China National Team Selection Test 2022

Cyclic hexagon ABCDEF: circumcenters of two triangles and concurrent lines

As illustrated in Fig. 1.1, $ABCDEF$ is a cyclic hexagon. The extensions of $AB$ and $DC$ meet at $G$; the extensions of $AF$ and $BE$ meet at $H$. Let $M$ and $N$ be the circumcenters of $△BCG$ and $△EFH$, respectively. Prove that the lines $BE$, $CF$, and $MN$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Essagono ciclico ABCDEF: circoncenti di due triangoli e linee simultanee

Come illustrato in Fig. 1.1, $ABCDEF$ è un esagono ciclico. Le estensioni di $AB$ e $DC$ si incontrano a $G$; le estensioni di $AF$ e $BE$ si incontrano a $H$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i circoncentri di $△BCG$ e $△EFH$. Prove che le linee $BE$, $CF$ e $MN$ sono simultanee.

src_cn_ctst_2022__Q01

Prime p, infinite integer set A: find subset B avoiding p-element means

Given a prime number $p$ and an infinite set $A\subset \mathbb{Z}$. Show that one can always find a subset $B$ of $A$ such that $B$ contains $2p-2$ elements, and for any $p$ pairwise distinct elements of $B$, their arithmetic mean does not belong to $A$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Primo p, setto di interi infiniti A: trovare sottosetto B evitando il medio dell’elemento p

Date un numero primo $p$ e un insieme infinito $A\subset \mathbb{Z}$. Mostrare che si può sempre trovare un sottoinsieme $B$ di $A$ in modo tale che $B$ contenga elementi $2p-2$, e per tutti gli elementi $p$ separati in coppia di $B$, la loro media aritmetica non appartiene a $A$.

src_cn_ctst_2022__Q02

Multi-dimensional game with pieces: find minimum starting count

Given positive integers $n$, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ (each $p_i\ge 2$), and $b_1,b_2,\dots ,b_n$. Let $Q=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n\mid 0\le x_i\le p_i^{b_i}-1\text{ for each }i\}$ be the game board. Initially, place $M$ game pieces on $Q$ (no restriction on the number of pieces per position). There are $n$ types of legal moves: the $i$-th type removes $p_i$ pieces from position $(x_1,\dots ,x_n)\in Q$ (with $x_i\ge 1$) and places one piece at $(x_1,\dots ,x_i-1,\dots ,x_n)$. Find the minimum value of $M$ such that no matter how the $M$ game pieces are initially placed, one can always perform a sequence of moves to get at least one piece at the origin $(0,0,\dots ,0)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $p_1^{b_1}{p}_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}$ Fonte: apri libro PDF

*Gioco multidimensionale con pezzi: trovare il numero minimo di partenze *

Date le cifre integri positive $n$, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ (ciascuno $p_i\ge 2$) e $b_1,b_2,\dots ,b_n$. Lasciate che il $Q=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n\mid 0\le x_i\le p_i^{b_i}-1\text{ for each }i\}$ sia la tabella di gioco. Inizialmente posizionare $M$ pezzi di gioco su $Q$ (senza restrizioni sul numero di pezzi per posizione). Esistono tipi di movimenti legali $n$: il tipo $i$-th rimuove i pezzi $p_i$ dalla posizione $(x_1,\dots ,x_n)\in Q$ (con $x_i\ge 1$) e colloca un pezzo a $(x_1,\dots ,x_i-1,\dots ,x_n)$. Trovare il valore minimo di $M$ in modo tale che, indipendentemente dal modo in cui i pezzi di gioco $M$ sono inizialmente posizionati, si possa sempre eseguire una sequenza di mosse per ottenere almeno un pezzo all’origine $(0,0,\dots ,0)$.

