China Southeastern Mathematical Olympiad 2021

Positive sequence with nonlinear recurrence; find terms and bound partial sums

Let $\{a_n\}$ be a sequence of positive real numbers such that $a_1=\frac{1}{2}$, and for $n\ge 2$, $a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_{n-1}{a}_n(a_{n-1}+a_n+1)=0.$ (1) Find $a_n$ for $n\ge 1$. (2) Let $S_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i$. Show that $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sequenza positiva con ricorrenza non lineare; trovare termini e somme parziali legate

Let $\{a_n\}$ essere una sequenza di numeri reali positivi come $a_1=\frac{1}{2}$, e per $n\ge 2$, $a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_{n-1}{a}_n(a_{n-1}+a_n+1)=0.$ (1) Trovare $a_n$ per $n\ge 1$. (2) Let $S_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i$. Mostra che $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$.

src_cn_csmo_2021__Q01

Triangle with AB=BC; prove orthocenter is incentre of related triangle

In $△ABC$, $AB=BC$. Let $O$ and $H$ be the circumcenter and orthocenter of $△ABC$, respectively. Let $G$ be the midpoint of $AH$, and let $BE$ be the altitude from $B$ to $AC$. Prove that if $OE\parallel BC$, then $H$ is the incentre of $△GBC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Triangolo con AB=BC; dimostrare che l’ortocentro è incentro del triangolo correlato

In $△ABC$, $AB=BC$. $O$ e $H$ siano rispettivamente il circondario e l’ortocentro di $△ABC$. $G$ sia il punto medio di $AH$ e $BE$ sia l’altitudine da $B$ a $AC$. Prove che se $OE\parallel BC$, allora $H$ è l’incentro di $△GBC$.

src_cn_csmo_2021__Q02

Integer sequence with prime-weighted binomial sums; prove all terms zero

Given an odd prime $p$ and a sequence of integers $\{a_n\}$, $n\ge 0$. Define the sequence $v_n={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i{a}_i,n\ge 1.$ Prove: if there are infinitely many values of $n$ such that $v_n=0$, then $v_n=0$ for all $n\ge 0$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza integrale con somme binomiali ponderate in primo; dimostrare tutti i termini zero

Se si dà un primo pari $p$ e una sequenza di numeri interi $\{a_n\}$, $n\ge 0$. Definire la sequenza $v_n={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i{a}_i,n\ge 1.$ Prova: se ci sono infiniti valori di $n$ come $v_n=0$, allora $v_n=0$ per tutti $n\ge 0$.

src_cn_csmo_2021__Q03

Permutations on circle with descending-chain deletion; find average number of chains

There are $n\ge 5$ points, labeled $1,2,\dots ,n$, arbitrarily arranged on a circle. We call such an arrangement a permutation $S$. For a permutation $S$, a “descending chain” is a clockwise sequence of consecutive points (at least two) with descending labels that is not a sub-chain of any longer such sequence; the “pivot” of a descending chain is the point with the largest label, and all other points are “non-pivots”. For example, the clockwise permutation $5,2,4,1,3$ contains two descending chains $5,2$ and $4,1$, where $5,4$ are pivots and $2,1$ are non-pivots. Apply the following operations on $S$: first, find all descending chains of $S$ and delete all non-pivots; then, if more than one point remains, repeat finding descending chains and deleting non-pivots, and so on, until no descending chain remains. Let $G(S)$ be the total number of descending chains that appeared in the whole process, and let $A(n)$ be the average of $G(S)$ over all permutations $S$ of $1,2,\dots ,n$. (1) Find $A(5)$. (2) For $n\ge 6$, prove that $\frac{83}{120}+\frac{n-1}{2}\le A(n)\le \frac{101}{120}+\frac{n-1}{2}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Permutazioni sul cerchio con cancellazione della catena discendente; trovare numero medio di catene

