China National Team Selection Test 2012

Orthocenter, circumcenter, equilateral triangle collinearity

Let $H$ be the orthocenter of an acute-angled $△ABC$ with $\angle A=60^{\circ }$. Let points $M$ and $N$ be on sides $AB$ and $AC$ respectively, such that $\angle HMB=60^{\circ }=\angle HNC$. Let $O$ be the circumcenter of $△HMN$. Let points $D$ and $A$ be on the same side of line $BC$, such that $△DBH$ is equilateral (see Fig. 5.1). Prove that points $H$, $O$ and $D$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Orthocenter, circumcenter, collinearità triangolare equilaterale

Che $H$ sia l’ortocentro di un $△ABC$ angolato acuto con $\angle A=60^{\circ }$. I punti $M$ e $N$ siano rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$, in modo che $\angle HMB=60^{\circ }=\angle HNC$. Il $O$ deve essere il centro circundante di $△HMN$. I punti $D$ e $A$ devono essere sullo stesso lato della riga $BC$, in modo che $△DBH$ sia equilaterale (vedere figura 1). 5.1). Provare che i punti $H$, $O$ e $D$ sono collineari.

src_cn_ctst_2012__Q01

Existence of k integers satisfying product inequality for all real interpolants

Prove that, for any given integer $k\ge 2$, there exist $k$ distinct positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_k$, such that for any real numbers $b_1,b_2,\dots ,b_k$ satisfying $a_i\le b_i\le 2a_i$, $1\le i\le k$, and any non-negative integers $c_1,c_2,\dots ,c_k$, we have $k{\prod }_{i=1}^k{b}_i^{c_i}<{\prod }_{i=1}^k{b}_i,$ provided ${\prod }_{i=1}^k{b}_i^{c_i}<{\prod }_{i=1}^k{b}_i$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Esistenza di k integri che soddisfano la disuguaglianza dei prodotti per tutti gli interpolanti reali

Prove che, per qualsiasi dato intero $k\ge 2$, esistono $k$ diversi interi positivi $a_1,a_2,\dots ,a_k$, in modo tale che per qualsiasi numero reale $b_1,b_2,\dots ,b_k$ soddisfa $a_i\le b_i\le 2a_i$, $1\le i\le k$, e qualsiasi intero non negativo $c_1,c_2,\dots ,c_k$, abbiamo fornito $k{\prod }_{i=1}^k{b}_i^{c_i}<{\prod }_{i=1}^k{b}_i,$ ${\prod }_{i=1}^k{b}_i^{c_i}<{\prod }_{i=1}^k{b}_i$. (Possibile da Chen Yonggao)

src_cn_ctst_2012__Q02

Minimum c with |Im z| ≤ c|Re z| for roots of sign-changed polynomials

Let $P(x)=x^{2012}+a_{2011}{x}^{2011}+a_{2010}{x}^{2010}+\cdots +a_{1}x+a_0$ be a polynomial of degree $2012$ of real coefficients with $1$ as its leading coefficient. Find the minimum of real number $c$ such that $|\mathrm{Im}z|\le c|\mathrm{Re}z|$, where $\mathrm{Re}z$ and $\mathrm{Im}z$ are, respectively, the real and the imaginary parts of any root of a polynomial obtained by changing some of the coefficients of $P(x)$ to their opposite numbers. (posed by Zhu Huawei)

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $\cot \frac{\pi }{4022}$ Fonte: apri libro PDF

Minimum c con Im z Di ≤ < c di <Re z Di per le radici di polinomi cambiati segno

$P(x)=x^{2012}+a_{2011}{x}^{2011}+a_{2010}{x}^{2010}+\cdots +a_{1}x+a_0$ sia un polinomio di grado $2012$ di coefficienti reali con $1$ come suo coefficiente principale. Trovare il minimo del numero reale $c$ in modo tale che $|\mathrm{Im}z|\le c|\mathrm{Re}z|$, dove $\mathrm{Re}z$ e $\mathrm{Im}z$ sono rispettivamente le parti reali e immaginarie di qualsiasi radice di un polinomio ottenuta cambiando alcuni dei coefficienti di $P(x)$ ai loro numeri opposti. (postato da Zhu Huawei)

Risposta: \cot\dfrac{\pi}{4022} src_cn_ctst_2012__Q03

Prove min{|A|,|B|} bounded by log₂n when ab+1 always a perfect square

Given an integer $n\ge 3$. Let $A$, $B\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$. Suppose that $ab+1$ is a perfect square number for any $a\in A$ and $b\in B$. Prove that $\min \{|A|,|B|\}\le {\log }_{2}n$.

(posed by Xiong Bin)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove min{displaystyle min{displaystyle A+1,displaystyle B_{1}} bounded by log2n quando ab è sempre un quadrato perfetto

Data un numero intero $n\ge 3$. Il valore di $A$, $B\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$. Supponiamo che $ab+1$ sia un numero quadrato perfetto per qualsiasi $a\in A$ e $b\in B$. Prove che $\min \{|A|,|B|\}\le {\log }_{2}n$.

(Posizionato da Xiong Bin)

src_cn_ctst_2012__Q04

Max length of total displacement vector for beetles on 2012×2012 board

Suppose there are beetles on a chessboard consisting of $2012\times 2012$ unit squares. Each unit square can accommodate at most one beetle. At a moment, all beetles fly and land on the chessboard again. For a beetle, we call the vector from its flying unit to its landing unit the beetle’s “displacement vector”. We call the sum of all beetle’s “displacement vectors” the “total displacement vector”. Find the maximum length of “total displacement vector” considering the number of beetles and all possible positions of flying and landing.

(posed by Qu Zhenhua)

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Stima, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: $2\times 1006^3$ Fonte: apri libro PDF

Lunghezza massima del vettore di spostamento totale per gli scarafaggi sul tabellone 2012×2012

Supponiamo che ci siano scarafaggi su una scacchiera composta da quadrati unitari $2012\times 2012$. Ogni quadrato può ospitare al massimo un scarafaggio. In un istante, tutti gli scarafaggi volano e atterrano di nuovo sulla scacchiera. Per un scarafaggio, chiamiamo il vettore dalla sua unità di volo alla sua unità di atterraggio il “vettore di spostamento” del scarafaggio. Chiamiamo la somma di tutti i “vettor di spostamento” del scarafaggio “vettor di spostamento totale”. Trova la lunghezza massima del “vettore di spostamento totale” considerando il numero di scarafaggi e tutte le posizioni possibili di volo e atterraggio.

(Posizionato da Qu Zhenhua)

Risposta: $2\times 1006^3$ src_cn_ctst_2012__Q05