China National Team Selection Test 2021

Prove product inequality for row-column sums of a nonneg matrix

Let $m$, $n$ be positive integers, and let $a_{i,j}$ ($1\le i\le m$, $1\le j\le n$) be nonnegative real numbers such that for any $i$, $j$, $a_{i,1}\ge a_{i,2}\ge \cdots \ge a_{i,n},a_{1,j}\ge a_{2,j}\ge \cdots \ge a_{m,j}$ hold. For $i=1,2,\dots ,m$ and $j=1,2,\dots ,n$, define $X_{i,j}=a_{1,j}+\cdots +a_{i-1,j}+a_{i,j}+a_{i,j-1}+\cdots +a_{i,1},$ $Y_{i,j}=a_{m,j}+\cdots +a_{i+1,j}+a_{i,j}+a_{i,j+1}+\cdots +a_{i,n}.$ Prove: ${\prod }_{i=1}^m{\prod }_{j=1}^n{X}_{i,j}\ge {\prod }_{i=1}^m{\prod }_{j=1}^n{Y}_{i,j}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza dei prodotti per le somme di colonne di riga di una matrice non negativa

Lasciate che $m$, $n$ siano numeri interi positivi, e che $a_{i,j}$ ($1\le i\le m$, $1\le j\le n$) siano numeri reali non negativi tali che per qualsiasi $i$, $j$, $a_{i,1}\ge a_{i,2}\ge \cdots \ge a_{i,n},a_{1,j}\ge a_{2,j}\ge \cdots \ge a_{m,j}$ sia tenuto. Per $i=1,2,\dots ,m$ e $j=1,2,\dots ,n$, definire $X_{i,j}=a_{1,j}+\cdots +a_{i-1,j}+a_{i,j}+a_{i,j-1}+\cdots +a_{i,1},$ $Y_{i,j}=a_{m,j}+\cdots +a_{i+1,j}+a_{i,j}+a_{i,j+1}+\cdots +a_{i,n}.$ Prova: ${\prod }_{i=1}^m{\prod }_{j=1}^n{X}_{i,j}\ge {\prod }_{i=1}^m{\prod }_{j=1}^n{Y}_{i,j}.$

src_cn_ctst_2021__Q01

Grid coloring with k-set colour constraints, find largest N

Given positive integers $n$ and $k$, $n>k^2\ge 4$. In an $n\times n$ grid, any $k$ squares in distinct rows and distinct columns are called a $k$-set. Find the largest positive integer $N$ satisfying that: one can choose $N$ squares of the $n\times n$ grid and colour them in a certain way, such that for any coloured $k$-set, some two squares have the same colour, and some two squares have different colours.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Colorazione a griglia con restrizioni di colore k-set, trovare la più grande N

Date le cifre integri positive $n$ e $k$, $n>k^2\ge 4$. In una griglia $n\times n$, qualsiasi quadrato $k$ in diverse righe e colonne distinte è chiamato $k$-set. Trovare il più grande intero positivo $N$ che soddisfi questo: si possono scegliere $N$ quadrati della griglia $n\times n$ e colorarli in un certo modo, in modo che per qualsiasi insieme di $k$ di colore, alcuni due quadrati abbiano lo stesso colore e altri due quadrati abbiano colori diversi.

src_cn_ctst_2021__Q02

Distinct integers: lower bound on elements not expressible as a difference

Fix $n\ge 2$. Prove: for any $n$ distinct integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$, the set $\left\{1,2,\dots ,\lfloor \frac{n(n-1)}{2}\rfloor \right\}$ contains at least $\lfloor \frac{n(n-6)}{48}\rfloor$ elements that cannot be expressed as the difference of some $a_i$ and $a_j$. Here, $\lfloor x\rfloor$ is the largest integer not greater than or equal to $x$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Interi distinti: limite inferiore su elementi non espressi come differenza

Risparmiare $n\ge 2$. Prova: per tutti gli integri $n$ distinti $a_1,a_2,\dots ,a_n$, l’insieme $\left\{1,2,\dots ,\lfloor \frac{n(n-1)}{2}\rfloor \right\}$ contiene almeno $\lfloor \frac{n(n-6)}{48}\rfloor$ elementi che non possono essere espressi come la differenza di alcuni $a_i$ e $a_j$. Qui, $\lfloor x\rfloor$ è il più grande numero intero non superiore o uguale a $x$.