Ci sono punti $n\ge 5$, etichettati $1,2,\dots ,n$, disposti arbitrariamente su un cerchio. Chiamiamo tale disposizione una permutazione $S$. Per una permutazione $S$, una “catena discendente” è una sequenza in senso orario di punti consecutivi (almeno due) con etichette discendenti che non è una sottocatena di una sequenza più lunga; il “pivot” di una catena discendente è il punto con la più grande etichetta e tutti gli altri punti sono “non pivot”. Ad esempio, la permutazione nel senso orario $5,2,4,1,3$ contiene due catene discendenti $5,2$ e $4,1$, dove $5,4$ sono pivot e $2,1$ non pivot. Applicare le seguenti operazioni su $S$: prima, trovare tutte le catene discendenti di $S$ e cancellare tutte le catene non pivotanti; poi, se rimane più di un punto, ripetere la ricerca delle catene discendenti e la cancellazione delle catene non pivotanti, e così via, finché non rimane nessuna catena discendente. $G(S)$ sia il numero totale di catene discendenti apparse durante l’intero processo e $A(n)$ sia la media di $G(S)$ su tutte le permutazioni $S$ di $1,2,\dots ,n$. (1) Trova $A(5)$. (2) Per $n\ge 6$, dimostrare che $\frac{83}{120}+\frac{n-1}{2}\le A(n)\le \frac{101}{120}+\frac{n-1}{2}$.

src_cn_csmo_2021__Q04

Arrange 2021 integers on a line/circle with consecutive-43 divisibility; count valid sequences

To celebrate the 43rd anniversary of the restoration of mathematical competitions, a math lover arranges the first $2021$ positive integers $1,2,\dots ,2021$ into a sequence $\{a_n\}$, such that any $43$ consecutive numbers add up to a multiple of $43$. (1) Prove that if the two ends of $\{a_n\}$ are joined to form a circle, then any $43$ consecutive numbers on the circle also add up to a multiple of $43$. (2) Determine the number of all such sequences $\{a_n\}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Arrangere i numeri interi 2021 su una linea/circolo con divisibilità consecutiva-43; contare le sequenze valide

Per celebrare il 43° anniversario del ripristino delle competizioni matematiche, un amante della matematica organizza i primi interi $2021$ positivi $1,2,\dots ,2021$ in una sequenza $\{a_n\}$, in modo tale che qualsiasi numero consecutivo $43$ si somma a un multiple di $43$. (1) Prova che se le due estremità di $\{a_n\}$ sono unite per formare un cerchio, allora tutti i numeri consecutivi $43$ sul cerchio si sommano anche a un multiple di $43$. (2) Determinare il numero di tutte queste sequenze $\{a_n\}$.

src_cn_csmo_2021__Q05

Cyclic quadrilateral with angle bisector conditions; prove product equality

In the cyclic quadrilateral $ABCD$, let $E$ be an interior point on $BC$, $F$ be a point on $AE$, and $G$ be a point on the exterior bisector of $\angle BCD$, such that $EG=GF$ and $\angle EAG=\frac{1}{2}\angle BAD$, as shown in the figure. Prove that $AB\cdot AF=AD\cdot AE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Quadrilatero ciclico con condizioni di angolo bisector; dimostrare l’uguaglianza del prodotto

Nel quadrilaterale ciclico $ABCD$, $E$ deve essere un punto interno su $BC$, $F$ deve essere un punto su $AE$ e $G$ deve essere un punto sul bisettore esterno di $\angle BCD$, come mostrato nella figura. Prove che $AB\cdot AF=AD\cdot AE$.

src_cn_csmo_2021__Q06

Prove inequality relating symmetric rational expression to reciprocals of differences

Let $a,b,c$ be distinct positive reals. Prove that $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}<\frac{1}{7}\left(\frac{1}{|a-b|}+\frac{1}{|b-c|}+\frac{1}{|c-a|}\right).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove le disuguaglianze relative all’espressione razionale simmetrica alle reciprocità delle differenze

Che i valori $a,b,c$ siano positivi reali distinti. Provare che $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}<\frac{1}{7}\left(\frac{1}{|a-b|}+\frac{1}{|b-c|}+\frac{1}{|c-a|}\right).$

src_cn_csmo_2021__Q07

Find all integer pairs (a,b)>1 satisfying equation involving Euler’s totient

Find all positive integer pairs $(a,b)$ with $a,b>1$, such that $14{\phi }^2(a)-\phi (ab)+22{\phi }^2(b)=a^2+b^2,$ where $\phi (n)$ represents the number of positive integers less than $n$ and relatively prime to $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(a,b)=(30,6)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi (a,b)>1 che soddisfino l’equazione che coinvolge il totiente di Euler

Trova tutte le coppie di integri positivi $(a,b)$ con $a,b>1$, in modo che $14{\phi }^2(a)-\phi (ab)+22{\phi }^2(b)=a^2+b^2,$, dove $\phi (n)$ rappresenta il numero di integri positivi inferiori a $n$ e relativamente prime a $n$.

