China National Team Selection Test 2010

Circumcenters in acute triangle; AO bisects O1O2

For acute triangle $ABC$ with $AB>AC$, let $M$ be the midpoint of side $BC$ and $P$ a point inside $△AMC$ such that $\angle MAB=\angle PAC$. Let $O_1$, $O_2$, $O_3$ be the circumcenters of $△ABC$, $△ABP$, $△ACP$ respectively. Prove that line $A{O}_1$ bisects segment $O_2{O}_3$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circumcenti in triangolo acuto; AO bisecta O1O2

Per il triangolo acuto $ABC$ con $AB>AC$, $M$ deve essere il punto medio del lato $BC$ e $P$ un punto all’interno di $△AMC$ tale che $\angle MAB=\angle PAC$. $O_1$, $O_2$, $O_3$ siano rispettivamente i circoncentri di $△ABC$, $△ABP$ e $△ACP$. Prova che la riga $A{O}_1$ divide il segmento $O_2{O}_3$.

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Two sets of complex numbers equal if power sums match

Let $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{2010}\}$ and $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_{2010}\}$ be two sets of complex numbers such that the equality ${\sum }_{1\le i<j\le 2010}(a_i+a_j{)}^n={\sum }_{1\le i<j\le 2010}(b_i+b_j{)}^n$ holds for every $n=1,2,\dots ,2010$. Prove that $A=B$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Due set di numeri complessi uguali se le somme di potenza corrispondono

Che $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{2010}\}$ e $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_{2010}\}$ siano due insieme di numeri complessi in modo tale che l’uguaglianza ${\sum }_{1\le i<j\le 2010}(a_i+a_j{)}^n={\sum }_{1\le i<j\le 2010}(b_i+b_j{)}^n$ sia mantenuta per ogni $n=1,2,\dots ,2010$. Prove che $A=B$.

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Minimum digit sum for antichain of {1,2}-digit integers

Let $n_1,n_2,\dots ,n_k$ be pairwise distinct positive integers satisfying: (1) In the decimal representation of each $n_i$, each digit belongs to $\{1,2\}$. (2) For any $i\ne j$, $n_i$ cannot be obtained from $n_j$ by adding some digits on the right. Find the minimum value of $\sum _{i=1}^{k}S(n_i)$, where $S(m)$ denotes the sum of digits of $m$ in decimal representation.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 179 Fonte: apri libro PDF

Minimum somma di cifre per l’anticatena di enti interi a cifre {1,2}

Lasciate che $n_1,n_2,\dots ,n_k$ siano integri positivi separati in coppia che soddisfino: (1) Nella rappresentazione decimale di ogni $n_i$, ogni cifra appartiene a $\{1,2\}$. (2) Per qualsiasi $i\ne j$, $n_i$ non può essere ottenuto da $n_j$ aggiungendo alcune cifre sulla destra. Trovare il valore minimo di $\sum _{i=1}^{k}S(n_i)$, dove $S(m)$ indica la somma dei numeri di $m$ in rappresentazione decimale.

Risposta: 179 src_cn_ctst_2010__Q03

Good graph map exists with value at most n factorial

Let $G=G(V,E)$ be a simple graph with vertex set $V$ and edge set $E$, and assume that $|V|=n$. A map $f:V\to \mathbb{Z}$ is said to be good if it satisfies: (1) $\sum _{v\in V}f(v)=|E|$; (2) If one colors arbitrarily some vertices into red, there exists a red vertex $v$ such that $f(v)$ is not greater than the number of vertices adjacent to $v$ that are not colored red. Let $m(G)=\min \{\sum _v|f(v)|:f\text{ is good}\}$. Show that $m(G)\le n!$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

C’è una buona mappa grafica con valore massimo n fattorial

$G=G(V,E)$ sia un grafico semplice con insieme verticale $V$ e insieme di bordi $E$, e supponiamo che $|V|=n$. Una mappa $f:V\to \mathbb{Z}$ si dice buona se soddisfa: (1) $\sum _{v\in V}f(v)=|E|$; (2) Se si colorano arbitrariamente alcuni vertici in rosso, esiste un vertice rosso $v$ tale che $f(v)$ non è maggiore del numero di vertici adiacenti a $v$ che non sono colorati in rosso. Let $m(G)=\min \{\sum _v|f(v)|:f\text{ is good}\}$. Mostra che $m(G)\le n!$.

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Sequence defined by least non-coprime term covers all integers except 1

Given integer $a_1\ge 2$, for $n\ge 2$, define $a_n$ to be the least positive integer not coprime to $a_{n-1}$ and not equal to $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. Prove that every integer except $1$ appears in the sequence $\{a_n\}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

La sequenza definita con il minimo termine non coprime copre tutti gli integri tranne 1

Per $n\ge 2$, definire $a_n$ come il numero intero meno positivo non coprimo a $a_{n-1}$ e non uguale a $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. Provare che ogni numero intero tranne $1$ appare nella sequenza $\{a_n\}$.

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Real sequence in [0,1) with prescribed absolute differences and zero endpoints

Given integer $n\ge 2$ and real numbers $r_1,r_2,\dots ,r_n$ in the interval $[0,1)$, prove that there exist real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfying simultaneously the following conditions: (1) $a_0=a_n=0$; (2) $|a_i|\le 1$ for every $i=0,1,\dots ,n$; (3) $|a_i-a_{i-1}|=r_i$ for every $i=1,2,\dots ,n$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Reale sequenza in [0,1) con differenze assolute prescritte e punti di fine zero

Date le cifre interi $n\ge 2$ e reali $r_1,r_2,\dots ,r_n$ nell’intervallo $[0,1)$, dimostrare che esistono numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti condizioni: (1) $a_0=a_n=0$; (2) $|a_i|\le 1$ per ogni $i=0,1,\dots ,n$; (3) $|a_i-a_{i-1}|=r_i$ per ogni $i=1,2,\dots ,n$.

src_cn_ctst_2010__Q06