China National Team Selection Test 2007

Find all good rational numbers x=p/q>1

The rational number $x$ is called “good” if $x=\frac{p}{q}>1$, where $p$, $q$ are coprime positive integers, and there are $a$ and $N$ such that for every integer $n\ge N$, $|\{x^n\}-a|<\frac{1}{2(p+q)},$ where $\{a\}=a-[a]$, and $[a]$ is the greatest integer less than or equal to $a$. Find all “good” rational numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: all integers greater than 1 Fonte: apri libro PDF

Trova tutti i numeri razionali buoni x=p/q>1

Il numero razionale $x$ è chiamato “buono” se $x=\frac{p}{q}>1$, dove $p$, $q$ sono integri positivi copriemi, e ci sono $a$ e $N$ in modo tale che per ogni intero $n\ge N$, $|\{x^n\}-a|<\frac{1}{2(p+q)},$ dove $\{a\}=a-[a]$, e $[a]$ è il numero intero più grande inferiore o uguale a $a$. Trova tutti i numeri razionali “buoni”.

Risposta: all integers greater than 1 src_cn_ctst_2007__Q02

Max triangles with all sides >9 among 63 points on circle radius 10

There are 63 points on a circle $C$ with radius 10. Let $S$ be the number of triangles whose sides are larger than 9 and whose vertices are chosen from the 63 points. Find the maximum value of $S$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 23121 Fonte: apri libro PDF

Max triangoli con tutti i lati >9 tra 63 punti sul raggio di circolo 10

Ci sono 63 punti su un cerchio $C$ con raggio 10. $S$ è il numero di triangoli i cui lati sono più grandi di 9 e le cui vertici sono scelte tra i 63 punti. Trova il valore massimo di $S$.

Risposta: 23121 src_cn_ctst_2007__Q03

Find all f:Q+→Q+ satisfying given functional equation

Find all functions $f:{\mathbf{Q}}^{+}\to {\mathbf{Q}}^{+}$ such that $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)},$ where ${\mathbf{Q}}^{+}=\{q\mid q\text{ is a positive rational number}\}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le f:Q+→Q+ che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f:{\mathbf{Q}}^{+}\to {\mathbf{Q}}^{+}$ in modo tale che $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)},$ dove ${\mathbf{Q}}^{+}=\{q\mid q\text{ is a positive rational number}\}$.

Risposta: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ src_cn_ctst_2007__Q04

Permutation maximizing weighted dot product of reals and vectors

Let $x_1,\cdots ,x_n$ ($n\ge 2$) be real numbers such that $A=\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_i\right|\ne 0$ and $B={\max }_{1\le i<j\le n}|x_i-x_j|\ne 0.$ Prove that for every $n$ vectors $a_1,\cdots ,a_n$ on the plane, there exists a permutation $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$ of $(1,2,\cdots ,n)$ such that $\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_{k_i}{a}_i\right|\ge \frac{AB}{2A+B}{\max }_{1\le i\le n}|a_i|.$

Topic: Disuguaglianze, Combinatoria Metodo: Estremalità, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Permutazione per massimizzare il prodotto dei punti ponderati dei reali e dei vettori

Che $x_1,\cdots ,x_n$ ($n\ge 2$) siano numeri reali tali che $A=\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_i\right|\ne 0$ e $B={\max }_{1\le i<j\le n}|x_i-x_j|\ne 0.$ dimostrino che per ogni vettore $n$ $a_1,\cdots ,a_n$ sul piano, esiste una permutazione $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$ di $(1,2,\cdots ,n)$ tale che $\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_{k_i}{a}_i\right|\ge \frac{AB}{2A+B}{\max }_{1\le i\le n}|a_i|.$

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Bound on size of set with lcm condition

Let $n$ be a positive integer, set $A\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}$, and for every $a,b\in A$, $\text{lcm}(a,b)\le n$. Prove that $|A|\le 1.9\sqrt{n}+5.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ribbito alla dimensione del set con condizione lcm

$n$ sia un intero positivo, impostato $A\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}$, e per ogni $a,b\in A$, $\text{lcm}(a,b)\le n$. Provare che $|A|\le 1.9\sqrt{n}+5.$

src_cn_ctst_2007__Q06