src_cn_ctst_2021__Q03

Congruent integral polynomials for infinitely many primes imply shift

Let $f(x)$ and $g(x)$ be integral polynomials. Suppose that for infinitely many prime numbers $p$, there exists an integer $m_p$ such that $f(a)\equiv g(a+m_p)(\mathrm{mod}p)$ for every integer $a$. Prove that $f(x)=g(x+r)$ for some rational number $r$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Polinomi integrali congruenti per infinite prime implicano spostamento

$f(x)$ e $g(x)$ siano polinomi integrali. Supponiamo che per infiniti numeri primi $p$, esista un intero $m_p$ tale che $f(a)\equiv g(a+m_p)(\mathrm{mod}p)$ per ogni intero $a$. Prove che $f(x)=g(x+r)$ per un numero razionale $r$.

src_cn_ctst_2021__Q04

Circle tangent to two sides; construct points; circumcircle passes through center

As illustrated in Fig. 5.1, circle $\Gamma$ is tangent to $AB$ and $AC$ at $B$ and $C$ respectively; $D$ is the midpoint of $AC$; $O$ is the circumcenter of $△ABC$. A circle $\Omega$ touches $BC$ and the minor arc $\widehat{BC}$ of $\Gamma$ at $P$, and meets $AB$ at $Q$ other than $A$. It is known that the midpoint $R$ of the minor arc $\widehat{PQ}$ (on $\Omega$) satisfies $CR\perp AB$. Let $L$ be the intersection of rays $PQ$ and $CA$; $M$ be the midpoint of $AL$; $N$ be the midpoint of $BR$; $X$ be the foot of the perpendicular from $M$ to $ON$. Show that the circumcircle of $△DNX$ passes through the centre of circle $\Omega$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo tangente a due lati; punti di costruzione; circolo circonciso che attraversa il centro

Come illustrato in Fig. 5.1, il cerchio $\Gamma$ è tangente a $AB$ e $AC$ rispettivamente a $B$ e $C$; $D$ è il punto medio di $AC$; $O$ è il centro circonscente di $△ABC$. Un cerchio $\Omega$ tocca $BC$ e l’arco minore $\widehat{BC}$ di $\Gamma$ a $P$, e incontra $AB$ a $Q$ diverso da $A$. È noto che il punto medio $R$ dell’arco minore $\widehat{PQ}$ (su $\Omega$) soddisfa $CR\perp AB$. $L$ sia l’intersezione dei raggi $PQ$ e $CA$; $M$ sia il punto medio di $AL$; $N$ sia il punto medio di $BR$; $X$ sia il piede della perpendicolare da $M$ a $ON$. Indicare che il circoncircolo di $△DNX$ passa attraverso il centro del circolo $\Omega$.

src_cn_ctst_2021__Q05

Alice-Bob gcd/lcm game on blackboard; find min M Alice can guarantee

Given positive integers $n$, $r$ and distinct prime numbers $p_1,p_2,\dots ,p_r$. Initially, the $n+1$ numbers $(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^0,(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^1,\dots ,(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^n$ are written on the blackboard. Alice and Bob take turns (Alice goes first) to make the following moves, until only one number is left on the blackboard: \begin{itemize} \item Every time, Alice erases two numbers (can be identical) and writes their greatest common divisor on the board; \item Every time, Bob erases two numbers (can be identical) and writes their least common multiple on the blackboard. \end{itemize} Find the least integer $M$, such that Alice can guarantee the remaining number does not exceed $M$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^{\lfloor n/2\rfloor }$ Fonte: apri libro PDF

Gioco Alice-Bob su tavolo nero; trova il minimo che Alice possa garantire

Date le cifre integri positive $n$, $r$ e numeri primi distinti $p_1,p_2,\dots ,p_r$. Inizialmente, i numeri $n+1$ $(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^0,(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^1,\dots ,(p_1{p}_2\cdots p_r{)}^n$ sono scritti sulla lavagna. Alice e Bob si alternano (Alice va prima) per fare le seguenti mosse, fino a quando non rimane solo un numero sulla lavagna: \begin{itemize} \item Ogni volta, Alice cancella due numeri (può essere identico) e scrive il loro più grande divisore comune sulla lavagna; \item Ogni volta, Bob cancella due numeri (può essere identico) e scrive il loro più piccolo multiplo comune sulla lavagna. \end{itemize} Trova il numero intero minimo $M$, in modo che Alice possa garantire che il numero rimanente non superi $M$.

