China National Team Selection Test 2008

Prove CF = FG in triangle with incircle configuration

In triangle $ABC$, we have $AB>AC$. The incircle $\omega$ touches $BC$ at $E$, and $AE$ intersects $\omega$ at $D$. Choose a point $F$ on $AE$ ($F$ is different from $E$), such that $CE=CF$. Let $G$ be the intersection point of $CF$ and $BD$. Prove that $CF=FG$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove CF = FG in triangolo con configurazione incircolare

Nel triangolo $ABC$, abbiamo $AB>AC$. L’incircolo $\omega$ tocca $BC$ a $E$ e $AE$ si interseca con $\omega$ a $D$. Selezionare un punto $F$ su $AE$ ($F$ è diverso da $E$), in modo tale che $CE=CF$. Il punto di intersezione di $CF$ e $BD$ è $G$. Prova che $CF=FG$.

src_cn_ctst_2008__Q01

Sequence divisibility: prime dividing x_p is at least 2p-1

The sequence $\{x_n\}$ is defined by $x_1=2$, $x_2=12$, $x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n$, $n=1,2,\cdots$. Let $p$ be an odd prime number, and $q$ be a prime such that $q\mid x_p$. Prove that $q\ge 2p-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza divisibilità: la divisione primaria x_p è almeno 2p-1

La sequenza $\{x_n\}$ è definita da $x_1=2$, $x_2=12$, $x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n$, $n=1,2,\cdots$. Che $p$ sia un numero primo odd, e $q$ sia un primo tale che $q\mid x_p$. Prove che $q\ge 2p-1$.

src_cn_ctst_2008__Q02

Color integers blue/red; find monochromatic arithmetic-mean sequence

Every positive integer is colored by blue or red. Prove that there is a sequence $\{a_n\}$ which has infinite terms, and $a_1<a_2<\cdots$ are positive integers, such that $a_1,\frac{a_1+a_2}{2},a_2,\frac{a_2+a_3}{2},a_3,\cdots$ is a positive integer sequence with all terms of the same color.

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Induzione, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Colour integers blue/red; trovare sequenza monocromatica aritmetica-media

Ogni numero intero positivo è colorato blu o rosso. Prova che esiste una sequenza $\{a_n\}$ che ha termini infiniti, e $a_1<a_2<\cdots$ sono interi positivi, in modo tale che $a_1,\frac{a_1+a_2}{2},a_2,\frac{a_2+a_3}{2},a_3,\cdots$ è una sequenza di interi positivi con tutti i termini dello stesso colore.

src_cn_ctst_2008__Q03

Permutation of nonempty subsets with consecutive intersection size 1

Let $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 3$, and $G_n=\{1,2,\cdots ,n\}$. Prove that there is a permutation $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{2^n-1}$ of all the nonempty subsets of $G_n$, such that $|Q_i\cap Q_{i+1}|=1$ for $i=1,2,\cdots ,2^n-2$.

Topic: Combinatoria Metodo: Induzione, Grafi Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Permutazione di sottoinsiemi non vuoti con dimensioni di intersezione consecutive 1

Let $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 3$ e $G_n=\{1,2,\cdots ,n\}$. Prove che esiste una permutazione $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{2^n-1}$ di tutti i sottogruppi non vuoti di $G_n$, tale che $|Q_i\cap Q_{i+1}|=1$ per $i=1,2,\cdots ,2^n-2$.

src_cn_ctst_2008__Q04

Find max and min of a symmetric ratio expression in non-negative reals

Let $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $m,n>1$, $a_{ij}$ ($i=1,2,\cdots ,n$, $j=1,2,\cdots ,m$) be non-negative real numbers (not all zero). Find the maximum and minimum values of $f=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{\left({\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}\right)}^2+m{\sum }_{j=1}^m{\left({\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}\right)}^2}{{\left({\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}\right)}^2+mn{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}^2}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: maximum 1, minimum $\frac{m+n}{mn+\min (m,n)}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo e il minimo di un’espressione di rapporto simmetrico nei reali non negativi

$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $m,n>1$, $a_{ij}$ ($i=1,2,\cdots ,n$, $j=1,2,\cdots ,m$) siano numeri reali non negativi (non tutti zero). Trovare i valori massimi e minimi di $f=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{\left({\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}\right)}^2+m{\sum }_{j=1}^m{\left({\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}\right)}^2}{{\left({\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}\right)}^2+mn{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}^2}.$

Risposta: maximum 1, minimum $\frac{m+n}{mn+\min (m,n)}$ src_cn_ctst_2008__Q05

Find maximum M satisfying three sequence conditions for all n

Find the maximum positive number $M$ such that for every $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, there are positive numbers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ and $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ satisfying (a) ${\sum }_{k=1}^n{b}_k=1$, $2b_k\ge b_{k-1}+b_{k+1}$, $k=2,3,\cdots ,n-1$, (b) $a_k^2\le 1+{\sum }_{i=1}^k{a}_i{b}_i$, $k=1,2,\cdots ,n$, (c) $a_n=M$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo M che soddisfi tre condizioni di sequenza per tutte le n

Trova il numero massimo positivo $M$ in modo tale che per ogni $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ci siano numeri positivi $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ e $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ che soddisfino (a) ${\sum }_{k=1}^n{b}_k=1$, $2b_k\ge b_{k-1}+b_{k+1}$, $k=2,3,\cdots ,n-1$, (b) $a_k^2\le 1+{\sum }_{i=1}^k{a}_i{b}_i$, $k=1,2,\cdots ,n$, (c) $a_n=M$.

src_cn_ctst_2008__Q06