China National Team Selection Test 2009

Prove CM perpendicular to AO in circle-and-triangle configuration

Let $D$ be a point on side $BC$ of triangle $ABC$ such that $\angle CAD=\angle CBA$. A circle with center $O$ passes through $B$, $D$, and meets segments $AB$, $AD$ at $E$, $F$, respectively. Lines $BF$ and $DE$ meet at point $G$. $M$ is the midpoint of $AG$. Prove that $CM\perp AO$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove CM perpendicolare all’AO in configurazione a cerchio e triangolo

Il punto $D$ deve essere un punto sul lato $BC$ del triangolo $ABC$ tale che $\angle CAD=\angle CBA$. Un cerchio con centro $O$ passa attraverso $B$, $D$ e incontra segmenti $AB$, $AD$ rispettivamente a $E$ e $F$. Le linee $BF$ e $DE$ si incontrano al punto $G$. $M$ è il punto medio di $AG$. Prova che $CM\perp AO$.

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Find largest lambda(n) for sum-squared vs sum-of-squares inequality

Given integer $n\ge 2$, find the largest $\lambda (n)$ with the following property: if a sequence of real numbers $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfies $0=a_0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n,$ $a_i\ge \frac{1}{2}(a_{i+1}+a_{i-1}),i=1,2,\dots ,n-1,$ then ${\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)}^2\ge \lambda (n){\sum }_{i=1}^n{a}_i^2.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{n(n+1{)}^2}{4}$ Fonte: apri libro PDF

*Ricerca il più grande lambda(n) per la somma quadrata vs. la somma quadrata di squadre

Con un numero intero $n\ge 2$, trovare il più grande $\lambda (n)$ con la seguente proprietà: se una sequenza di numeri reali $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ soddisfa $0=a_0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n,$ $a_i\ge \frac{1}{2}(a_{i+1}+a_{i-1}),i=1,2,\dots ,n-1,$, allora ${\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)}^2\ge \lambda (n){\sum }_{i=1}^n{a}_i^2.$

Risposta: \frac{n(n+1)^2}{4} src_cn_ctst_2009__Q02

Bound number of n with p | n! - 1 by cp^(2/3)

Prove that for any odd prime number $p$, the number of positive integers $n$ satisfying $p\mid n!-1$ is no more than $c{p}^{\frac{2}{3}}$, where $c$ is a constant independent of $p$. (Posed by Yu Hongbing)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Numero di n con p n! - 1 by cp

Prova che per qualsiasi numero primo impar $p$, il numero di integri positivi $n$ soddisfa $p\mid n!-1$ non è superiore a $c{p}^{\frac{2}{3}}$, dove $c$ è una costante indipendente da $p$. (Posato da Yu Hongbing)

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Find nonempty set S in [ab,(a+1)(b+1)] making product ratio a perfect square

Let $a$, $b$ be positive real numbers with $b-a\ge 2$. Prove that for any two distinct integers $m$, $n$ in the interval $(a,b)$, there is a nonempty set $S$ consisting of some integers in the interval $[ab,(a+1)(b+1)]$, and that $\frac{{\prod }_{s\in S}s}{mn(m+n+1{)}^2}$ is a square of a rational number. (Posed by Yu Hongbing)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca l’insieme non vuoto S in [ab,(a+1)(b+1)] rendendo il rapporto del prodotto un quadrato perfetto

$a$, $b$ siano numeri reali positivi con $b-a\ge 2$. Prove che per due interi distinti $m$, $n$ nell’intervallo $(a,b)$, esiste un insieme non vuoto $S$ costituito da alcuni interi nell’intervallo $[ab,(a+1)(b+1)]$, e che $\frac{{\prod }_{s\in S}s}{mn(m+n+1{)}^2}$ è un quadrato di un numero razionale. (Posato da Yu Hongbing)

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Find minimum of max column sum in constrained integer array

Let $m$ be an integer greater than $1$, and let $n$ be an odd number with $3\le n\le 2m$. Let $i$, $j\in \mathbb{N}$, $1\le i\le m$, $1\le j\le n$ satisfy: (1) For every $1\le j\le n$: $a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}$ is a permutation of $1,2,\dots ,m$; (2) $|a_{i,j}-a_{i,j+1}|\le 1$ for every $1\le i\le m$, $1\le j\le n-1$.

Find the minimal possible value of $M={\max }_j{\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $(2l+1)m-l^2$ where $l=\lfloor (n-1)/2\rfloor$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il minimo della somma massima delle colonne in array di numeri interi con vincoli

Che $m$ sia un numero intero maggiore di $1$, e che $n$ sia un numero odd con $3\le n\le 2m$. Per ogni $1\le j\le n$: $a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}$ è una permutazione di $1,2,\dots ,m$; (2) $|a_{i,j}-a_{i,j+1}|\le 1$ per ogni $1\le i\le m$, $1\le j\le n-1$.

Trova il valore minimo possibile di $M={\max }_j{\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}$.

Risposta: $(2l+1)m-l^2$ where $l=\lfloor (n-1)/2\rfloor$ src_cn_ctst_2009__Q05

AP of 40 distinct positive integers contains one not of form 2^k+3^l

Prove that in an arithmetic progression consisting of $40$ distinct positive integers, at least one of the numbers cannot be written as $2^k+3^l$, where $k$, $l$ are nonnegative integers. (Posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Colorazione, Principio dei cassetti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

AP di 40 diversi integri positivi contiene uno non di forma 2^k+3^l

Prove che in una progressione aritmetica composta da $40$ diversi interi positivi, almeno uno dei numeri non può essere scritto come $2^k+3^l$, dove $k$, $l$ sono interi non negativi. (Posato da Chen Yonggao)

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