China Western Mathematical Olympiad 2002

Find positive integers n making a quartic expression a perfect square

Find all positive integers $n$ such that $n^4-4n^2+22n+18$ is a perfect square. (posed by Pan Chengbiao)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca i numeri interi positivi n che rendono un’espressione quadrata perfetta

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $n^4-4n^2+22n+18$ sia un quadrato perfetto. (Possibile da Pan Chengbiao)

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Parallelogram formed by pedal projections lies inside triangle

Suppose $O$ is the circumcenter of an acute triangle $△ABC$. $P$ is a point inside $△AOB$, and $D$, $E$, $F$ are the projections of $P$ on three sides $BC$, $CA$, $AB$ of $△ABC$ respectively. Prove that a parallelogram with $FE$ and $FD$ as adjacent sides lies inside $△ABC$. (posed by Leng Ganpeng)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Il parallelogramma formato dalle proiezioni a pedale si trova all’interno del triangolo

Supponiamo che $O$ sia il centro circostante di un triangolo acuto $△ABC$. $P$ è un punto all’interno di $△AOB$, e $D$, $E$, $F$ sono le proiezioni di $P$ su tre lati $BC$, $CA$ e $AB$ di $△ABC$ rispettivamente. Prova che un parallelo con $FE$ e $FD$ come lati adiacenti si trova all’interno di $△ABC$. (Posizionato da Leng Ganpeng)

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Minimum area of a square whose vertices are roots of a quartic with integer coefficients

Consider a square on the complex plane. The complex numbers corresponding to its four vertices are the four roots of some equation of the fourth degree with one unknown and integer coefficients $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$. Find the minimum value of the area of such square. (posed by Xiong Jin)

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

L’area minima di un quadrato le cui vertici sono radici di una quarticca con coefficienti interi

Considerate un quadrato sul piano complesso. I numeri complessi corrispondenti ai suoi quattro vertici sono le quattro radici di qualche equazione del quarto grado con un coefficiente sconosciuto e interi $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$. Trova il valore minimo dell’area di tale quadrato. (Posizionato da Xiong Jin)

Risposta: 2 src_cn_cwmo_2002__Q03

Prove two disjoint index sets give equal unions of subsets

Assume that $n$ is a positive integer, and $A_1,A_2,\dots ,A_{n+1}$ are $n+1$ nonempty subsets of the set $\{1,2,\dots ,n\}$. Prove that there are two disjoint and nonempty subsets $\{i_1,i_2,\dots ,i_k\}$ and $\{j_1,j_2,\dots ,j_m\}$ such that $A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_k}=A_{j_1}\cup A_{j_2}\cup \cdots \cup A_{j_m}.$ (posed by Pan Chengbiao)

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Principio dei cassetti, Doppio conteggio Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove che due set di indici dissociati danno unioni uguali di sottoinsiemi

Supponiamo che $n$ sia un intero positivo e $A_1,A_2,\dots ,A_{n+1}$ siano $n+1$ sottosette non vuote del set $\{1,2,\dots ,n\}$. Prova che esistono due sottinsiemi dissociati e non vuoti $\{i_1,i_2,\dots ,i_k\}$ e $\{j_1,j_2,\dots ,j_m\}$ in modo tale che $A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_k}=A_{j_1}\cup A_{j_2}\cup \cdots \cup A_{j_m}.$ (posato da Pan Chengbiao)

src_cn_cwmo_2002__Q04

Length of segment joining circumcenters in trapezoid is fixed

In a given trapezium $ABCD$, $AD\parallel BC$. Suppose $E$ is a variable point on $AB$. $O_1$ and $O_2$ are circumcenters of $△AED$ and $△BEC$ respectively. Prove that the length of $O_1{O}_2$ is a fixed value. (posed by Leng Ganpeng)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Lunghezza del segmento che unisce i circoncentri nel trapezoide è fissa

In un dato trapezio $ABCD$, $AD\parallel BC$. Supponiamo che $E$ sia un punto variabile su $AB$. $O_1$ e $O_2$ sono i circoncentri di $△AED$ e $△BEC$ rispettivamente. Provare che la lunghezza di $O_1{O}_2$ è un valore fisso. (Posizionato da Leng Ganpeng)

src_cn_cwmo_2002__Q05

Find all integer n-tuples satisfying sum and sum-of-squares conditions

Assume that $n$ is a given positive integer. Find all of the integer groups $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ satisfying the conditions: (1) $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge n^2$; (2) $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\le n^3+1$. (posed by Pan Chengbiao)

Topic: Algebra, Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i n-tupli interi che soddisfano le condizioni di somma e somma quadrata

Supponiamo che $n$ sia un dato numero intero positivo. Trova tutti i gruppi di numeri interi $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ che soddisfano le condizioni: (1) $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge n^2$; (2) $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\le n^3+1$. (Possibile da Pan Chengbiao)

src_cn_cwmo_2002__Q06

Fibonacci-type sequence: prove recurrence and find divisibility pairs

Assume that $\alpha$, $\beta$ are two roots of the equation $x^2-x-1=0$. Let $a_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }$, $n=1,2,\dots$ (1) Prove that for any positive integer $n$, we have $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. (2) Find all positive integers $a$ and $b$, $a<b$, satisfying that $b$ divides $a_n-2a\cdot n^b$ for any positive integer $n$. (posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza di tipo Fibonacci: dimostrare la ricorrenza e trovare coppie di divisibilità

Supponiamo che $\alpha$, $\beta$ siano due radici dell’equazione $x^2-x-1=0$. Proviamo che per qualsiasi intero positivo $n$, abbiamo $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. (2) Trovare tutti i numeri interi positivi $a$ e $b$, $a<b$, soddisfacendo che $b$ divide $a_n-2a\cdot n^b$ per qualsiasi numero intero positivo $n$. (Posizionato da Li Shenghong)

src_cn_cwmo_2002__Q07