Risposta: $p_1^{b_1}{p}_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}$ src_cn_ctst_2022__Q03

Acute triangle ABC with incenter I: prove FK = AF = AD

As shown in Fig. 4.1, in the acute $△ABC$ with $\angle A\ge 2\angle B$, let $I$ be the incentre of $△ABC$, and let $K$ be the symmetric point of $I$ about $BC$. The extensions of $BA$ and $CK$ meet at $D$. The line through $B$ parallel to $CI$ meets $AC$ at $E$, and meets the circumcircle of $△ABC$ again at $F$. Prove that $FK=AF=AD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Triangolo acuto ABC con incentro I: prova FK = AF = AD

Come mostrato nella figura. 4.1, nel $△ABC$ acuto con $\angle A\ge 2\angle B$, $I$ sia il centro di $△ABC$, e $K$ sia il punto simmetrico di $I$ circa $BC$. Le estensioni di $BA$ e $CK$ si incontrano a $D$. La linea che attraversa $B$ parallela a $CI$ incontra $AC$ a $E$ e incontra nuovamente il circoncircolo di $△ABC$ a $F$. Prova che $FK=AF=AD$.

src_cn_ctst_2022__Q04

240 complex numbers on unit circle satisfying arc constraints: find max modulus of sum

Let $C=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$ be the unit circle in the complex plane. 240 complex numbers $z_1,z_2,\dots ,z_{240}\in C$ (repetitions allowed) satisfy the following conditions: (1) for any open arc $\hat{\Gamma }$ of length $\frac{\pi }{5}$ on $C$, there are at most $200$ indices $j$ ($1\le j\le 240$) such that $z_j\in \hat{\Gamma }$; (2) for any open arc $\hat{\gamma }$ of length $\frac{\pi }{240}$ on $C$, there are at most $120$ indices $j$ ($1\le j\le 240$) such that $z_j\in \hat{\gamma }$. Find the maximum of $|z_1+z_2+\cdots +z_{240}|$.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $80+40\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

*240 numeri complessi sul cerchio unitario che soddisfano le limitazioni di arco: trovare il modulo massimo della somma *

Il $C=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$ deve essere il cerchio unitario del piano complesso. 240 numeri complessi $z_1,z_2,\dots ,z_{240}\in C$ (repetite consentite) soddisfano le seguenti condizioni: (1) per qualsiasi arco aperto $\hat{\Gamma }$ di lunghezza $\frac{\pi }{5}$ su $C$, ci sono al massimo $200$ indici $j$ ($1\le j\le 240$) come $z_j\in \hat{\Gamma }$; (2) per qualsiasi arco aperto $\hat{\gamma }$ di lunghezza $\frac{\pi }{240}$ su $C$, ci sono al massimo $120$ indici $j$ ($1\le j\le 240$) come $z_j\in \hat{\gamma }$. Trova il massimo di $|z_1+z_2+\cdots +z_{240}|$.

Risposta: $80+40\sqrt{3}$ src_cn_ctst_2022__Q05

Subsets of A with union size condition: prove 2-coloring with both colors in each subset

Let $m$ be a fixed positive integer. Let $A_1,A_2,\dots ,A_m$ be subsets of a finite set $A$ (not necessarily distinct). It is known that for any nonempty set $I\subseteq \{1,2,\dots ,m\}$: $\left|{\bigcup }_{i\in I}{A}_i\right|\ge |I|+1.$ Prove: the elements of $A$ can be coloured black or white such that every $A_i$ ($i=1,2,\dots ,m$) contains both black and white elements.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Induzione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Sottoinsiemi di A con condizione di dimensione dell’unione: dimostrare 2-coloring con entrambi i colori in ciascun sottoinsieme

Il numero $m$ è un numero intero positivo fisso. $A_1,A_2,\dots ,A_m$ siano sottoinsiemi di un insieme finito $A$ (non necessariamente distinti). È noto che per ogni insieme non vuoto $I\subseteq \{1,2,\dots ,m\}$: $\left|{\bigcup }_{i\in I}{A}_i\right|\ge |I|+1.$ Prova: gli elementi di $A$ possono essere colorati in bianco o nero in modo tale che ogni $A_i$ ($i=1,2,\dots ,m$) contiene elementi sia bianchi che neri.

