China National Team Selection Test 2011

Find max M for cyclic sum inequality over permutations

Given an integer $n\ge 3$, find the maximum real number $M$, such that for any positive numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$, there exists a permutation $y_1,y_2,\dots ,y_n$ of $x_1,x_2,\dots ,x_n$ that satisfies ${\sum }_{i=1}^n\frac{y_i^2}{y_{i+1}^2-y_{i+1}{y}_{i+2}+y_{i+2}^2}\ge M,$ where $y_{n+1}=y_1$, $y_{n+2}=y_2$. (posed by Qu Zhenhua)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo di M per la disuguaglianza della somma ciclica sulle permutazioni

Date un numero intero $n\ge 3$, trovare il numero reale massimo $M$, in modo tale che per tutti i numeri positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$, esista una permutazione $y_1,y_2,\dots ,y_n$ di $x_1,x_2,\dots ,x_n$ che soddisfa ${\sum }_{i=1}^n\frac{y_i^2}{y_{i+1}^2-y_{i+1}{y}_{i+2}+y_{i+2}^2}\ge M,$ dove $y_{n+1}=y_1$, $y_{n+2}=y_2$. (Posizionato da Qu Zhenhua)

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Prove existence of a in [1, n/k+1] with n | a(a-1)

Let $n>1$ be an integer, $k$ be the number of distinct prime factors of $n$. Prove that there exists an integer $a$, $1\le a\le \frac{n}{k}+1$, such that $n\mid a(a-1)$. (posed by Yu Hongbing)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Principio dei cassetti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

*Prove l’esistenza di a in [1, n/k+1] con n ̊ a ̊ a-1) *

Che $n>1$ sia un numero intero, $k$ sia il numero di fattori primi distinti di $n$. Prova che esiste un numero intero $a$, $1\le a\le \frac{n}{k}+1$, tale che $n\mid a(a-1)$. (Possibile da Yu Hongbing)

src_cn_ctst_2011__Q02

Minimum edges of graph with 4n vertices, max degree 4n, diameter at most 3

Let $4n$ be the vertex number of a simple graph $G$ (integer $n\ge 2$). If the degree of each vertex is not greater than $4n$, there exists at least one vertex with degree $4n$, and there exists a route with length not greater than $3$ between any two vertices. Prove that the minimum number of edges of $G$ is $\frac{7}{2}{n}^2-\frac{3}{2}n$.

Remark. A route between two distinct vertices $a$ and $b$ with length $k$ is a sequence of vertices $a=v_0,v_1,\dots ,v_k=b$ where $v_i$ and $v_{i+1}$ ($i=0,1,\dots ,k-1$) are adjacent. (posed by Leng Gangsong)

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Limiti minimi del grafico con vertici 4n, grado massimo 4n, diametro massimo 3

$4n$ sia il numero di vertice di un grafico semplice $G$ (insieme $n\ge 2$). Se il grado di ciascun vertice non è superiore a $4n$, esiste almeno un vertice con grado $4n$, e esiste un percorso con una lunghezza non superiore a $3$ tra due vertici. Provare che il numero minimo di bordi di $G$ è $\frac{7}{2}{n}^2-\frac{3}{2}n$.

Remark. Un percorso tra due vertici distinti $a$ e $b$ con lunghezza $k$ è una sequenza di vertici $a=v_0,v_1,\dots ,v_k=b$ in cui $v_i$ e $v_{i+1}$ ($i=0,1,\dots ,k-1$) sono adiacenti. (Possibile da Leng Gangsong)

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Prove triangle JKM isosceles in orthocenter-Simson line configuration

Let $H$ be the orthocenter of acute-angled $△ABC$. Let $P$ be a point on arc $\widehat{BC}$ of the circumcircle of $△ABC$ (not containing $A$). $PH$ intersects arc $\widehat{AC}$ at $M$. There exists a point $K$ on $AB$ such that the line $KM$ is parallel to the Simson line of $P$ with respect to $△ABC$. Let $Q$ be the point on the circumcircle such that $QP\perp BC$; the chord $KQ$ intersects $BC$ at point $J$. Prove that $△JKM$ is isosceles. (posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove triangolo JKM isosceles nella configurazione della linea orthocenter-Simson