Risposta: (p_1 p_2 \cdots p_r)^{\lfloor n/2 \rfloor} src_cn_ctst_2021__Q06

Cyclic quadrilateral AB=BC=CD; incenters I,J of two subtriangles; prove collinearity on circumcircle

As shown in Fig. 1.1, quadrilateral $ABCD$ is inscribed in circle $\Gamma$, with $AB=BC=CD$. Let $I$ be the incentre of $△ABC$ and $J$ be the incentre of $△BCD$. Let $K$ be a point on the circumcircle of $△BIC$ (other than $B$, $I$, $C$), and let $E$, $F$ be the contact points of the incircles of $△ABC$ and $△BCD$ with $BC$ respectively. Let $P$ be the intersection of lines $CJ$ and $BK$. Prove that $A$, $C$, $P$ are collinear and that $P$ lies on circle $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Quadrilaterale ciclico AB=BC=CD; incentri I, J di due subtriangoli; dimostrare collinearità sul circoncircolo

Come mostrato nella figura. 1.1, il quadrilaterale $ABCD$ è inserito nel cerchio $\Gamma$, con $AB=BC=CD$. Che $I$ sia il centro di $△ABC$ e $J$ sia il centro di $△BCD$. Il $K$ deve essere un punto sul circoncircolo di $△BIC$ (diversi da $B$, $I$, $C$), e $E$, $F$ devono essere i punti di contatto degli incircoli di $△ABC$ e $△BCD$ rispettivamente con $BC$. $P$ sia l’intersezione delle linee $CJ$ e $BK$. Prove che $A$, $C$, $P$ sono collineari e che $P$ si trova sul cerchio $\Gamma$.

src_cn_ctst_2021__Q07

kn-regular graph: find minimum mono-edge fraction c

Given positive integers $k$ and $n$ ($n\ge 2$), find the minimum constant $c$ satisfying this assertion: if $G$ is a simple $kn$-regular graph (the degree of each vertex is $kn$) with $m$ vertices, then each vertex can be coloured one of $n$ colours, such that the number of mono-edges (edges with both endpoints of the same colour) is at most $cm$. Here, a mono-edge is an edge incident to two vertices of the same colour.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{k(kn-n+2)}{2(kn+1)}$ Fonte: apri libro PDF

kn-grafico regolare: trovare la frazione minima di monoreggio c

Dato il numero intero positivo $k$ e $n$ ($n\ge 2$), si trova la costante minima $c$ che soddisfa questa affermazione: se $G$ è un semplice grafico $kn$ regolare (il grado di ogni vertice è $kn$) con vertici $m$, allora ogni vertice può essere colorato uno dei colori $n$, in modo tale che il numero di monoreggi (oreggi con entrambi i punti di fine dello stesso colore) sia al massimo $cm$. Qui, un monoreggio è un incidente di bordo a due vertici dello stesso colore.

Risposta: \dfrac{k(kn - n + 2)}{2(kn + 1)} src_cn_ctst_2021__Q08

Pairwise coprime a,b,c; counting solutions of ax+by+cz=n approximates quadratic

Given positive integers $a$, $b$, $c$ which are pairwise coprime. Let $f(n)$ represent the number of nonnegative integer solutions $(x,y,z)$ of the equation $ax+by+cz=n$. Prove: there exist real constants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, such that for every nonneg real number $n$, $|f(n)-(\alpha n^2+\beta n+\gamma )|<\frac{a+b+c}{12}.$

Topic: Combinatoria, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Coprimo a,b,c in coppia; il conteggio delle soluzioni di ax+by+cz=n si approssimerà quadratico

