-1$, and $P_n=\{1,2,\dots ,n\}$ be the set of $n$ points on a number axis. A grasshopper jumps between adjacent points on $P_n$. Find the maximal number of $m$ such that for any $x,y\in P_n$, the number of ways that a grasshopper jumping from $x$ to $y$ by $2012$ steps is even (passing $x$ or $y$ on the way is permitted).

Topic: Combinatoria Metodo: Induzione, Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: m = 10 Fonte: apri libro PDF

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Grasshopper saltando tra punti adiacenti su una linea; parità del numero di vie nei passaggi del 2012.

Che $m$ sia un intero positivo, $n=2^m-1$, e $P_n=\{1,2,\dots ,n\}$ sia l’insieme dei punti $n$ su un asse numerico. Un agaro salta tra i punti adiacenti su $P_n$. Trovare il numero massimo di $m$ in modo tale che per qualsiasi $x,y\in P_n$, il numero di modi in cui un salto da $x$ a $y$ da $2012$ passi è pari (passando $x$ o $y$ in viaggio è consentito).

Risposta: m = 10 src_cn_csmo_2013__Q08