China Western Mathematical Olympiad 2003

Min sum of 4 numbers on a cube face

Put numbers $1,2,3,4,5,6,7$ and $8$ at the vertices of a cube, such that the sum of any three numbers on any face is not less than $10$. Find the minimum sum of the four numbers on a face.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 16 Fonte: apri libro PDF

Min somma di 4 numeri su una faccia cubica

Mettere i numeri $1,2,3,4,5,6,7$ e $8$ alle vertici di un cubo, in modo che la somma di tutti e tre i numeri su qualsiasi faccia non sia inferiore a $10$. Trova la somma minima dei quattro numeri su una faccia.

Risposta: 16 src_cn_cwmo_2003__Q01

Max value of difference of two half-sums given sum of squared differences

Let $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ be real numbers with ${\sum }_{k=1}^{2n-1}(a_{k+1}-a_k{)}^2=1$. Find the maximum value of $(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n})-(a_1+a_2+\cdots +a_n)$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Valuta massima della differenza di due semisumi data la somma delle differenze al quadrato

$a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ siano numeri reali con ${\sum }_{k=1}^{2n-1}(a_{k+1}-a_k{)}^2=1$. Trova il valore massimo di $(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n})-(a_1+a_2+\cdots +a_n)$.

src_cn_cwmo_2003__Q02

Least positive integer d dividing enough consecutive odd numbers

Let $n$ be a given positive integer. Find the least positive integer $d$ such that in every $n$ consecutive positive odd numbers the number of integers not divisible by $d$ is not less than the number of integers divisible by $d$ in $1,3,5,\dots ,2n-1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Minimum integro positivo d diviso sufficienti numeri dispari consecutivi

$n$ sia un dato numero intero positivo. Trova il numero intero meno positivo $d$ in modo tale che in ogni numero pari positivo successivo $n$ il numero di numeri interi non divisibili da $d$ non sia inferiore al numero di numeri interi divisibili da $d$ in $1,3,5,\dots ,2n-1$.

src_cn_cwmo_2003__Q03

Prove ABCD is parallelogram if sum of distances from any interior point is constant

Suppose the sum of distances from any point $P$ on a convex quadrilateral $ABCD$ to lines $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ is constant. Prove that $ABCD$ is a parallelogram.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove ABCD è parallelo se la somma delle distanze da qualsiasi punto interno è costante

Supponiamo che la somma delle distanze da qualsiasi punto $P$ su un quadrilaterale converso $ABCD$ alle linee $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ sia costante. Provare che $ABCD$ è un parallelo.

src_cn_cwmo_2003__Q04

Sequence with a_0=0 and radical recurrence; prove terms are integers

Let $\{a_n\}$ be a number sequence with $a_0=0$ and $a_{n+1}=\delta a_n-\sqrt{({\delta }^2-1)\cdot 3a_n^2+1}$, $n=0,1,2,\dots$ Prove that the sequence $\{a_n\}$ consists of integers and that $a_{n+1}\ge 2a_n-1$ for all $n\ge 0$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza con a_0=0 e ricorrenza radicale; prove che i termini sono interi

Se $\{a_n\}$ è una sequenza di numeri con $a_0=0$ e $a_{n+1}=\delta a_n-\sqrt{({\delta }^2-1)\cdot 3a_n^2+1}$, $n=0,1,2,\dots$ dimostri che la sequenza $\{a_n\}$ è composta da integri e che $a_{n+1}\ge 2a_n-1$ per tutti $n\ge 0$.

src_cn_cwmo_2003__Q05

EFGH rectangle iff ABCD cyclic, inscribed circle in quadrilateral

Suppose the convex quadrilateral $ABCD$ has an inscribed circle. The circle touches $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ at $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ respectively. Let $H$ be the midpoint of $D_1{A}_1$, and lines $A_1{B}_1$ and $D_1{C}_1$ meet at $E$. Let $F$ and $G$ be the midpoints of sides $B_1{C}_1$ and $D_1{A}_1$ respectively, and lines $A_1{D}_1$ and $B_1{C}_1$ meet at point $I$. Prove that $E$, $F$, $G$, $H$ lie on one circle if and only if $ABCD$ is a cyclic quadrilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Rettangolo EFGH se ABCD ciclico, cerchio inciso in quadrilaterale

Supponiamo che il quadrilaterale convex $ABCD$ abbia un cerchio inciso. Il cerchio tocca rispettivamente $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ a $A_1$, $B_1$, $C_1$ e $D_1$. Il $H$ deve essere il punto medio di $D_1{A}_1$ e le linee $A_1{B}_1$ e $D_1{C}_1$ devono incontrarsi al $E$. Le linee $F$ e $G$ devono essere i punti di mezzo dei lati $B_1{C}_1$ e $D_1{A}_1$ rispettivamente, e le linee $A_1{D}_1$ e $B_1{C}_1$ devono incontrarsi al punto $I$. Prova che $E$, $F$, $G$, $H$ si trovano su un cerchio se e solo se $ABCD$ è un quadrilaterale ciclico.

src_cn_cwmo_2003__Q06

Inequality for nonneg reals summing to 1 via weighted fractions

Let $r_1,r_2,\dots ,r_n$ be nonnegative real numbers with ${\sum }_{i=1}^n\frac{r_i}{i+r_i}=1$. Prove that ${\sum }_{i=1}^n\frac{r_i}{4i-1}\le 1$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ineguaglianza per i valori reali non negativi sommati a 1 attraverso frazioni ponderate

$r_1,r_2,\dots ,r_n$ siano numeri reali non negativi con ${\sum }_{i=1}^n\frac{r_i}{i+r_i}=1$. Prove che ${\sum }_{i=1}^n\frac{r_i}{4i-1}\le 1$.

src_cn_cwmo_2003__Q07

Bound on number of boy students in seating arrangement

Arrange $1650$ students in $22$ rows by $75$ columns. It is known that for any two columns, the number of occasions that two students in the same row are of the same sex does not exceed $11$. Prove that the number of boy students does not exceed $928$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Disuguaglianze Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Rimedio sul numero di ragazzi in seduta

Organizzare gli studenti $1650$ nelle righe $22$ per colonne $75$. È noto che per due colonne il numero di volte in cui due studenti della stessa riga sono dello stesso sesso non supera $11$. Dimostrare che il numero di ragazzi non supera $928$.

src_cn_cwmo_2003__Q08