Che $H$ sia l’ortocentro di $△ABC$ angolato acuto. Il $P$ deve essere un punto sull’arco $\widehat{BC}$ del circoncircolo di $△ABC$ (non contenente $A$). $PH$ interseca l’arco $\widehat{AC}$ a $M$. Esiste un punto $K$ su $AB$ tale che la riga $KM$ sia parallela alla riga Simson di $P$ rispetto a $△ABC$. Il punto $Q$ deve essere il punto del circoncircolo in modo tale che $QP\perp BC$; l’accordo $KQ$ incroci $BC$ al punto $J$. Provare che $△JKM$ è uguale. (Posizionato da Xiong Bin)

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Permutation of positive integers: infinite i with lcm(a_i, a_{i+1}) <= 3i/4

Let $a_1,a_2,\dots$ be a permutation of all positive integers. Prove that there exist infinitely many positive integers $i$ such that $(a_i,a_{i+1})\le \frac{3}{4}i$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Permutazione dei numeri interi positivi: infinito i con lcm(a_i, a_{i+1}) <= 3i/4

Lasciate che $a_1,a_2,\dots$ sia una permutazione di tutti gli integri positivi. Prove che esistono infinitamente molti interi positivi $i$, come $(a_i,a_{i+1})\le \frac{3}{4}i$. (Possibile da Chen Yonggao)

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Interesting point sequences: prove any two with equal endpoints share a common expansion

We call a point sequence $(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ interesting if the abscissa and ordinate of each point are integers, the slopes of segments $O{A}_1,O{A}_2,\dots ,O{A}_n$ are strictly increasing ($O$ is the origin), and the area of each $△O{A}_i{A}_{i+1}$ ($1\le i\le n-1$) equals $\frac{1}{2}$.

For a point sequence $(A_1,\dots ,A_n)$, inserting a point $A$ adjacent to two points $A_i,A_{i+1}$ satisfying $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_{i+1}}$, we can obtain a new point sequence $(A_1,\dots ,A_i,A,A_{i+1},\dots ,A_n)$. Let $(A_1,\dots ,A_n)$ and $(B_1,\dots ,B_m)$ be any two interesting point sequences. Prove that if $A_1=B_1$ and $A_n=B_m$, one can expand both point sequences to some common point sequence $(C_1,C_2,\dots ,C_s)$. (posed by Qu Zhenhua)

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Induzione, Invarianti, Biiezione Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Sequenze di punti di interesse: dimostrare che qualsiasi due con punti di fine uguali condividono un’espansione comune

Chiamiamo una sequenza di punti $(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ interessante se l’abcissa e l’ordinato di ciascun punto sono interi, le pendenti dei segmenti $O{A}_1,O{A}_2,\dots ,O{A}_n$ sono rigorosamente in aumento ($O$ è l’origine), e l’area di ciascuna $△O{A}_i{A}_{i+1}$ ($1\le i\le n-1$) è uguale a $\frac{1}{2}$.

Per una sequenza di punti $(A_1,\dots ,A_n)$, inserendo un punto $A$ adiacente a due punti $A_i,A_{i+1}$ soddisfacendo $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_{i+1}}$, possiamo ottenere una nuova sequenza di punti $(A_1,\dots ,A_i,A,A_{i+1},\dots ,A_n)$. Lasciate che $(A_1,\dots ,A_n)$ e $(B_1,\dots ,B_m)$ siano due sequenze di punti interessanti. Prova che se $A_1=B_1$ e $A_n=B_m$, si possono espandere entrambe le sequenze di punti a una sequenza di punti comune $(C_1,C_2,\dots ,C_s)$. (Posizionato da Qu Zhenhua)

src_cn_ctst_2011__Q06