China Western Mathematical Olympiad 2005

Sum of coefficients of polynomial expressing alpha^100+beta^100

Assume that ${\alpha }^{100}+{\beta }^{100}$ can be expressed as a polynomial in $\alpha +\beta$ and $\alpha \beta$. Find the sum of coefficients of the polynomial.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

Summa dei coefficienti di polinomio espressi in alfa^100+beta^100

Supponiamo che ${\alpha }^{100}+{\beta }^{100}$ possa essere espresso come polinomio in $\alpha +\beta$ e $\alpha \beta$. Trova la somma dei coefficienti del polinomio.

Risposta: 2 src_cn_cwmo_2005__Q01

Tangent lines from external point, prove BE=BF

As shown in the diagram, $PA$, $PB$ are two tangent lines of a circle from a point $P$ outside the circle, and $A$, $B$ are the contact points. $PD$ is a secant line, and it intersects the circle at $C$ and $D$. $BF$ parallels $PA$ and meets the lines $AC$, $AD$ at $E$, $F$ respectively. Prove that $BF=BE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Line tangenti dal punto esterno, dimostrare BE=BF

Come mostrato nel diagramma, $PA$, $PB$ sono due linee tangenti di un cerchio da un punto $P$ al di fuori del cerchio, e $A$, $B$ sono i punti di contatto. $PD$ è una linea secante, che interseca il cerchio a $C$ e $D$. $BF$ è parallelo a $PA$ e risponde rispettivamente alle linee $AC$, $AD$ a $E$ e $F$. Prove che $BF=BE$.

src_cn_cwmo_2005__Q02

Minimum n so that any n pairwise coprime elements of {1,…,2005} contain a prime

Let $S=\{1,2,\cdots ,2005\}$. If there is at least one prime number in any subset of $S$ consisting of $n$ pairwise coprime numbers, find the minimum value of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Minimum n in modo che tutti gli elementi copriemi in coppia di {1,…,2005} contengano un primo

Let $S=\{1,2,\cdots ,2005\}$. Se in qualsiasi sottoinsieme di $S$ esiste almeno un numero primo composto da $n$ numeri copriemi in coppia, si trova il valore minimo di $n$.

src_cn_cwmo_2005__Q03

Existence of partial sum with absolute value at most 1

If it is given that real numbers $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ($n>2$) satisfy $\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_i\right|>1$, $|x_i|\le 1$ ($i=1,2,\cdots ,n$). Prove that there exists a positive integer $k$ such that $\left|{\sum }_{i=1}^k{x}_i\right|\le 1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Esistenza di somma parziale con valore assoluto massimo 1

Se viene dato che i numeri reali $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ($n>2$) soddisfano $\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_i\right|>1$, $|x_i|\le 1$ ($i=1,2,\cdots ,n$). Prova che esiste un intero positivo $k$ tale che $\left|{\sum }_{i=1}^k{x}_i\right|\le 1$.

src_cn_cwmo_2005__Q04

Two circles, tangent and secant configuration, BD bisects AF

The circles $O_1$ and $O_2$ meet at points $A$ and $B$. The line $DC$ passes through $O_1$, intersects the circle $O_1$ at $D$ and is a tangent to the circle $O_2$ at $C$. Also, $CA$ is a tangent to the circle $O_1$ at $A$. The secant $AE$ of the circle $O_2$ is perpendicular to $DC$. $AF$ is perpendicular to and meets $DE$ at $F$. Prove that $BD$ bisects the line segment $AF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Due cerchi, con configurazione tangente e secante, BD bisecta AF

I cerchi $O_1$ e $O_2$ si incontrano ai punti $A$ e $B$. La linea $DC$ passa attraverso $O_1$, incontra il cerchio $O_1$ a $D$ ed è tangente al cerchio $O_2$ a $C$. Inoltre, $CA$ è una tangente del cerchio $O_1$ a $A$. Il segmento $AE$ del cerchio $O_2$ è perpendicolare a $DC$. $AF$ è perpendicolare a $DE$ e risponde a $F$. Provare che $BD$ divide il segmento di linea $AF$.

src_cn_cwmo_2005__Q05

Maximum of PAPB+PC for point P on perimeter of isosceles right triangle*

In an isosceles right triangle $△ABC$, $CA=CB=1$, and $P$ is an arbitrary point on the perimeter of $△ABC$. Find the maximum value of $PA\cdot PB+PC$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$ Fonte: apri libro PDF

Massimo di PAPB+PC per il punto P sul perimetro di triangolo rettangolare delle isosceles*

In un triangolo rettangolare di uguali dimensioni $△ABC$, $CA=CB=1$ e $P$ è un punto arbitrario sul perimetro di $△ABC$. Trova il valore massimo di $PA\cdot PB+PC$.

Risposta: $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$ src_cn_cwmo_2005__Q06

Prove inequality for a+b+c=1 involving 3rd and 5th powers

Given real numbers $a$, $b$, $c$ satisfying $a+b+c=1$, prove that $10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\ge 1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza per a+b+c=1 che coinvolge potenze 3 e 5

Se i numeri reali $a$, $b$, $c$ soddisfano $a+b+c=1$, dimostrano che $10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\ge 1.$

src_cn_cwmo_2005__Q07

Maximum number of students with given pair-knowing conditions

There are $n$ new students. Suppose that there are two students who know each other in every three students and there are two students who do not know each other in every four students. Find the maximum value of $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Grafi, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 Fonte: apri libro PDF

Nombre massimo di studenti con determinate condizioni di conoscenza di coppia

Ci sono $n$ nuovi studenti. Supponiamo che ci siano due studenti che si conoscono in ogni tre studenti e ci sono due studenti che non si conoscono in ogni quattro studenti. Trova il valore massimo di $n$.

Risposta: 8 src_cn_cwmo_2005__Q08