Risposta: $(a,b)=(30,6)$ src_cn_csmo_2021__Q08

Prime p>=5; compute residue of a weighted floor sum modulo p

Let $p\ge 5$ be a prime number, $M=\{1,2,\dots ,p-1\}$. Define $T=\{(n,x_n):p\mid (n{x}_n-1)\text{ with }n,x_n\in M\}.$ Find the nonnegative least residue of $\sum _{(n,x_n)\in T}n\left[\frac{n{x}_n}{p}\right]$ modulo $p$, where $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{p-1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Prima p>=5; residuo di calcolo di una somma ponderata del pavimento modulo p

$p\ge 5$ sia un numero primo, $M=\{1,2,\dots ,p-1\}$. Definire $T=\{(n,x_n):p\mid (n{x}_n-1)\text{ with }n,x_n\in M\}.$ Trovare il residuo minimo non negativo del modulo $\sum _{(n,x_n)\in T}n\left[\frac{n{x}_n}{p}\right]$ $p$, dove $[x]$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

Risposta: $\frac{p-1}{2}$ src_cn_csmo_2021__Q09

Prove inequality for nonneg reals on unit sphere with cyclic rational and product terms

Given $a,b,c\ge 0$ with $a^2+b^2+c^2\le 1$. Prove: $\frac{a}{a^2+bc+1}+\frac{b}{b^2+ca+1}+\frac{c}{c^2+ab+1}+3abc<\sqrt{3}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza dei reali non negativi sulla sfera unitaria con termini ciclici razionali e produttivi

Date $a,b,c\ge 0$ con $a^2+b^2+c^2\le 1$. Prova: $\frac{a}{a^2+bc+1}+\frac{b}{b^2+ca+1}+\frac{c}{c^2+ab+1}+3abc<\sqrt{3}.$

src_cn_csmo_2021__Q10

Taurus numbers: determine if 2021 qualifies; find count f(n) among 1..n

For a positive integer $k$, if it is possible to remove a number from $M_k=\{1,2,\dots ,k\}$ such that the sum of the remaining $k-1$ numbers is a perfect square, then $k$ is called a “Taurus number”. For instance, $7$ is a Taurus number, since removing $3$ from $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ results in the sum $1+2+4+5+6+7=5^2$. (1) Determine with reasoning whether $2021$ is a Taurus number. (2) Find $f(n)$ (in terms of $n$), the number of Taurus numbers among $1,2,\dots ,n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Nomeri del Toro: determinare se il 2021 è qualificato; trovare il conteggio f(n) tra 1..n

Per un intero positivo $k$, se è possibile rimuovere un numero da $M_k=\{1,2,\dots ,k\}$ in modo tale che la somma dei numeri $k-1$ rimanenti sia un quadrato perfetto, allora $k$ viene chiamato un “numero Tauro”. Ad esempio, $7$ è un numero di Toro, poiché rimuovere $3$ da $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dà la somma $1+2+4+5+6+7=5^2$. (1) Determinare con ragionamento se $2021$ sia un numero di Toro. (2) Trova $f(n)$ (in termini di $n$), il numero di numeri di Toro tra $1,2,\dots ,n$.

src_cn_csmo_2021__Q11

Count ordered coverings and no-matching coverings of a 2n-set; bound ratio

Let $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ be a $2n$-set, and let $B_1,B_2,\dots ,B_m\subseteq A$. If ${\bigcup }_{i=1}^m{B}_i=A$, the ordered $m$-tuple $(B_1,B_2,\dots ,B_m)$ is called an ordered $m$-covering of $A$. For an ordered $m$-covering $(B_1,B_2,\dots ,B_m)$, if no set $B_i$ contains both $a_i$ and $b_i$ (for the same index $i=1,2,\dots ,n$), then it is called a “no-matching ordered $m$-covering” of $A$. Let $k(n,m)$ denote the number of ordered $m$-coverings of $A$, and $a(n,m)$ the number of no-matching ordered $m$-coverings. (1) Find $a(n,m)$ and $k(n,m)$. (2) For integers $m\ge 2$ and $n\ge 1$, suppose $\frac{a(n,m)}{k(n,m)}\le \frac{1}{2021}$. Find the largest possible value of $m$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $m=26$ Fonte: apri libro PDF

Conta i rivestimenti ordinati e i rivestimenti non corrispondenti di un insieme di 2n; rapporto connesso