Date le cifre integri positive $a$, $b$, $c$ che sono coprime in coprime. $f(n)$ rappresenta il numero di soluzioni di numeri interi non negativi $(x,y,z)$ dell’equazione $ax+by+cz=n$. Prova: esistono costanti reali $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, in modo tale che per ogni numero reale non negativo $n$, $|f(n)-(\alpha n^2+\beta n+\gamma )|<\frac{a+b+c}{12}.$

src_cn_ctst_2021__Q09

Find all multiplicative-type functions involving Euler’s totient

For a positive integer $n$, let $\phi (n)$ denote the number of positive integers not exceeding $n$ and relatively prime to $n$ (Euler’s totient function, written $\omega (n)$ in the source). Find all functions $f:{\mathbb{N}}_{+}\to {\mathbb{N}}_{+}$ satisfying that for any positive integers $m$, $n$ with $m\le n$, $f(m^2\phi (n))=f(m)\phi (m).$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le funzioni di tipo moltiplicativo che coinvolgono il totiente di Euler

Per un intero positivo $n$, $\phi (n)$ indica il numero di interi positivi non superiore a $n$ e relativamente primo a $n$ (funzione totiente di Euler, scritta $\omega (n)$ nella fonte). Trovare tutte le funzioni $f:{\mathbb{N}}_{+}\to {\mathbb{N}}_{+}$ che soddisfano che per tutti i numeri interi positivi $m$, $n$ con $m\le n$, $f(m^2\phi (n))=f(m)\phi (m).$

src_cn_ctst_2021__Q10

Cyclic sequence: count indices where maximal-average b_k >= 1

Let $n$ be a positive integer and $a_1,a_2,\dots ,a_{2n+1}$ be nonneg real numbers (with indices taken modulo $2n+1$). For $1\le k\le 2n+1$, define $b_k={\max }_{0\le m\le n}\frac{1}{2m+1}{\sum }_{i=k-m}^{k+m}{a}_i$ (indices mod $2n+1$). Prove: the number of indices $k$ satisfying $b_k\ge 1$ does not exceed $2{\sum }_{i=1}^{2n+1}{a}_i$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Sequenza ciclica: indici di conteggio in cui la media massima b_k >= 1

Che $n$ sia un intero positivo e $a_1,a_2,\dots ,a_{2n+1}$ un numero reale non negativo (con indici presi modulo $2n+1$). Per $1\le k\le 2n+1$, definire $b_k={\max }_{0\le m\le n}\frac{1}{2m+1}{\sum }_{i=k-m}^{k+m}{a}_i$ (indici mod $2n+1$). Prova: il numero di indici $k$ che soddisfano $b_k\ge 1$ non supera $2{\sum }_{i=1}^{2n+1}{a}_i$.

src_cn_ctst_2021__Q11

Find minimum side length of equilateral triangle covering 3 unit-circle points

Find the least positive real number $a$ satisfying this condition: for any three points $A$, $B$, $C$ on the unit circle, there exists an equilateral triangle $PQR$ with side length $a$, such that $A$, $B$, $C$ are all inside or on the boundary of $△PQR$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca la lunghezza laterale minima di un triangolo equilaterale che copra 3 punti di cerchio unitario

Trovare il numero reale meno positivo $a$ che soddisfa questa condizione: per tutti e tre i punti $A$, $B$, $C$ sul cerchio unitario, esiste un triangolo equilaterale $PQR$ con lunghezza laterale $a$, in modo tale che $A$, $B$, $C$ siano tutti all’interno o sul confine di $△PQR$.

Risposta: \sqrt{3} src_cn_ctst_2021__Q12

Convex polygon: assign distinct points in quadrilateral regions so every pair’s segment hits a diagonal

Given a convex polygon $D$ with $n\ge 4$ vertices, no three diagonals of which are concurrent inside $D$. Prove that one can choose a point inside every quadrilateral $P_i{P}_j{P}_k{P}_l$ ($1\le i<j<k<l\le n$) and not on any diagonal of $D$, such that the $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)$ assigned points are distinct, and the segment connecting any two of them intersects at least one diagonal of $D$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Colorazione, Biiezione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Poligono converso: assegnare punti distinti in regioni quadrilaterali in modo che ogni segmento della coppia raggiunga una diagonale

Data una polygone convexa $D$ con vertici $n\ge 4$, di cui non ci sono tre diagonali che siano simultanei all’interno di $D$. Provare che si può scegliere un punto all’interno di ogni quadrilaterale $P_i{P}_j{P}_k{P}_l$ ($1\le i<j<k<l\le n$) e non su alcuna diagonale di $D$, in modo tale che i punti assegnati $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)$ siano distinti, e che il segmento che ne collega due incroci almeno una diagonale di $D$.