src_cn_ctst_2022__Q06

m×n grid with optional diagonals forming an Eulerian cycle: find all valid (m,n)

In an $m\times n$ grid (with $m+1$ horizontal lines and $n+1$ vertical lines), one may add at most one diagonal to each unit square. The resulting graph (vertices at all grid points, edges are the grid segments and the added diagonals) should be an Eulerian cycle, i.e., there exists a closed path that visits every edge exactly once. Find all pairs $(m,n)$ of positive integers for which this is possible.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: All pairs $(m,n)$ with $m=n$. Fonte: apri libro PDF

*m×n griglia con diagonali opzionali che formano un ciclo euleriano: trovare tutte le valenti (m,n) *

In una griglia $m\times n$ (con linee orizzontali $m+1$ e linee verticali $n+1$), si può aggiungere al massimo una diagonale per ogni quadrato unitario. Il grafico risultante (vertici in tutti i punti della griglia, bordi sono i segmenti della griglia e le diagonali aggiunte) dovrebbe essere un ciclo euleriano, vale a dire, esiste un percorso chiuso che visita ogni borda esattamente una volta. Trova tutte le coppie $(m,n)$ di integri positivi per le quali questo è possibile.

Risposta: All pairs $(m,n)$ with $m=n$. src_cn_ctst_2022__Q07

Two isogonal conjugates on circumcircle: pedal lines meet on nine-point circle

In the oblique $△ABC$ ($BC>AC>AB$). Let $P_1$, $P_2$ be two points in the plane satisfying: for $i=1,2$, the lines $A{P}_i$, $B{P}_i$, and $C{P}_i$ intersect the circumcircle of $△ABC$ again at $D_i$, $E_i$, and $F_i$ respectively, with $D_i$ on arc $BC$ not containing $A$. It is known that the line $P_1{P}_2$ intersects the circumcircle of $△ABC$ at two points $Q_1$ and $Q_2$. For $i=1,2$, let $X_i$ and $Y_i$ be the projections of $Q_i$ onto sides $AB$ and $AC$, respectively. The lines $X_1{Y}_1$ and $X_2{Y}_2$ meet at $W$. Prove that $W$ lies on the nine-point circle of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Due coniugati isogonali sul circolo circostante: le linee di pedali si incontrano sul circolo a nove punti

In oblique $△ABC$ ($BC>AC>AB$). Per $i=1,2$, le linee $A{P}_i$, $B{P}_i$ e $C{P}_i$ incrociano di nuovo il circoncircolo di $△ABC$ rispettivamente a $D_i$, $E_i$ e $F_i$, con $D_i$ su un arco $BC$ non contenente $A$. È noto che la linea $P_1{P}_2$ interseca il circoncircolo di $△ABC$ a due punti $Q_1$ e $Q_2$. Per $i=1,2$, $X_i$ e $Y_i$ siano rispettivamente le proiezioni di $Q_i$ sui lati $AB$ e $AC$. Le linee $X_1{Y}_1$ e $X_2{Y}_2$ si incontrano a $W$. Provare che $W$ si trova sul cerchio a nove punti di $△ABC$.

src_cn_ctst_2022__Q08

Pairwise non-divisible positive integers: prove sum is at least 1.4n²−2n

Let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be positive integers such that no one divides another, i.e., $a_i\nmid a_j$ for all $i\ne j$. Prove that $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge 1.4n^2-2n.$ (Note: partial credit may be given for proving the inequality for all sufficiently large $n$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

insieme positive non divisibili in coppia: prova che la somma è almeno 1,4n2−2n

Che $a_1,a_2,\dots ,a_n$ siano integri positivi in modo tale che nessuno divida l’altro, vale a dire $a_i\nmid a_j$ per tutti $i\ne j$. Prova che $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge 1.4n^2-2n.$ (Nota: può essere dato un credito parziale per dimostrare la disuguaglianza per tutti i $n$ sufficientemente grandi.)

