China Southeastern Mathematical Olympiad 2020

Permutation of 1..17 with cyclic product equal to 2^t, find max t

Let $a_1,a_2,\dots ,a_{17}$ be a permutation of $1,2,\dots ,17$, satisfying that $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\cdots (a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=2^t$. Find the maximum value of the integer $t$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 38 Fonte: apri libro PDF

Permutazione di 1,17 con prodotto ciclico uguale a 2^t, ritrovare massimo t

Che $a_1,a_2,\dots ,a_{17}$ sia una permutazione di $1,2,\dots ,17$, soddisfacendo tale $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\cdots (a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=2^t$. Trova il valore massimo del numero intero $t$.

Risposta: 38 src_cn_csmo_2020__Q01

Isosceles triangle, circumcircle, incenter, midpoint of arc; prove collinearity M,B,T

As illustrated in Fig. 2.1, in $△ABC$, $AB=AC$, $PB$, $PC$ are tangent to the circumcircle $O$ of $△ABC$. Let $R$ be a point on $\widehat{AC}$ with $AR\parallel BC$, and $Q$ be the other intersection of $PR$ and circle $O$. Let $I$ be the incenter of $△ABC$, $ID\perp BC$ with foot $D$, and $G$ be the other intersection of $QD$ and circle $O$. Suppose that the line through $I$ and perpendicular to $AI$ intersects the lines $AG$, $AC$ at the points $M$, $N$, respectively. Let $S$ be the midpoint of $\widehat{AR}$, $T$ be the other intersection of the line $SN$ and circle $O$. Prove that $M$, $B$, $T$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Triangolo isosceles, circoncircolo, incentro, punto medio dell’arco; prova collinearità M,B,T

Come illustrato in Fig. 2.1, in $△ABC$, $AB=AC$, $PB$, $PC$ sono tangenti al circoncircolo $O$ di $△ABC$. $R$ sia un punto su $\widehat{AC}$ con $AR\parallel BC$, e $Q$ sia l’altra intersezione di $PR$ e di $O$. Che $I$ sia l’incentro di $△ABC$, $ID\perp BC$ con piede $D$ e $G$ sia l’altra intersezione di $QD$ e di cerchio $O$. Supponiamo che la linea attraverso $I$ e perpendicolare a $AI$ incroci le linee $AG$, $AC$ rispettivamente nei punti $M$ e $N$. $S$ sia il punto medio di $\widehat{AR}$, $T$ sia l’altra intersezione della linea $SN$ e del cerchio $O$. Provare che $M$, $B$, $T$ sono collineari.

src_cn_csmo_2020__Q02

Polynomial with coefficients in {-1,0,1}, max number of positive integer roots

Let $f(x)=x^{2020}+{\sum }_{k=0}^{2019}{c}_k{x}^k$, $c_k\in \{-1,0,1\}$ be a polynomial, and $N$ be the number of positive integer roots of $f(x)$ (counted with their multiplicities). Given that $f(x)$ has no negative integer roots, find the maximum value of $N$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10 Fonte: apri libro PDF

Polinomio con coefficienti in {-1,0,1}, numero massimo di radici interi positive

Che $f(x)=x^{2020}+{\sum }_{k=0}^{2019}{c}_k{x}^k$, $c_k\in \{-1,0,1\}$ siano polinomi e $N$ il numero di radici interi positive di $f(x)$ (conteggiate con le loro moltiplicità). Dato che $f(x)$ non ha radici interi negative, trovare il valore massimo di $N$.

Risposta: 10 src_cn_csmo_2020__Q03

Inkjet printer on 1×n strip with random adjacent blackening, find expected prints T(n)

An inkjet printer is used to print on a paper strip with $1\times n$ grids. When the nozzle prints on the $i$th ($1\le i\le n$) grid, it becomes black; in addition, each of the adjacent grids, the $(i-1)$th and the $(i+1)$th grids (if they exist), independently has a probability of $\frac{1}{2}$ becoming black. Let $T(n)$ be the expected number of prints needed to make all grids black, provided that the optimal strategy is adopted (make as few prints as possible). Find the formula of $T(n)$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

*Printatrice a getto d’inchiostro su 1 ×n striscia con scuro accidentale adiacente, trovare le strisce attese T(n) *

Una stampante a getto di inchiostro è utilizzata per stampare su una striscia di carta con griglie $1\times n$. Quando la nozzola stampa sulla griglia $i$th ($1\le i\le n$), diventa nera; inoltre, ciascuna delle griglie adiacenti, la griglia $(i-1)$th e la griglia $(i+1)$th (se esistono), ha indipendentemente la probabilità che $\frac{1}{2}$ diventi nera. Il numero previsto di stampe deve essere il $T(n)$ per rendere tutte le griglie nere, a condizione che sia adottata la strategia ottimale (fare il minor numero possibile di stampe). Trova la formula di $T(n)$.

src_cn_csmo_2020__Q04