$A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ deve essere impostato come $2n$ e $B_1,B_2,\dots ,B_m\subseteq A$. Se ${\bigcup }_{i=1}^m{B}_i=A$, il doppio ordinato $m$-$(B_1,B_2,\dots ,B_m)$ si chiama copertura ordinata $m$ di $A$. Per un $m$ ordinato che copre $(B_1,B_2,\dots ,B_m)$, se nessun set $B_i$ contiene sia $a_i$ che $b_i$ (per lo stesso indice $i=1,2,\dots ,n$), allora è chiamato un “non corrispondente ordinato $m$ di $A$. $k(n,m)$ indichi il numero di coperture ordinate $m$ di $A$ e $a(n,m)$ il numero di coperture ordinate $m$ che non corrispondono. (1) Trova $a(n,m)$ e $k(n,m)$. (2) Per gli integri $m\ge 2$ e $n\ge 1$, supponiamo $\frac{a(n,m)}{k(n,m)}\le \frac{1}{2021}$. Trova il più grande valore possibile di $m$.

Risposta: $m=26$ src_cn_csmo_2021__Q12

Cyclic quadrilateral with angle bisectors and midpoint; prove MF=2MG

As shown in the figure, in the cyclic quadrilateral $ABCD$, the bisector of $\angle BAD$ meets side $BC$ at $E$, and $M$ is the midpoint of $AE$. The exterior bisector of $\angle BCD$ crosses the extension of $AD$ at $F$; the line $MF$ meets side $AB$ at $G$. If $AB=2AD$, prove that $MF=2MG$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Quadrilatero ciclico con bisettori angolari e punto medio; prova MF=2MG

Come mostrato nella figura, nel quadrilaterale ciclico $ABCD$, il bisettore di $\angle BAD$ incontra il lato $BC$ a $E$ e $M$ è il punto medio di $AE$. Il bisettore esterno di $\angle BCD$ attraversa l’estensione di $AD$ a $F$; la linea $MF$ incontra il lato $AB$ a $G$. Se $AB=2AD$, provare che $MF=2MG$.

src_cn_csmo_2021__Q13

Find all odd integer pairs (a,b)>1 satisfying Euler totient equation

Find all odd integer pairs $(a,b)$ with $a,b>1$, such that $7{\phi }^2(a)-\phi (ab)+11{\phi }^2(b)=b^2,$ where $\phi (n)$ represents the number of positive integers less than $n$ and relatively prime to $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(a,b)=(15,3)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi dispari (a,b)>1 che soddisfano l’equazione totiente di Euler

Trova tutte le coppie di integri unici $(a,b)$ con $a,b>1$, in modo tale che $7{\phi }^2(a)-\phi (ab)+11{\phi }^2(b)=b^2,$ dove $\phi (n)$ rappresenta il numero di integri positivi inferiori a $n$ e relativamente primi a $n$.

Risposta: $(a,b)=(15,3)$ src_cn_csmo_2021__Q14

Sequence with modular adjacency condition; minimize sum of squares over valid real sequences

The integer sequence $\{z_i\}$ satisfies: for every $i=1,2,\dots$, $z_i\in \{0,1,\dots ,9\}$ and $z_i+z_{i+1}\equiv 0(\mathrm{mod}10)$. Suppose there are $2021$ nonnegative real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_{2021}$ satisfying $x_i\ge \frac{10-i}{50}$ for all $i$, such that for $k=1,2,\dots ,2021$, ${\sum }_{i=1}^k{x}_i\ge {\sum }_{i=1}^k\frac{10-i}{50}-z_k.$ Find the least possible value of $G={\sum }_{i=1}^{2021}{x}_i^2$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $46399.4$ Fonte: apri libro PDF

Sequenza con condizione di adiacenza modulare; ridurre al minimo la somma dei quadrati sulle sequenze reali valide

La sequenza di numeri interi $\{z_i\}$ soddisfa: per ogni $i=1,2,\dots$, $z_i\in \{0,1,\dots ,9\}$ e $z_i+z_{i+1}\equiv 0(\mathrm{mod}10)$. Supponiamo che ci siano $2021$ numeri reali non negativi $x_1,x_2,\dots ,x_{2021}$ che soddisfano $x_i\ge \frac{10-i}{50}$ per tutti $i$, in modo tale che per $k=1,2,\dots ,2021$, ${\sum }_{i=1}^k{x}_i\ge {\sum }_{i=1}^k\frac{10-i}{50}-z_k.$ Trovare il minimo valore possibile di $G={\sum }_{i=1}^{2021}{x}_i^2$.

Risposta: $46399.4$ src_cn_csmo_2021__Q15