src_cn_ctst_2022__Q09

Minimize sum of deviations of multinomial coefficients grouped by degree

Given a positive integer $n$, find all points $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ that minimize the function $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ defined by $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\sum }_{k=0}^{2n}\left|{\sum }_{\begin{array}{c}(a_1,\dots ,a_n)\in \{0,1,2{\}}^n\\ a_1+a_2+\cdots +a_n=k\end{array}}{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}-1\right|.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $x_1=x_2=\cdots =x_n=\frac{1}{n+1}$ Fonte: apri libro PDF

Minimizzare la somma delle deviazioni dei coefficienti multinomiali raggruppati per grado

Dato un intero positivo $n$, trovare tutti i punti $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ che minimizzano la funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ definita da $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\sum }_{k=0}^{2n}\left|{\sum }_{\begin{array}{c}(a_1,\dots ,a_n)\in \{0,1,2{\}}^n\\ a_1+a_2+\cdots +a_n=k\end{array}}{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}-1\right|.$

Risposta: $x_1=x_2=\cdots =x_n=\frac{1}{n+1}$ src_cn_ctst_2022__Q10

Equivalence of two divisibility conditions on multiplicative functions on divisors

For a fixed positive integer $n$, let $D$ be the set of all positive divisors of $n$. Prove that for a mapping $f:D\to \mathbb{Z}$, the following two assertions are equivalent: (A) For any positive divisor $m$ of $n$, $n\mid {\sum }_{d\mid m}f(d)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m/d}{n/d}\right);$ (B) For any positive divisor $k$ of $n$, $k\mid {\sum }_{d\mid k}f(d).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Doppio conteggio, Biiezione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Equivalenza di due condizioni di divisibilità sulle funzioni moltiplicative sui divisori

Per un intero positivo fisso $n$, $D$ è l’insieme di tutti i divisori positivi di $n$. Prova che per un mappaggio $f:D\to \mathbb{Z}$, le seguenti due affermazioni sono equivalenti: (A) Per qualsiasi divisore positivo $m$ di $n$, $n\mid {\sum }_{d\mid m}f(d)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m/d}{n/d}\right);$ (B) Per qualsiasi divisore positivo $k$ di $n$, $k\mid {\sum }_{d\mid k}f(d).$

src_cn_ctst_2022__Q11

Real sequences a_i, b_j: bound number of pairs with |a_i+b_j−ij|≤m

Let $m$ and $n$ be positive integers with $m\ge n\ge 2022$. Prove that for any real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$, $b_1,b_2,\dots ,b_n$, the number of ordered pairs $(i,j)$ with $1\le i,j\le n$ satisfying $|a_i+b_j-ij|\le m$ does not exceed $3n\sqrt{m\ln n}$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Doppio conteggio Abilita: Stima, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

*Sequenze reali a_i, b_j: numero di coppie con un numero di coppie con

Lasciate che $m$ e $n$ siano integri positivi con $m\ge n\ge 2022$. Prova che per i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$, $b_1,b_2,\dots ,b_n$, il numero delle coppie ordinate $(i,j)$ con $1\le i,j\le n$ soddisfacente $|a_i+b_j-ij|\le m$ non supera $3n\sqrt{m\ln n}$.

src_cn_ctst_2022__Q12

Circle inside circle: prove existence of point P making inner arc angle ≥ outer arc angle

Given that circle ${\Gamma }_2$ is inside circle ${\Gamma }_1$ on the plane. Prove that there exists a point $P$ on the plane with the following property: if $\ell$ is any line not passing through $P$ that intersects both ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ at distinct points, with ${\Gamma }_1$ cut at $A$ and $B$ and ${\Gamma }_2$ cut at $C$ and $D$ (so that $A$, $C$, $D$, $B$ are in this order on $\ell$), then $\angle CPD\ge \angle APB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