src_cn_ctst_2021__Q13

Extend 2021 distinct integers by appending smallest non-divisor; all large integers appear

Given 2021 distinct positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_{2021}$. Define the sequence $\{a_n\}$ inductively as follows: for each integer $n\ge 2022$, $a_n$ is the smallest positive integer different from $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ and not dividing the product $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}$. Prove: there exists a positive integer $M$, such that all integers greater than or equal to $M$ appear in $\{a_n\}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Estremalità, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Estendere i numeri interi distinti 2021 aggiungendo il più piccolo non divisore; tutti i numeri interi grandi appaiono

Dato il 2021 diversi integri positivi $a_1,a_2,\dots ,a_{2021}$. Definire la sequenza $\{a_n\}$ in modo induttivo come segue: per ogni numero intero $n\ge 2022$, $a_n$ è il numero intero positivo più piccolo diverso da $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ e non divide il prodotto $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}$. Prova: esiste un intero positivo $M$, in modo che tutti gli enti superiori o uguali a $M$ appaiano in $\{a_n\}$.

src_cn_ctst_2021__Q14

Find largest C such that product of differences >= C^(n(n-1)/2) for reals in [-1,1]

Find the largest constant $C>0$, such that for any integer $n\ge 2$, one can find real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n\in [-1,1]$ satisfying ${\prod }_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)\ge C^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il più grande C tale che il prodotto delle differenze >= C^(n(n-1)/2) per i reali in [-1,1]

Trova la costante più grande $C>0$, in modo che per qualsiasi numero intero $n\ge 2$, si possano trovare numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n\in [-1,1]$ soddisfacenti ${\prod }_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)\ge C^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

Risposta: \dfrac{1}{2} src_cn_ctst_2021__Q15

Double inequality linking sum of 5^omega(m) to sum of tau(k)^2 floor(n/k)

For each positive integer $N$, let $\tau (N)$ be the number of positive divisors of $N$; $\omega (N)$ be the number of distinct prime factors of $N$; $\Omega (N)$ be the number of prime factors of $N$ counted with multiplicities. Prove: for each positive integer $n$, ${\sum }_{m=1}^n{5}^{\omega (m)}\le {\sum }_{k=1}^n\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \tau (k{)}^2\le {\sum }_{m=1}^n{5}^{\Omega (m)}.$ Here, $\lfloor x\rfloor$ is the largest integer not exceeding $x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Doppia disuguaglianza che collega la somma di 5 omegrati a quella di tau k^2 piano n/k

Per ogni intero positivo $N$, $\tau (N)$ è il numero di divisori positivi di $N$; $\omega (N)$ è il numero di fattori primi distinti di $N$; $\Omega (N)$ è il numero di fattori primi di $N$ contato con moltiplicità. Prova: per ogni intero positivo $n$, ${\sum }_{m=1}^n{5}^{\omega (m)}\le {\sum }_{k=1}^n\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \tau (k{)}^2\le {\sum }_{m=1}^n{5}^{\Omega (m)}.$ Qui, $\lfloor x\rfloor$ è il più grande intero non superiore a $x$.

src_cn_ctst_2021__Q16

Functional equation for f,g: R->R involving 2021st power; find all solutions

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ and $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that for all $x,y\in \mathbb{R}$, $f(g(x)+y)=(f(x){)}^{2021}+f(y).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $f\equiv 0\text{ (with any }g\text{) or }f(x)=x,g(x)=x^{2021}$ Fonte: apri libro PDF

Equazione funzionale per f,g: R->R che coinvolge potenza 2021st; trovare tutte le soluzioni

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo tale che per tutte le $x,y\in \mathbb{R}$, $f(g(x)+y)=(f(x){)}^{2021}+f(y).$

Risposta: f \equiv 0 \text{ (with any } g\text{) or } f(x)=x,, g(x)=x^{2021} src_cn_ctst_2021__Q17

Triangle with integer vertices and one interior m-integral point has bounded area

Let $m$ be a positive integer. A point $(x,y)$ in the plane is called an $m$-integral point if $m\mid x$ and $m\mid y$. Prove that for any triangle $ABC$ with integer vertex coordinates that has exactly one interior $m$-integral point, its area $S_{△ABC}$ satisfies $S_{△ABC}\le 2m^2(m+2)$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Un triangolo con vertici interi e un punto interno m-integrale ha una superficie delimitata

