China National Team Selection Test 2013

Find minimum of product involving gcd over n coprime integers

Given any $n(>1)$ coprime positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$, denote $A=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Let $d_i=(A,a_i)$ (the greatest common divisor), $i=1,2,\dots ,n$. Let $D_i$ be the greatest common divisor of $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\setminus \{a_i\}$, $i=1,2,\dots ,n$. Find the minimum of ${\prod }_{i=1}^n\frac{A-a_i}{d_i{D}_i}$.

(posed by Zhang Sihui)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $(n-1{)}^n$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il minimo di prodotto che coinvolga gcd su n integri coprimi

In caso di $n(>1)$ integri positivi copriemi $a_1,a_2,\dots ,a_n$, indicare $A=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Let $d_i=(A,a_i)$ (il più grande divisore comune), $i=1,2,\dots ,n$. $D_i$ sia il più grande divisore comune di $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\setminus \{a_i\}$, $i=1,2,\dots ,n$. Trova il minimo di ${\prod }_{i=1}^n\frac{A-a_i}{d_i{D}_i}$.

(Posizionato da Zhang Sihui)

Risposta: $(n-1{)}^n$ src_cn_ctst_2013__Q01

Min transitions so 101 persons each get 51 cards

Suppose there are 101 persons seated around a round table. Each person possesses $k$ pieces of cards, $k=1,2,\dots ,101$. We call it a transition if one person transits one of his cards to one of his adjacent persons. Find the minimum positive number $r$ such that there is no way of more than $r$ transitions so that each person possesses 51 cards. (posed by Qu Zhenhua)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 42925 Fonte: apri libro PDF

Min transizioni in modo che 101 persone ricevano 51 carte ciascuno

Supponiamo che ci siano 101 persone sedute attorno a un tavolo rotondo. Ogni persona possiede $k$ pezzi di carte, $k=1,2,\dots ,101$. Chiamiamo transizione quando una persona trasmette una delle sue carte a una delle persone adiacenti. Trova il numero positivo minimo $r$ in modo tale che non ci sia modo di effettuare più di $r$ transizioni in modo che ogni persona posseda 51 carte. (Posizionato da Qu Zhenhua)

Risposta: 42925 src_cn_ctst_2013__Q02

Existence of n with binomial coefficient congruence mod prime power

Let $p$ be a prime, $a$ and $b$ be positive integers satisfying $p^{2^a-1}<2p^b$. Prove that for any non-negative integer $k$, there exists a positive integer $n<p^{a+b}$ such that $n\equiv k(\mathrm{mod}{p}^a)$ and $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\equiv k(\mathrm{mod}{p}^b)$. (posed by Yu Hongbing)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Esistenza di n con coefficiente di congruenza binomial mod potenza primaria

Lasciate che $p$ sia un primo, $a$ e $b$ siano interi positivi che soddisfano $p^{2^a-1}<2p^b$. Prove che per ogni intero non negativo $k$ esiste un intero positivo $n<p^{a+b}$ tale che $n\equiv k(\mathrm{mod}{p}^a)$ e $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\equiv k(\mathrm{mod}{p}^b)$. (Possibile da Yu Hongbing)

src_cn_ctst_2013__Q04

Prove inequality involving means and products of nonneg integers

Let $n\ge 2$ and $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ be non-negative integers. Prove that ${\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2\right)+{\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{b}_i\right)}^2\ge {\prod }_{i=1}^n(a_i^2+b_i^2{)}^{\frac{1}{n}}.$ (posed by Leng Gangsong)

Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza che coinvolge mezzi e prodotti di integri non negativi

Lasciate che $n\ge 2$ e $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ siano integri non negativi. Prove che ${\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2\right)+{\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{b}_i\right)}^2\ge {\prod }_{i=1}^n(a_i^2+b_i^2{)}^{\frac{1}{n}}.$ (posato da Leng Gangsong)

src_cn_ctst_2013__Q05