*Circolo all’interno del cerchio: prova dell’esistenza del punto P facendo angolo d’arco interno ≥ angolo d’arco esterno *

Dato che il cerchio ${\Gamma }_2$ è all’interno del cerchio ${\Gamma }_1$ sul piano. Prova che sul piano esiste un punto $P$ con la seguente proprietà: se $\ell$ è una linea che non attraversa $P$ e che incrocia sia ${\Gamma }_1$ che ${\Gamma }_2$ in punti distinti, con ${\Gamma }_1$ tagliato a $A$ e $B$ e ${\Gamma }_2$ tagliato a $C$ e $D$ (in modo che $A$, $C$, $D$, $B$ siano in questo ordine su $\ell$), allora $\angle CPD\ge \angle APB$.

src_cn_ctst_2022__Q13

Floor function and rational approximation: existence of integers with bounded floor values

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $x$. Let $a$ and $b$ be positive integers with $\gcd (a,b)=1$. Prove that there exist positive integers $k_1$ and $k_2$ such that $\lfloor \frac{k_1}{b}\rfloor +\lfloor \frac{k_2}{a}\rfloor =\lfloor \frac{k_1+k_2}{ab}\rfloor +ab-1$, or equivalently, the sequence ${\left\{\frac{k}{ab}\right\}}_{k=1}^{\infty }$ is dense in $[0,1)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Funzione del pavimento e approssimazione razionale: esistenza di integri con valori del pavimento limitati

$\lfloor x\rfloor$ indica il più grande numero intero non superiore a $x$. Che $a$ e $b$ siano integri positivi con $\gcd (a,b)=1$. Dimostrare che esistono integri positivi $k_1$ e $k_2$ in modo tale che $\lfloor \frac{k_1}{b}\rfloor +\lfloor \frac{k_2}{a}\rfloor =\lfloor \frac{k_1+k_2}{ab}\rfloor +ab-1$, o equivalentemente, la sequenza ${\left\{\frac{k}{ab}\right\}}_{k=1}^{\infty }$ sia densa in $[0,1)$.

src_cn_ctst_2022__Q14

Odd integers a_1≤…≤a_n: find all tuples for which a packing code of size M exists

Given a positive integer $n\ge 2$. Find all $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n$ satisfying the following conditions: (1) Each $a_i$ is odd and $1<a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$, and $M=\frac{1}{2^n}{\prod }_{i=1}^n(a_i-1)$ is a positive integer; (2) There exist $M$ tuples $(c_{1,1},\dots ,c_{1,n}),(c_{2,1},\dots ,c_{2,n}),\dots ,(c_{M,1},\dots ,c_{M,n})\in {\mathbb{Z}}^n$ such that for any $1\le i<j\le M$, there exists some index $k\in \{1,2,\dots ,n\}$ with $c_{i,k}-c_{j,k}\not\equiv 0,\pm 1(\mathrm{mod}{a}_k)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Induzione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Odd integri a_1≤…≤a_n: trovare tutti i tuppi per i quali esiste un codice di imballaggio di dimensione M

Date un numero intero positivo $n\ge 2$. Trova tutte le $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n$ che soddisfano le seguenti condizioni: (1) Ogni $a_i$ è pari e $1<a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$, e $M=\frac{1}{2^n}{\prod }_{i=1}^n(a_i-1)$ è un intero positivo; (2) Esistono $M$ tuples $(c_{1,1},\dots ,c_{1,n}),(c_{2,1},\dots ,c_{2,n}),\dots ,(c_{M,1},\dots ,c_{M,n})\in {\mathbb{Z}}^n$ in modo che per qualsiasi $1\le i<j\le M$, esiste un indice $k\in \{1,2,\dots ,n\}$ con $c_{i,k}-c_{j,k}\not\equiv 0,\pm 1(\mathrm{mod}{a}_k)$.

