China Western Mathematical Olympiad 2004

Find all integers n making a degree-4 polynomial a perfect square

Find all integers $n$ such that $n^4-6n^3+11n^2+3n+31$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Trova tutti gli enti n che rendono un polinomio di grado-4 un quadrato perfetto

Trova tutti gli enti $n$ in modo tale che $n^4-6n^3+11n^2+3n+31$ sia un quadrato perfetto.

src_cn_cwmo_2004__Q01

Find all k such that a 4-variable quadratic inequality holds on [-1,+∞)

Find all real numbers $k$ such that the inequality $a^2+b^2+c^2+d^2+1\ge k(a+b+c+d)$ holds for any $a,b,c,d\in [-1,+\infty )$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $k\le \frac{3}{4}$ Fonte: apri libro PDF

*Trova tutte le k in modo che una squadrata disuguaglianza quadrata a 4 variabili si mantenga su [-1+∞) *

Trovare tutti i numeri reali $k$ in modo tale che l’ineguaglianza $a^2+b^2+c^2+d^2+1\ge k(a+b+c+d)$ sia valida per qualsiasi $a,b,c,d\in [-1,+\infty )$.

Risposta: $k\le \frac{3}{4}$ src_cn_cwmo_2004__Q03

Find all non-negative c with d(n)+p(n)=n+c for some positive integer n

Let $n\in \mathbb{N}$ (the set of positive integers), and $d(n)$ be the number of positive divisors of $n$. Next, $p(n)$ denotes the number of integers in the closed interval $[1,n]$ which are co-prime with $n$. Find all non-negative integers $c$ such that there exists $n\in \mathbb{N}$ satisfying $d(n)+p(n)=n+c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i c non negativi con d(n) + p(n) = n+c per qualche intero positivo n

Che $n\in \mathbb{N}$ (l’insieme di interi positivi) e $d(n)$ siano il numero dei divisori positivi di $n$. Successivamente, $p(n)$ indica il numero di interi nell’intervallo chiuso $[1,n]$ che sono co-prime con $n$. Trova tutti gli integri non negativi $c$ in modo tale che esista $n\in \mathbb{N}$ soddisfacente $d(n)+p(n)=n+c$.

src_cn_cwmo_2004__Q04

Find a_{2004} for the recurrence a_{n+2}=(a_n+1)/a_{n+1} with a_1=a_2=1

The sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_1=a_2=1$ and $a_{n+2}=\frac{a_n+1}{a_{n+1}}$, $n=1,2,\dots$. Find $a_{2004}$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Trova a_{2004} per la ricorrenza a_{n+2}=(a_n+1)/a_{n+1} con a_1=a_2=1

La sequenza $\{a_n\}$ soddisfa $a_1=a_2=1$ e $a_{n+2}=\frac{a_n+1}{a_{n+1}}$, $n=1,2,\dots$. Trova $a_{2004}$.

src_cn_cwmo_2004__Q05

Determine parity of good couples S in a 2-colored m×n chessboard

All the grids of an $m\times n$ chessboard ($m\ge 3$, $n\ge 3$) are colored either red or blue. Two adjacent grids (with a common side) are called a good couple if they are of different colors. Suppose that there are $S$ good couples, explain how to determine whether $S$ is odd or even. Does $S$ depend on certain specific color grids?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Determine la parità di buone coppie S in una scacchiera a 2 colori ×n

Tutte le griglie di una scacchiera $m\times n$ ($m\ge 3$, $n\ge 3$) sono di colore rosso o blu. Due griglie adiacenti (con un lato comune) sono chiamate buone coppie se sono di colori diversi. Supponiamo che ci siano $S$ buone coppie, spiegate come determinare se $S$ è pari o pari. Il $S$ dipende da determinate reti di colore specifiche?

src_cn_cwmo_2004__Q06

Prove 2(AF+BD+CE)=l iff P lies on incenter-circumcenter line in acute triangle

Let $l$ be the perimeter of an acute triangle $△ABC$ which is not equilateral. $P$ is a variable point inside $△ABC$, and $D$, $E$ and $F$ are the projections of $P$ on $BC$, $CA$ and $AB$ respectively. Prove that $2(AF+BD+CE)=l$ if and only if $P$ is collinear with the incenter and circumcenter of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prova 2 ((AF+BD+CE) = l se P si trova sulla linea incenter-circumcenter in triangolo acuto

$l$ è il perimetro di un triangolo acuto $△ABC$ non equilaterale. $P$ è un punto variabile all’interno di $△ABC$, e $D$, $E$ e $F$ sono le proiezioni di $P$ su $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente. Prove che $2(AF+BD+CE)=l$ se e solo se $P$ è collineare con l’incentro e il circoncentro di $△ABC$.

src_cn_cwmo_2004__Q07