$m$ sia un numero intero positivo. Un punto $(x,y)$ nel piano è chiamato punto integrale $m$ se $m\mid x$ e $m\mid y$. Prova che per qualsiasi triangolo $ABC$ con coordinate di vertici interi che abbia esattamente un punto integrale interno $m$, la sua superficie $S_{△ABC}$ soddisfa $S_{△ABC}\le 2m^2(m+2)$.

src_cn_ctst_2021__Q18

n^2 distinct reals in n×n grid satisfying row/column max conditions; find min m

Given integer $n\ge 2$. Find the least positive integer $m$, such that there are $n^2$ distinct positive real numbers $x_{i,j}$ ($1\le i,j\le n$) satisfying the following conditions: \begin{enumerate} \item[(1)] For every $i$, $j$: $x_{i,j}=\max \{x_{i,1},x_{i,2},\dots ,x_{i,j}\}\text{or}{x}_{i,j}=\max \{x_{1,j},x_{2,j},\dots ,x_{i,j}\};$ \item[(2)] For every $i$, there are at most $m$ indices $k$ with $x_{i,k}=\max \{x_{i,1},x_{i,2},\dots ,x_{i,k}\}$; \item[(3)] For every $j$, there are at most $m$ indices $k$ with $x_{k,j}=\max \{x_{1,j},x_{2,j},\dots ,x_{k,j}\}$. \end{enumerate}

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2n - 1 Fonte: apri libro PDF

n^2 reali distinte in n ×n griglia che soddisfano le condizioni massime di riga/colonna; trovare min m

Numero intero $n\ge 2$. Trova il numero intero meno positivo $m$, in modo che ci siano $n^2$ numeri reali positivi distinti $x_{i,j}$ ($1\le i,j\le n$) che soddisfano le seguenti condizioni: \begin{enumerate} \item[(1)] Per ogni $i$, $j$: $x_{i,j}=\max \{x_{i,1},x_{i,2},\dots ,x_{i,j}\}\text{or}{x}_{i,j}=\max \{x_{1,j},x_{2,j},\dots ,x_{i,j}\};$ \item[(2)] Per ogni $i$, ci sono al massimo $m$ indici $k$ con $x_{i,k}=\max \{x_{i,1},x_{i,2},\dots ,x_{i,k}\}$; \item[(3)] Per ogni $j$, ci sono al massimo $m$ indici $k$ con $x_{k,j}=\max \{x_{1,j},x_{2,j},\dots ,x_{k,j}\}$. \end{enumere}

Risposta: 2n - 1 src_cn_ctst_2021__Q19

Incircle of triangle; point F with IF parallel BC and equal base angles; prove perpendicularity

As illustrated in Fig. 2.1, circle $\Omega$ is inscribed in triangle $△ABC$; $I$ is the incentre of $△ABC$; $O$ is the circumcenter of $△ABC$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of arc $\widehat{BAC}$ and arc $\widehat{BC}$ of the circumcircle, respectively. Let $D$ be a point on arc $\widehat{AC}$ (not containing $B$) such that $AD\parallel BC$. Let $F$ be a point inside $△ABC$ satisfying $IF\parallel BC$ and $\angle BAF=\angle CAF$. Let $K$ be the intersection of lines $AF$ and $DI$; let $L$ be the intersection of lines $AF$ and the line through $N$ and some constructed point. Prove: $MK\perp NL$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Incircolo di triangolo; punto F con IF parallelo BC e angolazioni di base uguali; prova la perpendicularità

Come illustrato in Fig. 2.1, il cerchio $\Omega$ è inscritto nel triangolo $△ABC$; $I$ è il centro di $△ABC$; $O$ è il centro circostante di $△ABC$. Il punto di riferimento è il punto di riferimento di cui all’allegato I del presente regolamento. Il $D$ deve essere un punto di arco $\widehat{AC}$ (non contenente $B$) tale che $AD\parallel BC$. Il $F$ deve essere un punto all’interno di $△ABC$ che soddisfa $IF\parallel BC$ e $\angle BAF=\angle CAF$. $K$ sia l’intersezione delle linee $AF$ e $DI$; $L$ sia l’intersezione delle linee $AF$ e la linea attraverso $N$ e qualche punto costruito. Prova: $MK\perp NL$.