src_cn_ctst_2022__Q15

Triangulation of integer-side square with integer-centroid triangles: find all valid side lengths

In the rectangular coordinate system, there exist finitely many triangles such that: their centroids are all integer points (lattice points); the intersection of any two triangles is either empty, a common vertex, or a common edge; and the union of all the triangles is a square with integer side length $k$ (the vertices of the square need not be lattice points, and the sides need not be parallel to the axes). Find all positive integers $k$ for which such a configuration exists.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Invarianti, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Triangolazione di quadrato lato intero con triangoli centroide intero: trovare tutte le lunghezze laterali valide

Nel sistema di coordinate rettangolare, esistono finitamente molti triangoli tali che: i loro centriodi sono tutti punti interi (punti reticolari); l’intersezione di due triangoli è vuota, un vertice comune o un bordo comune; e l’unione di tutti i triangoli è un quadrato con lunghezza laterale integrale $k$ (le vertici del quadrato non devono essere punti reticolari, e i lati non devono essere paralleli agli assi). Trovare tutti gli integri positivi $k$ per i quali esiste una tale configurazione.

src_cn_ctst_2022__Q16

Subset of {1,…,n} with no two elements differing by a perfect square: prove size ≥ Cn^α, α>1/2

Prove that there exist constants $C>0$ and $\alpha >\frac{1}{2}$ such that for any positive integer $n$, there exists a subset $A\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ with $|A|\ge C{n}^{\alpha }$, such that the difference of any two distinct elements of $A$ is not a perfect square.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Induzione, Principio dei cassetti Abilita: Stima, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sottoinsieme di {1,…,n} senza due elementi che differiscono di un quadrato perfetto: dimostrazione di dimensioni ≥ Cn^α, α>1/2

Prove che esistono costanti $C>0$ e $\alpha >\frac{1}{2}$ tali che per qualsiasi intero positivo $n$, esiste un sottoinsieme $A\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ con $|A|\ge C{n}^{\alpha }$, in modo tale che la differenza di due elementi distinti di $A$ non sia un quadrato perfetto.

src_cn_ctst_2022__Q17

(1) Convex hull of zeros of z^19+63z+22 has area > π; (2) polynomial root magnitude bound

(1) Prove that, on the complex plane, the convex hull of the set of zeros of $z^{19}+63z+22=0$ has area greater than $\pi$.

(2) Let $n$ be a positive integer, and let $1\le k_1<k_2<\cdots <k_n$ be $n$ odd positive integers. Prove that for any $n$ complex numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ with ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$, and for any complex number $w$ with $|w|\ge 1$, the equation $a_1{z}^{k_1}+a_2{z}^{k_2}+\cdots +a_n{z}^{k_n}=w$ has at least one root $z$ with $|z|\le 3mn$, where $m={\max }_{1\le i\le n}|a_i{|}^{-1}$.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri libro PDF

(1) Lo scafo convexo di zeri di z^19+63z+22 ha superficie > π; (2) limite di grandezza radicale polinomial

(1) Provare che, sul piano complesso, lo scafo convexo dell’insieme di zeri di $z^{19}+63z+22=0$ ha una superficie superiore a $\pi$.

