China National Team Selection Test 2014

Prove circumcenters and feet of altitudes are concurrent in triangle.

Let $O$ be the circumcenter of $△ABC$ and $H_1$ be the projection of $A$ onto $BC$. The extension of $AO$ intersects the circumcircle of $△BOC$ at $A^{\prime }$. The projections of $A^{\prime }$ onto $AB$ and $AC$ are $D$ and $E$, respectively. Let $O_1$ be the circumcenter of $△D{H}_{1}E$. Define $H_2$, $O_2$, $H_3$ and $O_3$ similarly. Prove that $H_1$, $H_2$, $H_3$ and $O_1$, $O_2$, $O_3$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove che i circoncentieri e i piedi di altitudine sono simultanei nel triangolo.

Che $O$ sia il centro circundante di $△ABC$ e $H_1$ sia la proiezione di $A$ su $BC$. L’estensione di $AO$ interseca il circoncircolo di $△BOC$ a $A^{\prime }$. Le proiezioni di $A^{\prime }$ su $AB$ e $AC$ sono rispettivamente $D$ e $E$. Il $O_1$ deve essere il centro circostante di $△D{H}_{1}E$. Definire $H_2$, $O_2$, $H_3$ e $O_3$ in modo simile. Provare che $H_1$, $H_2$, $H_3$ e $O_1$, $O_2$, $O_3$ sono simultanei.

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101-gon 2-coloring: maximize and count obtuse triangles with alternating color condition.

Let $A_1,A_2,\dots ,A_{101}$ be a regular $101$-gon. Color every vertex red or blue. Let $N$ be the number of obtuse triangles satisfying the following conditions: the three vertices of the triangle must be vertices of the $101$-gon, both the vertices with acute angles have the same color, and the vertex with obtuse angle has a different color.

(1) Find the largest possible value of $N$.

(2) Find the number of colorings such that the maximum $N$ is achieved. (Two colorings are different if some vertex is colored differently.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Estremalità, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

101-gon 2-coloring: massimizzare e contare i triangoli obtusi con condizione di colore alternato.

Che $A_1,A_2,\dots ,A_{101}$ sia un normale $101$-gon. Colori tutti i vertici rossi o blu. $N$ è il numero di triangoli obtusi che soddisfano le seguenti condizioni: i tre vertici del triangolo devono essere vertici del $101$-gon, entrambi i vertici con angoli acuti hanno lo stesso colore e il vertice con angolo obtuso ha un colore diverso.

(1) Trovare il più grande valore possibile di $N$.

(2) Trovare il numero di coloranti in modo tale da raggiungere il massimo $N$. (Due colorazioni sono diverse se qualche vertice è di colore diverso.)

src_cn_ctst_2014__Q02

Show no positive integer 2-tuples satisfy a given multiplicative equation.

Show that there are no $2$-tuples $(x,y)$ of positive integers satisfying the equation $(x+1)(y+2{)}^{x-1}(y+2014)=(y+1)(x+2{)}^{y-1}(x+1023).$ (posed by Li Weigu)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Mostra che nessun numero intero positivo 2 volte soddisfa una determinata equazione moltiplicativa.

Mostrare che non ci sono $2$-tuples $(x,y)$ di numeri interi positivi che soddisfano l’equazione $(x+1)(y+2{)}^{x-1}(y+2014)=(y+1)(x+2{)}^{y-1}(x+1023).$ (posato da Li Weigu)

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Infinitely many integers a with no two divisors summing to given odd k

Given an odd integer $k\ge 3$. Prove that there exist infinitely many positive integers $a$ such that $a$ has no two positive divisors $d_1,d_2$ satisfying $d_1+d_2=k$.

(Proposed by Ya Hongbing)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Infinitamente molti interi a senza due divisori che si sommano a un dato k

Date un numero intero parso $k\ge 3$. Prova che esistono infiniti interi positivi $a$ in modo tale che $a$ non abbia due divisori positivi $d_1,d_2$ che soddisfino $d_1+d_2=k$.

(Proposto da Ya Hongbing)

src_cn_ctst_2014__Q04

Find minimum of sum of squared moduli of cyclic complex sequence

Let $n$ be a given integer which is greater than $1$. Find the smallest constant ${\lambda }_0(n)$ such that for any non-zero complex numbers $z_1,z_2,\dots ,z_n$ (with $z_{n+1}=z_1$), ${\sum }_{k=1}^n|z_k{|}^2\ge {\lambda }_0(n)\cdot {\min }_{1\le k\le n}\{|z_{k+1}-z_k{|}^2\}.$

(Proposed by Leng Gangsong)

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: ${\lambda }_0(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{4}& \text{if }n\text{ is even},\\ \frac{n}{4{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2n}\right)}& \text{if }n\text{ is odd}.\end{array}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca la somma minima dei moduli quadrati di sequenza complessa ciclica

$n$ sia un dato numero intero superiore a $1$. Trovare la costante più piccola ${\lambda }_0(n)$ tale che per qualsiasi numero complesso non zero $z_1,z_2,\dots ,z_n$ (con $z_{n+1}=z_1$), ${\sum }_{k=1}^n|z_k{|}^2\ge {\lambda }_0(n)\cdot {\min }_{1\le k\le n}\{|z_{k+1}-z_k{|}^2\}.$

(Proposto da Leng Gangsong)

Risposta: ${\lambda }_0(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{4}& \text{if }n\text{ is even},\\ \frac{n}{4{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2n}\right)}& \text{if }n\text{ is odd}.\end{array}$ src_cn_ctst_2014__Q05

Bound on number of unordered factorizations via largest prime factor

For a positive integer $k>1$, let $f(k)$ denote the number of ways of factoring $k$ into a product of positive integers each greater than $1$ (the order of factors is not counted; for example, $12=2\times 6=3\times 4=2\times 2\times 3$, so $f(12)=4$). Prove that if $p$ is the largest prime divisor of $n$, then $f(n)\le \frac{n}{p}.$

(Proposed by Ya Yijun)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Limita al numero di fattorizzazione non ordinate attraverso il più grande fattore primo

Per un intero positivo $k>1$, $f(k)$ indichi il numero di modi di fattorizzare $k$ in un prodotto di interi positivi ognuno più grande di $1$ (l’ordine dei fattori non è contato; ad esempio, $12=2\times 6=3\times 4=2\times 2\times 3$, quindi $f(12)=4$). Prova che se $p$ è il primo divisore più grande di $n$, allora $f(n)\le \frac{n}{p}.$

(Proposto da Ya Yijun)

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