China Western Mathematical Olympiad 2006

Maximize cyclic sum of sixth roots over sequences in (0,1)

Let $n$ ($\ge 2$) be a positive integer and $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n\in (0,1)$. Find the maximum value of the sum ${\sum }_{i=1}^n\sqrt[6]{a_i(1-a_{i+1})}$ where $a_{n+1}=a_1$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{n}{\sqrt[3]{2}}$ Fonte: apri libro PDF

Maximizzare la somma ciclica delle sesta radici sulle sequenze in (0,1)

$n$ ($\ge 2$) sia un numero intero positivo e $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n\in (0,1)$. Trova il valore massimo della somma ${\sum }_{i=1}^n\sqrt[6]{a_i(1-a_{i+1})}$ dove $a_{n+1}=a_1$.

Risposta: $\frac{n}{\sqrt[3]{2}}$ src_cn_cwmo_2006__Q01

Smallest k so that product of two quadratics has a real root

Find the smallest positive number $k$ such that for any four given distinct real numbers $a$, $b$, $c$ and $d$, each greater than or equal to $k$, there exists a permutation $p$, $q$, $r$ and $s$ of $a$, $b$, $c$, $d$ such that the equation $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0$ has at least one real root.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri libro PDF

La k più piccola in modo che il prodotto di due quadratici abbia una radice reale

Trovare il numero positivo $k$ più piccolo in modo che per tutti i quattro dati numeri reali $a$, $b$, $c$ e $d$, ciascuno più grande o uguale a $k$, esiste una permutazione $p$, $q$, $r$ e $s$ di $a$, $b$, $c$, $d$ in modo che l’equazione $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0$ abbia almeno una radice reale.

Risposta: 4 src_cn_cwmo_2006__Q02

Geometry: angle bisector and tan value in circumcircle configuration

In $△ABC$, $\angle ABC=60^{\circ }$. The tangent at point $P$ to the circumcircle of $△ABC$ meets line $CB$ extended at $A$. Let $\angle PCB=\alpha$. Points $D$ and $E$ lie on the line segment $PA$ and the circumcircle respectively, such that $\angle DBE=90^{\circ }$ and $PD=PE$. Let $F$ be the intersection of $BE$ and $PC$. It is given that lines $AF$, $BP$ and $CD$ are concurrent. (1) Prove that $BF$ is the bisector of $\angle PBC$. (2) Find the value of $\tan \alpha$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\tan \alpha =\frac{6+\sqrt{3}}{11}$ Fonte: apri libro PDF

Geometria: angolo bisector e valore di bronzaggio nella configurazione di circolo

In $△ABC$, $\angle ABC=60^{\circ }$. La tangenza al punto $P$ al circoncircolo di $△ABC$ incontra la linea $CB$ estesa a $A$. Let $\angle PCB=\alpha$. I punti $D$ e $E$ si trovano rispettivamente sul segmento di linea $PA$ e sul circoncircolo, in modo tale che $\angle DBE=90^{\circ }$ e $PD=PE$. Il $F$ deve essere l’incrocio di $BE$ e $PC$. È dato che le linee $AF$, $BP$ e $CD$ sono simultanee. (1) Provare che $BF$ è il bisettore di $\angle PBC$. (2) Trova il valore di $\tan \alpha$.

Risposta: $\tan \alpha =\frac{6+\sqrt{3}}{11}$ src_cn_cwmo_2006__Q03

Prove fractional parts of sqrt(a) summed are irrational

Assume that $a$ is a positive integer and not a perfect square. Prove that for any positive integer $n$, the sum $S_n=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}{\}}^2+\cdots +\{\sqrt{a}{\}}^n$ is irrational, where $\{x\}=x-[x]$ and $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove che le parti frazionarie di sqrt(a) sommate sono irrazionali

Supponiamo che $a$ sia un intero positivo e non un quadrato perfetto. Prove che per qualsiasi numero intero positivo $n$, la somma $S_n=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}{\}}^2+\cdots +\{\sqrt{a}{\}}^n$ è irrazionale, dove $\{x\}=x-[x]$ e $[x]$ denotano il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

src_cn_cwmo_2006__Q04

If n is sum of squares of two positives in consecutive triple, so is n^2

Let $S=\{n\mid n-1,n,n+1\text{ all can be expressed as the sum of the squares of two positive integers}\}$. Prove that, if $n\in S$, then $n^2\in S$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Se n è la somma dei quadrati di due positivi in triplice consecutive, così è n

Let $S=\{n\mid n-1,n,n+1\text{ all can be expressed as the sum of the squares of two positive integers}\}$. Prova che, se $n\in S$, allora $n^2\in S$.

src_cn_cwmo_2006__Q05

Concyclicity in circle with circumcircle of triangle BOD

$AB$ is a diameter of circle $O$, the point $C$ lies on the line $AB$ produced. A line passing through $C$ intersects the circle $O$ at points $D$ and $E$. $OF$ is a diameter of circumcircle $O_1$ of $△BOD$. Join $CF$ and its extension, intersect the circle $O$ at $G$. Prove that points $O$, $A$, $E$, $G$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Conciclicità in cerchio con circoncircolo di triangolo BOD

$AB$ è un diametro di cerchio $O$, il punto $C$ si trova sulla linea $AB$ prodotta. Una linea che attraversa $C$ incrocia il cerchio $O$ nei punti $D$ e $E$. $OF$ è un diametro di circoncircolo $O_1$ di $△BOD$. Unire $CF$ e la sua estensione, incrociare il cerchio $O$ a $G$. Provare che i punti $O$, $A$, $E$, $G$ sono conciclici.

src_cn_cwmo_2006__Q06

Rational cosines propagate: if cos((b-1)θ) and cos(bθ) rational, find larger n

Let $b$ be a positive integer no less than 3 and $\theta$ be a real number. Prove that if both $\cos ((b-1)\theta )$ and $\cos (b\theta )$ are rational numbers, then there exists a positive integer $n>b$, such that both $\cos ((n-1)\theta )$ and $\cos (n\theta )$ are rational numbers.

Topic: Algebra, Trigonometria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

I cosini razionali si propagano: se cos(((b-1)θ) e cos(bθ) sono razionali, si trovano più grandi n

Che $b$ sia un numero intero positivo non inferiore a 3 e $\theta$ sia un numero reale. Dimostra che se entrambi $\cos ((b-1)\theta )$ e $\cos (b\theta )$ sono numeri razionali, allora esiste un intero positivo $n>b$, in modo tale che entrambi $\cos ((n-1)\theta )$ e $\cos (n\theta )$ sono numeri razionali.

src_cn_cwmo_2006__Q07

Min size of X so a subset Y of size n hits each 2-element set at most once

Given a positive integer $n\ge 2$, let $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ denote $n$ arbitrary subsets of set $X$, each of which contains exactly two elements. Find the minimum value of $|X|$ such that there exists a subset $Y$ of $X$ satisfying: (a) $|Y|=n$; (b) $|Y\cap B_i|\le 1$ for $i=1,2,\cdots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Min dimensione di X in modo che un sottoinsieme Y di dimensione n colpisca ogni set di 2 elementi non più di una volta

Date un intero positivo $n\ge 2$, $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ indichi $n$ sottoinsiemi arbitrari del set $X$, ognuno dei quali contiene esattamente due elementi. Trova il valore minimo di $|X|$ in modo tale che esista un sottoinsieme $Y$ di $X$ che soddisfa: (a) $|Y|=n$; (b) $|Y\cap B_i|\le 1$ per $i=1,2,\cdots ,n$.

src_cn_cwmo_2006__Q08