(2) Che $n$ sia un intero positivo e che $1\le k_1<k_2<\cdots <k_n$ sia $n$ pari interi positivi. Prova che per qualsiasi numero complesso $n$ $a_1,a_2,\dots ,a_n$ con ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$ e per qualsiasi numero complesso $w$ con $|w|\ge 1$, l’equazione $a_1{z}^{k_1}+a_2{z}^{k_2}+\cdots +a_n{z}^{k_n}=w$ ha almeno una radice $z$ con $|z|\le 3mn$, dove $m={\max }_{1\le i\le n}|a_i{|}^{-1}$.

src_cn_ctst_2022__Q18

n×n grid colored red/yellow/blue with cyclic update rule: non-monochromatic iff never monochromatic

Initially, each unit square of an $n\times n$ ($n\ge 2$) grid is coloured red, yellow, or blue. In each second, the colours of the unit squares simultaneously change according to the following rules: (1) if $A$ is red and $A$ shares a common side with a yellow square, then $A$ turns yellow; (2) if $B$ is yellow and $B$ shares a common side with a blue square, then $B$ turns blue; (3) if $C$ is blue and $C$ shares a common side with a red square, then $C$ turns red; (4) in all other cases, the colour does not change. Prove: if the grid does not become monochromatic after $2n-2$ seconds, then it will never become monochromatic in finite time.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

n×n colore a griglia rosso/giallo/blu con regola di aggiornamento ciclico: non monocromatico se mai monocromatico

Inizialmente, ogni quadrato unitario di una griglia $n\times n$ ($n\ge 2$) è di colore rosso, giallo o blu. Ogni secondo i colori dei quadrati unitari cambiano contemporaneamente secondo le seguenti regole: (1) se $A$ è rosso e $A$ condivide un lato comune con un quadrato giallo, allora $A$ diventa giallo; (2) se $B$ è giallo e $B$ condivide un lato comune con un quadrato blu, allora $B$ diventa blu; (3) se $C$ è blu e $C$ condivide un lato comune con un quadrato rosso, allora $C$ diventa rosso; (4) in tutti gli altri casi, il colore non cambia. Prova: se la griglia non diventa monocromatica dopo $2n-2$ secondi, non diventerà mai monocromatica in tempo finito.

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Convex quadrilateral with two incenters: prove PE=PF for intersection and perpendicular construction

As shown in Fig. 2.1, in the convex quadrilateral $ABCD$, let $I$ and $J$ be the incentres of $△ABC$ and $△ACD$, respectively. It is known that $IJ$, $AC$, and $BD$ are concurrent at a point $P$. The line through $P$ perpendicular to $BD$ meets the exterior angle bisectors of $\angle BAD$ and $\angle BCD$ at $E$ and $F$, respectively. Prove that $PE=PF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Quadrilaterale convex con due incentri: prova PE=PF per intersezione e costruzione perpendicolare

Come mostrato nella figura. 2.1, nel quadrilaterale converso $ABCD$, $I$ e $J$ siano rispettivamente gli incentri di $△ABC$ e $△ACD$. È noto che $IJ$, $AC$ e $BD$ sono simultanei in un punto $P$. La linea che attraversa $P$ perpendicolare a $BD$ incontra i bisettori di angolo esterno di $\angle BAD$ e $\angle BCD$ rispettivamente a $E$ e $F$. Prove che $PE=PF$.

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Functional equation: multisets {f(xf(y)+1),f(yf(x)-1)} equal {xf(f(y))-1,yf(f(x))+1}

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that for any real numbers $x$ and $y$, the following multisets are identical: $\{f(xf(y)+1),f(yf(x)-1)\}=\{xf(f(y))-1,yf(f(x))+1\}.$ (Note: two multisets $\{a,b\}$ and $\{c,d\}$ are identical if and only if $a=c,b=d$, or $a=d,b=c$.)

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $f(x)=x$ or $f(x)=-x$ Fonte: apri libro PDF

Equazione funzionale: multiinsiemi {f(xf(y) +1), f(yf(x) -1)} uguale a {xf(f(y))-1,yf(f(x)) +1}

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo tale che per qualsiasi numero reale $x$ e $y$, i seguenti multiset siano identici: $\{f(xf(y)+1),f(yf(x)-1)\}=\{xf(f(y))-1,yf(f(x))+1\}.$ (Nota: due multiset $\{a,b\}$ e $\{c,d\}$ sono identici se e solo se $a=c,b=d$, o $a=d,b=c$.)