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Digit sum constraint for subset sums; find valid n and rational beta

Let $S(k)$ denote the sum of all digits of $k$ in base 10. Find all integers $n\ge 2$ and rational numbers $\beta \in (0,1)$, such that there exist $n$ distinct positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfying: for any subset $I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ with $|I|\ge 2$, $S\left({\sum }_{i\in I}{a}_i\right)=\beta {\sum }_{i\in I}S(a_i).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ristrito di somma digitali per le somme del sottoinsieme; trovare n validi e beta razionale

$S(k)$ indichi la somma di tutti i numeri di $k$ nella base 10. Trovare tutti gli integri $n\ge 2$ e i numeri razionali $\beta \in (0,1)$, in modo che esistano $n$ diversi integri positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ che soddisfano: per qualsiasi sottoinsieme $I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ con $|I|\ge 2$, $S\left({\sum }_{i\in I}{a}_i\right)=\beta {\sum }_{i\in I}S(a_i).$

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Maximise cyclic sum of x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}) for x_i in [-1,1]

For real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_{60}\in [-1,1]$, find the maximum of ${\sum }_{i=1}^{60}{x}_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}),$ where $x_0=x_{60}$ and $x_{61}=x_1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: 40 Fonte: apri libro PDF

Maximizzare la somma ciclica di x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}) per x_i in [-1,1]

Per i numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_{60}\in [-1,1]$, trovare il massimo di ${\sum }_{i=1}^{60}{x}_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}),$ dove $x_0=x_{60}$ e $x_{61}=x_1$.

Risposta: 40 src_cn_ctst_2021__Q22

Minimum alpha so that every unit-area convex polygon fits in an alpha-area symmetric copy

Find the least positive real number $\alpha$ satisfying this condition: for any convex polygon $P$ of area 1, there exists a point $M$ in the plane such that the area of the convex hull of $P\cup Q$ is at most $\alpha$, where $Q$ is the central-symmetric figure of $P$ about $M$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

Alfa minima in modo che ogni poligono convexo di area unitaria si inserisca in una copia simmetrica di area alfa

Trovare il numero reale $\alpha$ meno positivo che soddisfi questa condizione: per qualsiasi poligono convex $P$ dell’area 1, esiste un punto $M$ nel piano tale che l’area dello scafo convex di $P\cup Q$ sia al massimo $\alpha$, dove $Q$ è la figura simmetrica centrale di $P$ circa $M$.

Risposta: 2 src_cn_ctst_2021__Q23

Round-robin with transitivity and few draws; find n^2 players in total order

There are $2n^2$ ($n\ge 2$) players in a single round-robin chess tournament. It is known that: \begin{enumerate} \item[(1)] For any three players $A$, $B$, $C$: if $A$ beats $B$ and $B$ beats $C$, then $A$ beats $C$; \item[(2)] There are at most $\frac{n}{16}$ draws. \end{enumerate} Prove: it is possible to choose $n^2$ players and label them $P_{ij}$ ($1\le i,j\le n$), such that for any $i,j,i^{\prime },j^{\prime }\in \{1,2,\dots ,n\}$ with $i<i^{\prime }$, the player $P_{ij}$ beats the player $P_{i^{\prime }{j}^{\prime }}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Rond-robin con transibilità e pochi disegni; trovare n^2 giocatori in ordine totale

Ci sono giocatori $2n^2$ ($n\ge 2$) in un singolo torneo di scacchi a rotonda. È noto che: \begin{enumerate} \item[(1)] Per tutti e tre i giocatori $A$, $B$, $C$: se $A$ batte $B$ e $B$ batte $C$, allora $A$ batte $C$; \item[(2)] Ci sono al massimo $\frac{n}{16}$ sorte. \end{enumerate} Prova: è possibile scegliere i giocatori $n^2$ e etichettarli $P_{ij}$ ($1\le i,j\le n$), in modo tale che per qualsiasi $i,j,i^{\prime },j^{\prime }\in \{1,2,\dots ,n\}$ con $i<i^{\prime }$, il giocatore $P_{ij}$ batta il giocatore $P_{i^{\prime }{j}^{\prime }}$.

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