Risposta: $f(x)=x$ or $f(x)=-x$ src_cn_ctst_2022__Q21

Find all positive integers a,b,c and prime p with 2^a·p^b = (p+2)^c + 1

Find all positive integers $a$, $b$, $c$ and prime $p$ satisfying $2^a{p}^b=(p+2{)}^c+1.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(p,a,b,c)=(3,1,1,1)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti gli integri positivi a,b,c e p primo con 2^a·p^b = (p+2)^c + 1

Trova tutti gli integri positivi $a$, $b$, $c$ e prime $p$ soddisfacendo $2^a{p}^b=(p+2{)}^c+1.$

Risposta: $(p,a,b,c)=(3,1,1,1)$ src_cn_ctst_2022__Q22

Nonnegative reals summing to 4 on a cycle: find a window with both partial sums ≤ 1

Let $n$ be a fixed positive integer. Let $x_1,x_2,\dots ,x_{2n}$ be nonnegative real numbers satisfying $x_1+x_2+\cdots +x_{2n}=4.$ Prove that there exist nonnegative integers $p$ and $q$ with $q\le n-1$ such that $x_{2p+1}+x_{2p+3}+\cdots +x_{2p+2q-1}\le 1\text{and}{x}_{2p+2}+x_{2p+4}+\cdots +x_{2p+2q}\le 1,$ where the subscripts are taken modulo $2n$ (i.e., $x_{2n+k}=x_k$ for all $k$).

(Note 1: subscripts are modulo $2n$, so $x_k=x_1$ when $k\equiv 1(\mathrm{mod}2n)$. Note 2: if $q=0$, the first sum is $0$; if $q=n-1$, the second sum is $0$.)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Reali non negativi sommati a 4 su un ciclo: trovare una finestra con entrambe le somme parziali ≤ 1

Il valore $n$ è un intero positivo fisso. Che $x_1,x_2,\dots ,x_{2n}$ siano numeri reali non negativi che soddisfino $x_1+x_2+\cdots +x_{2n}=4.$ Prove che esistono integri non negativi $p$ e $q$ con $q\le n-1$ in modo tale che $x_{2p+1}+x_{2p+3}+\cdots +x_{2p+2q-1}\le 1\text{and}{x}_{2p+2}+x_{2p+4}+\cdots +x_{2p+2q}\le 1,$ dove i sottoscrizioni sono prese modulo $2n$ (cioè, $x_{2n+k}=x_k$ per tutti $k$).

(Nota 1: i sottoscrizioni sono modulo $2n$, quindi $x_k=x_1$ quando $k\equiv 1(\mathrm{mod}2n)$. Nota 2: se $q=0$, la prima somma è $0$; se $q=n-1$, la seconda somma è $0$.)

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Antichain pair in divisor poset: prove sqrt(|A|)+sqrt(|B|)≤sqrt(|D|)

Let $n$ be a fixed positive integer. Denote by $D$ the set of all positive divisors of $n$. Let $A$ and $B$ be subsets of $D$ satisfying: for any $a\in A$ and $b\in B$, neither $a$ divides $b$ nor $b$ divides $a$. Prove that $\sqrt{|A|}+\sqrt{|B|}\le \sqrt{|D|}.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Doppio conteggio, Biiezione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Pare di catene in posizione di divisore: prove sqrt(<A to be) +sqrt(to be)≤sqrt(to be)

Il numero $n$ è un numero intero positivo fisso. Denotare con $D$ l’insieme di tutti i divisori positivi di $n$. Che $A$ e $B$ siano sottoinsiemi di $D$ che soddisfino: per qualsiasi $a\in A$ e $b\in B$, né $a$ divide $b$ né $b$ divide $a$. Provare che $\sqrt{|A|}+\sqrt{|B|}\le \sqrt{|D|}.$

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